Для нахождения интегралов данного типа используется метод интегрирования «по частям». Напомним, что формула интегрирования по частям имеет вид: 
. Основные приемы, связанные с интегрированием «по частям» приведены в таблице 3.
Решение задачи 6
Данный интеграл имеет вид 
, где 
. Такие интегралы берутся «по частям». За функцию 
принимается 
и применяется 
раз формула интегрирования по частям. В нашем случае 
, поэтому формулу интегрирования «по частям» здесь достаточно использовать только один раз.
.
Задача 7
Вычислить интеграл 
.
Решение задачи 7
Данный интеграл относится к виду 
. Такие интегралы берутся «по частям». За функцию 
принимается 
и применяется раз формула интегрирования по частям. В нашем случае 
, формулу интегрирования «по частям» здесь достаточно использовать два раза.
.
Применим ко второму интегралу еще раз формулу интегрирования по частям.
.
Вычислим интеграл 
отдельно, сделав предварительно некоторые алгебраические преобразования. Сначала добавим и вычтем 1 в числителе, а затем разобьем исходный интеграл на два табличных интеграла.
.
Отсюда
Применив метод подведения под знак дифференциала последние два интеграла, можно вычислить
Окончательный ответ
.
Задача 8
Вычислить интеграл 
.
Справочный материал
В данном интеграле подынтегральная функция является дробно-рациональной функцией, то есть представляет собой рациональную дробь вида
.
Метод интегрирования рациональных дробей сводится к разложению подынтегральной функции на сумму элементарных дробей, интегралы от которых являются табличными интегралами.
Если знаменатель дроби можно разложить на множители
где 
и 
не имеют вещественных корней, то правильная дробь 
, где 
, может быть представлена в виде суммы элементарных дробей:
Приведем примеры элементарных или простейших дробей.
1. 
,
2. 
, ( - целое положительное число)
3. 
(дискриминант 
),
4. 
(
и - целое положительное число).
Интегралы от этих дробей имеют вид:
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
.
Интегрирование простейших дробей этого типа требует более сложных вычислений. Мы не будем здесь подробно рассматривать вычисления, связанные с интегрированием дробей данного типа, так как эти вычисления приведены в компендиуме по данной теме. Приведем окончательную формулу.
Вычисление последнего интеграла сводятся к рекуррентным соотношениям вида
.
Если дробь неправильная, предварительно следует выделить целую часть этой дроби. Неправильную рациональную дробь всегда можно представить в виде суммы рационального выражения (многочлена) и правильной рациональной дроби, то есть рациональная дробь 
при 
представима в виде:
, где 
.
Такое представление неправильной рациональной дроби и называется выделением целой части.
Решение задачи 8
В нашем примере степень числителя и знаменателя одинакова и равна 3. Следовательно, предварительно необходимо выделить целую часть рациональной дроби. Рассмотрим подынтегральную функцию:
Выделение полной части рациональной дроби можно осуществить путем деления многочленов.
| 
|
–
| |
|
Таким образом
.
Полученную неправильную рациональную дробь разложим на простейшие дроби. Знаменатель можно представить в виде 
. Следовательно, дробь представима в виде
.
Приведем выражение, стоящее в правой части равенства к общему знаменателю
Отсюда получим тождество
.
Коэффициенты 
можно найти двумя способами.
1 способ. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях тождества.
Коэффициенты при одинаковых степенях 
в обеих частях тождества должны быть равны:
| = | 
| |
| –2 | = | 
|
| –8 | = | 
|
Таким образом, для нахождения коэффициентов получена система линейных алгебраических уравнений, решив которую найдем неизвестные коэффициенты.
.
Отсюда 
, 
, 
.
2 способ. Придавая переменной конкретные значения.
Подставим значение 
в полученное тождество
,
определим .
Подставив значение 
определим , и, наконец, подставив 
, определим 
.
Теперь исходный интеграл запишется в виде:
.
Полученный интеграл можно записать в более компактном виде, используя свойства логарифма.
.
Задача 9
Вычислить интеграл 
.
Справочный материал
В данном интеграле подынтегральная функция так же является дробно-рациональной функцией, и представляет собой правильную рациональную дробь, в отличие от примера, рассмотренного в предыдущем пункте. Метод решения – разложение подынтегральной функции на простейшие рациональные дроби. Этот метод был изложен в предыдущем пункте.
