Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Простейшие движения твердого тела

В ТМ различают 5 видов движения: поступательное, вращательное, плоское (плоскопараллельное), сферическое, общий случай движения.

Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором всякая прямая, взятая в теле, остается параллельной своему начальному направлению.

Теорема. При поступательном движении твердого тела все его точки

1). Описывают тождественные и параллельные траектории и

2). Имеют геометрически равные скорости и ускорения.

Изобразим тело, совершающее поступательное движение, в моменты времени t и t’. Проведем в теле прямую АВ, согласно определению она останется параллельной своему начальному направлению.

Для любого момента времени

. (1)

1).Тождественность и параллельность очевидны, т.к. в любом положении твердого тела точка В сдвинута по отношению к А на вектор .

2).Продифференцируем (1) по времени:

;

Продифференцировав еще раз по времени, имеем

Т.о. доказана вторая часть теоремы.

Вывод. Изучение поступательного движения тела сводится к изучению движения любой его точки (обычно - центра тяжести), т.е. поступательно движущееся тело можно рассматривать как геометрическую точку.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Вращательным называется движение твердого тела, при котором все его точки описывают окружности с центрами на одной и той же неподвижной прямой (ось вращения), перпендикулярной их плоскостям вращения.

Уравнение вращательного движения -угол поворота.

Угловая скорость и угловое ускорение (вращающегося твердого тела)

Угловой скоростью называется пространственно-временная мера вращения, характеризующая изменение угла поворота твердого тела.

Р. - неподвижная плоскость.

- подвижные плоскости

-средняя угловая скорость

Читать. Угловая скорость в данный момент времени равна первой производной от угла поворота по времени.

Угловым ускорением называется пространственно-временная мера вращения твердого тела, характеризующая изменение угловой скорости.

Пусть

- среднее угловое ускорение

Читать. Угловое ускорение в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота по времени.

и характеризует вид вращения:

· Равномерное (;

· Ускоренное и одного знака ;

· Замедленное и имеют противоположные знаки).

Частные случаи вращательного движения

1. Равномерное вращение

Н.у. При . Тогда

2. Равнопеременное вращение

Н.у. При . Тогда

Найдем изменения угла поворота

Н.у. при . Тогда

Замечание: 1.В технике часто используется число

оборотов-N(1 об.= 2 рад)

2.При вращении, где n[об/мин] частота вращения

Скорость и ускорение (линейные) точек вращающегося твердого тела

Дано:

Уравнение движения точки по траектории:

, .

Для скорости

направлен по касательной к окружности (в точке касания он радиусу).

Т.к. точка М совершает криволинейное движение (перейдем к естественному способу)

Т.к. , то

Радиус, образованный вектором с радиусом

Векторные выражения угловой скорости и углового ускорения

Дуговая стрелка, указывающая направление вращения

Если примем ось вращения тела за ось Z и обозначим через орт этот оси, то

, . (1)

Вектор направлен вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращения

видно происходящим против часовой стрелки.

Продифференцируем (1) по времени:

Вектор направлен вдоль вращения либо в сторону (ускоренное вращение), либо в противоположную сторону (замедленное вращения).

и - вектора скользящие, т.е. могут быть приложены к любой точке оси вращения.

Векторные выражения линейных скорости и ускорения

Покажем, что (формула Эйлера).

Рассмотрим вращение точки М. Из производной точки О, лежащей на оси вращения, проводим вектор и радиус-вектор точки М.

Правая часть представляет модуль векторного произведения формулы Эйлера.

Покажем, что вектора и имеют одинаковое направление.

Согласно свойству векторного произведения вектор плоскости, образованный векторами – сомножителями, и направлен в ту сторону, откуда поворот от первого сомножителя ко второму на кратчайший угол виден происходящим против часовой стрелки.