В этом параграфе мы рассмотрим свойства выпуклых дифференцируемых функций. Известно, что выпуклая на всем пространстве функция непрерывна ([13], стр. 93 – 94) и дифференцируема в любой точке по любому направлению ([13], стр. 94 – 95). Для дальнейшего изложения материала нам, в первую очередь, понадобятся критерии выпуклости дифференцируемых функций, с которыми мы здесь и познакомимся.
Теорема 1. Пусть функция 
определена и дифференцируема на 
. Тогда для того, чтобы была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы для любых 
выполнялось неравенство
. (1)
(Неравенство (1) будем называть градиентным.)
Доказательство.Необходимость. Пусть
функция выпукла на , 
и 
. В силу выпуклости справедливо неравенство
.
Откуда 
. Переходя в этом неравенстве к пределу при 
, получим (1).
Достаточность. Пусть для любой пары точек имеет место (1), 
. Положим 
. Из (1) имеем
, (2)
. (3)
Умножая (2) на 
, а (3) – на 
и складывая эти неравенства, получим
Откуда 
, что и означает выпуклость функции .
Теорема 2. Пусть функция определена и непрерывно дифференцируема на . Тогда для того, чтобы была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы для любых 
выполнялось неравенство
. (4)
(Неравенство (4) называется вариационным.)
Доказательство.Необходимость. Пусть функция выпукла на , 
. В силу
теоремы 1 имеют место неравенства
Сложив эти неравенства, получим (4).
Достаточность. Пусть для любых имеет место (4). Тогда для любого 
имеем 
. Перепишем полученное неравенство следующим образом: 
. Проинтегрируем это неравенство по на отрезке 
, что возможно в силу непрерывной дифференцируемости функции . Получим
.
Откуда 
. Тогда согласно теореме 1 получаем выпуклость функции .
Заметим, что в одномерном случае неравенство (4) равносильно монотонности (неубыванию) первой производной функции . Поэтому это свойство градиента выпуклой функции также принято называть монотонностью.
Теорема 3. Пусть функция определена и дважды дифференцируема на 
. Тогда для того, чтобы была выпуклой, необходимо и достаточно, чтобы матрица 
была неотрицательно определена на .
Доказательство. Пусть 
. Применяя формулу конечных приращений к неравенству (4), получим
, (5)
где 
. Согласно теореме 2 неравенство (4) эквивалентно выпуклости функции . Тогда неравенство (5) также эквивалентно выпуклости функции . В силу произвольности векторов (5) и означает неотрицательную определенность матрицы на . Что и требовалось.
Легко убедиться, что в одномерном случае выпуклость дважды дифференцируемой функции эквивалентна неотрицательности ее второй производной.
Заметим, что критерием вогнутости функции является неположительная определенность матрицы , критерием строгой выпуклости является ее положительная определенность, а критерием строгой вогнутости – отрицательная определенность.
Теорема 3 удобна для установления выпуклости функций. Рассмотрим пример. Выясним, при каких условиях квадратичная функция
выпукла на . Для этой функции 
, 
. На основании теоремы 3 получаем, что неотрицательная определенность матрицы 
эквивалентна выпуклости квадратичной функции.