Решение задачи 9
Знаменатель можно представить в виде 
. Следовательно, дробь представима в виде
.
Приведем выражение, стоящее в правой части равенства к общему знаменателю
Отсюда получим тождество
.
Коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях тождества должны быть равны:
|
| = | 
| |
|
| = | 
| |
|
| -3 | = | 
|
Таким образом, для нахождения коэффициентов получена система линейных алгебраических уравнений, решив которую найдем неизвестные коэффициенты.
.
Выразим коэффициенты 
и 
через 
и подставим их во второе уравнение
или 
, 
, 
.
Теперь исходный интеграл запишется в виде:
Первый из интегралов является табличным, формула (2).
Второй интеграл можно вычислить двумя способами.
1 способ. Второй интеграл представляет собой интеграл типа 3 (см. справочный материал к задаче 8), поэтому можно применить формулу.
.
В нашем случае
, 
.
.
.
2 способ. Выделение полного квадрата в знаменателе подынтегрального выражения.
Представим 
в виде полного квадрата.
.
Тогда интеграл можно переписать в виде:
Рассмотрим первый из интегралов
Второй из интегралов – табличный, формула (12).
.
Таким образом,
.
Окончательный ответ 
.
Задача 10
Вычислить интеграл 
.
Справочный материал
В данном примере подынтегральная функция содержит иррациональное выражение. Метод решения здесь: применение подходящей замены. Обычно замену выбирают так, чтобы избавиться от иррационального выражения.
Решение задачи 10
Введем новую переменную 
. Отсюда 
, 
. Подставим полученные выражения в интеграл
Вернемся к исходной переменной
Задача 11
.
Справочный материал
В данном примере подынтегральная функция имеет вид 
, где 
― рациональная функция от 
и 
. Метод решения здесь основан на применении так называемой универсальной подстановки
, или 
.
Тогда
, 
, 
.
Таким образом, данная подстановка, приводит исходный интеграл от тригонометрических функций 
и 
к интегралу от рациональной функции новой переменной 
.
.
Решение задачи 11
Применив универсальную подстановку, получим
.
Таким образом, интеграл от тригонометрических функций свелся к интегралу от рациональной дроби.
Разложим подинтегральную функцию на простейшие дроби
.
Отсюда
.
Подставим в ту формулу 
, получим 
, подставим в ту формулу 
, получим 
. Таким образом,
.
Возвращаясь к исходной переменной, получим:
.
Задача 12
Вычислить интеграл 
Справочный материал
В данном примере требуется найти значение определенного интеграла. Для вычисления определенных интегралов используется формула Ньютона-Лейбница
,
где 
есть какая-либо первообразная для функции 
.
Подынтегральная функция имеет вид 
, где 
― рациональная функция своих аргументов. Метод решения здесь основан на применении подстановки 
. Тогда 
.
Решение задачи 12
1 способ. Рассмотрим сначала неопределенный интеграл. Применив подстановку 
,
тогда 
получим
Представим в знаменателе число 
в виде 
, и вынесем 
за скобку, получим
.
Возвратимся к исходной переменной. Найдем сначала
.
Получим:
.
2 способ. Можно интегрировать непосредственно определенный интеграл. В этом случае нужно пересчитать пределы интегрирования. При 
, имеем 
, отсюда 
. При 
, имеем 
, отсюда 
.
.
Задача 13
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 
, 
.
Справочный материал
Определенный интеграл используется для нахождения площадей плоских фигур. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривыми 
, 
и прямыми 
, 
(рис.1), равна
. 
.
 |
Рис.1 Площадь криволинейной трапеции
Решение задачи 13
В данном случае фигура ограничена двумя линиями – прямой и параболой.
Рис. 2.
Для определения пределов интегрирования найдем точки пресечения этих кривых. Они находятся как решения уравнения 
.
Для определения пределов интегрирования найдем точки пресечения этих кривых. Они находятся как решения уравнения . В нашем случае 
, 
. Для определения точек пересечения имеем уравнение:
, или 
. Решая уравнение, находим 
. Следовательно, 
.
Осталось вычислить определенный интеграл
Задача 14
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией:
, при 
.
