Справочный материал для задач 3, 4, 5

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

Санкт-Петербург

Справочный материал

Задания данного типового расчета делятся на три типа: нахождение неопределенных интегралов, вычисление определенных интегралов и применение интегралов к решению геометрических задач.

Перечислим основные методы нахождения неопределенного интеграла.

Метод 1. Непосредственное интегрирование. В этом случае необходимо с помощью элементарных преобразований привести интеграл к табличному виду. Ниже приводятся первообразные для основных элементарных функций. При решении задач мы будем ссылаться на эту таблицу, указывая соответствующий номер формулы.

Таблица 1.

, где	(1)
	(2)
	(3)
	(4)
	(5)
	(6)
	(7)
	(8)
	(9)
	(10)
	(11)
	(12)
	(13)
	(14)
	(15)
	(16)
	(17)
	(18)
	(19)
	(20)

Метод 2. Замена переменной или интегрирование подстановкой. Методы, использующие замену переменной можно разделить на две группы:

Подведение под знак дифференциала.

Интегрирование посредством замены переменной.

Подведение под знак дифференциала используется, если подинтегральная функция представима в виде

Используя определение дифференциала , исходный интеграл перепишется в виде

где интеграл является табличным интегралом.

Например, . Здесь использована формула .

Приведем преобразования дифференциалов, используемых наиболее часто:

Таблица 2.

, где	(21)
, где	(22)
	(23)
	(24)
	(25)
	(26)
	(27)

Интегрирование посредством замены переменной. Для нахождения интеграла можно заменить переменную новой переменной , связанной с подходящей формулой . Определив для этой формулы и подставляя в интеграл, получим

Если полученный интеграл с новой переменной будет найден, то преобразовав результат к переменной , получим искомое выражение заданного интеграла.

Иногда замену переменной удобнее сделать в виде . Определив для этой формулы , получим . Подставив и в исходный интеграл, получим интеграл от новой переменной.

Метод 3. Интегрирование по частям. Ф ормула интегрирования по частям имеет вид:

Этот метод используется чаще всего для интегралов специального вида , где многочлен степени , а такая функция, что интеграл является табличным или легко сводится к такому. В таблице 3 приведены основные типы интегралов, для которых используется этот метод.

Таблица 3.






, где

Задача 1.1

Вычислить интеграл .

Справочный материал

Для нахождения интегралов данного типа необходимо с помощью элементарных преобразований привести интеграл к табличному виду.

Решение задачи 1.1

По свойству интеграла (см. компендиум по этой теме), постоянный множитель можно вынести за знак интеграла. Полученный интеграл является табличным и его можно вычислить по формуле (10).

Задача 1.2

Вычислить интеграл .

Решение задачи 1.2

Используя свойство дифференциала (см. компендиум по этой теме), имеем . Тогда исходный интеграл можно записать в виде

Полученный интеграл является табличным, см. формулу (1).

Задача 2

Вычислить интеграл .

Справочный материал

Для нахождения интегралов данного типа используется метод подведения под знак дифференциала. Все необходимые формулы приведены в таблице 2.

Решение задачи 2

Используя свойство дифференциала , исходный интеграл можно записать в виде

Введем обозначение , тогда интеграл запишется в виде . Полученный интеграл является табличным интегралом, его можно вычислить по формуле (1).

Задача 3

Вычислить интеграл .

Справочный материал для задач 3, 4, 5

Задачи этого типа похожи на задачу 2, рассмотренную в предыдущем пункте, но они более сложные. Для нахождения интегралов здесь также используется метод подведения под знак дифференциала. Иногда требуется предварительно произвести некоторые алгебраические преобразования исходного интеграла.

Решение задачи 3

По свойству дифференциала , тогда исходный интеграл можно записать в виде