Справочный материал
Для определения площади фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде
,
и прямыми вида 
и , используется формула:
где 
. Пределы интегрирования 
и 
находятся из уравнений 
.
Решение задачи 14
Данная кривая является циклоидой.
Рис. 3
В нашем случае
.
Пределы интегрирования и 
находятся из уравнений , то есть из равнений 
. Решая их находим 
, 
, поэтому искомая площадь равна значению определенного интеграла
Задача 15
Вычислить длину дуги кривой
, при 
.
Справочный материал
Для определения длины дуги кривой, заданной в параметрическом виде 
и 
, где 
используется формула:
.
Решение задачи 15
Заданная кривая является астроидой
Рис. 4.
.
| 1 вариант | |
1.  .
2.  .
3.  .
4.  .
5.  .
6.  .
7.  .
|
8.  .
9.  .
10.  .
11.  .
12.  .
|
13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
 ,  .
14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
 ,  , при  .
15.Найти объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями  , при  , вокруг оси  .
| |
| 2 вариант | |
1.  . 15. Найти длину дуги кривой
2.  .
3.  .
4.  .
5.  .
6.  .
|
7.  .
8.  .
9.  .
10.  .
11.  .
12.  .
|
13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  и  .
14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
 ,  , при  .
15.Вычислить длину дуги кривой  от ее вершины до точки  .
| |
| 3 вариант. | |
1.  .
2.  .
3.  .
4.  .
5.  .
6.  .
7.  .
|
8.  .
9.  .
10.  .
11.  .
12.  .
|
13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
 ,  ,  .
14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
 и  , при  и  .
15.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями  и  , вокруг оси .
|
| 4 вариант. | |
1.  .
2.  .
3.  .
4.  .
5.  .
6.  .
7.  .
|
8.  .
9.  .
10.  .
11.  .
12.  .
|
13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
 , ,  ,  .
14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
 ,  , при  .
15.Вычислить длину дуги линии  , при  .
|
| 5 вариант. | |
1.  .
2.  .
3.  .
4.  .
5.  .
6.  .
7.  .
|
8.  .
9.  .
10.  .
11.  .
12.  .
|
13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
 ,  , при  .
14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  ,  , при  .
15.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси  фигуры, ограниченной линией:  .
|
| 6 вариант. | |
1.  .
2.  .
3.  .
4.  .
5.  .
6.  .
|
7.  .
8.  .
9.  .
10.  .
11.  .
12.  .
|
13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
 ,  , при  .
14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
 ,  ,при .
15.Вычислить длину дуги кривой
 ,при .
|
| 7 вариант. | |
1.  .
2.  .
3.  .
4.  .
5.  .
6.  .
7.  .
| 8.  .
9.  .
10.  .
11.  .
12.  .
|
13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
 , ,  .
14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией:
 .
15.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси  фигуры, ограниченной линиями:
 .  ,  ,
|
| 8 вариант. | |
1.  .
2.  .
3.  .
4.  .
5.  .
6.  .
7.  .
|
8.  .
9.  .
10.  .
11.  .
12.  .
|
13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
 , ,  ,  .
14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
 ,  ,при  и  .
15.Вычислить длину дуги кривой  ,при .
|
| 9 вариант. | ||
1.  .
2.  .
3.  .
4.  .
5.  .
6.  .
| 7.  .
8.  .
9.  .
10.  .
11.  .
12.  .
| |
13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
 , ,при .
14.Вычислить плошадь фигуры, ограниченной линиями:
 ,  ,при  .
15.Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:  и  , вокруг  .
| ||
| 10 вариант. | ||
1.  .
2.  .
3.  .
4.  .
5.  .
6.  .
7.  .
| 8.  .
9.  .
10.  .
11.  .
12.  .
| |
13.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
 ,  ,  .
14.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
 ,  ,при  .
15.Найти длину дуги кривой  ,при  .
| ||
| 11 Вариант. | ||||
1.  .
2.  .
3.  .
4.  .
5.  .
6.  .
| 7.  /
8.
Поиск по сайту©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование. Дата создания страницы: 2020-05-09 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных |
Поиск по сайту: Читайте также: Деталирование сборочного чертежа Когда производственнику особенно важно наличие гибких производственных мощностей? Собственные движения и пространственные скорости звезд |