Группа: ХКМ 1/1.
Практическое занятие
Тема: «Вычисление элементов, площади поверхности и объёма пирамиды »
План
1. Решение задач на вычисление элементов, площади поверхности пирамиды.
2. Решение задач на вычисление объёма пирамиды.
Цель: формирование умений и навыков решать задачи на вычисление элементов, площади поверхности и объёма пирамиды.
Задачи: обучающие – решение задач по теме «Вычисление элементов, площади поверхности и объёма пирамиды», повторение понятий «пирамида» и ее элементов;
развивающие - обеспечение условий для развития умений грамотного, четкого и точного выражения мыслей; условий для развития внимательности, наблюдательности, памяти, мышления, речи;
воспитательные - формирование интереса к предмету, интереса к своей будущей специальности, способность овладению необходимыми навыками самостоятельной учебной деятельности.
Решение задач на вычисление элементов, площади поверхности пирамиды.
Задача №1
Дано: SABCD - правильная четырехугольная пирамида; SA = 4 см,
∠SAO = 45°.
Найти a) SO; б) 
.
Решение:
1) ΔSAO - прямоугольный (∠SOA = 90°).
см
2) ΔSAO - равнобедренный т.к. ∠SAO = ∠ASO= 45°
Поэтому AO= 
= 
см.
3) ΔAOD- прямоугольный (∠AOD = 90°).
= 
=4 см.
4) ΔSOH - прямоугольный (∠SOH=90°) По теореме Пифагора имеем:
SH= 
5) 
правильной четырехугольной пирамиды.
Ответ: 
.
Задача №2
Дано: SABCD - правильная четырехугольная пирамида; SO = 
см,
∠SAO = 60°.
Найти a) SA; б) .
Решение:
1) ΔSAO - прямоугольный (∠SOA = 90°), ∠SAO = 60°, SO = см
см
см
2) Т.к. SABCD - правильная четырехугольная пирамида, то ABCD-квадрат. 
OD=AO= 
см
3) ΔAOD- прямоугольный (∠AOD = 90°). 
По теореме Пифагора имеем:
4)ΔOHD- прямоугольный (∠H = 90°). По теореме Пифагора имеем:
DH = 
OH= 
5) 4) ΔSOH - прямоугольный (∠SOH=90°) По теореме Пифагора имеем:
SH= 
6) правильной четырехугольной пирамиды.
Ответ: 
.
Задача №3 (№239 [1] стр.72)
Дано: 
Найти боковые рёбра пирамиды.
Решение:
1) По свойству ромба ∠АОВ = 90°, AO=OC= 
2) РассмотримΔAOD (∠АОD = 90°). По теореме Пифагора имеем:
BO=OD=3 cм
3) По построению ΔAOQ, ΔDOQ, ΔCOQ, ΔBOQ - прямоугольные.
3.1 Из ΔAOQ находим: 
QC=AQ 
так как AO=OC.
3.2 Из ΔDOQ находим: 
Ответ: QC=AQ 
Решение задач на вычисление объёма пирамиды.
Задача №4 (№684 [1] стр.172)
Найдите объём пирамиды с высотой h, если:
а) h=2 м, а основанием служит квадрат со стороной 3м;
б) h=2,2 м, а основанием служит треугольник ABC, в котором AB=20см,
ВС=13,5см, ∠ABC=30°.
Решение:
а)Объём пирамиды равен
9*2=6 
.
б) Если основанием служит треугольник ABC в котором AB=20см, ВС=13.5см, ∠ABC=30°, то 
равна половине произведения его двух сторон на синус угла между ними, т.е. 
AB*BC*sin30°= 
67.5 
.
Ответ: а) 6 
б) 
.
Задача №5 (№685 [1] стр.172)
Найдите объём правильной треугольной пирамиды, высота
которой равна 12 см, а сторона основания равна 13 см.
Решение:
Правильная треугольная пирамида - это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Т.к. основанием пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник, то
и 
Ответ: 
Задача №6 (№689 [1] стр.172)
Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно m и составляет с плоскостью основания угол 
. Найдите объём пирамиды.
Решение:
KO перпендикулярно плоскости ABCD. KO- высота пирамиды.
Основание правильной четырёхугольной пирамиды- квадрат.
Все боковые рёбра правильной четырёхугольной пирамиды равны.
OB - проекция KB на плоскость основания, ∠KBO= .
Из ΔKBO имеем:
.
Пусть a- сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды.
Из ΔADB (∠DAB=90°) По теореме Пифагора имеем: 
,
, 
, где 
;
* 
.
Ответ: 
.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение пирамиды.
2. Сформулируйте следующие определения: основание, боковые рёбра, боковые грани, высота пирамиды.
3. Сформулируйте основные свойства правильной треугольнойпирамиды.
4. Сформулируйте основные свойства правильной четырёхугольнойпирамиды.
5. Сформулируйте основные свойства правильной шестиугольнойпирамиды.
6. Чему равна площадь полной поверхности любой пирамиды?
7. Чему равна площадь основания правильной треугольной, правильной четырёхугольной, правильной шестиугольнойпирамиды?
8. Как вычислить объём любой пирамиды?
Литература
1. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / [Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.].- 3-е изд.- М.: Просвещение, 2016.- 255с.
Дополнительная литература
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.
Задание
1. Разобрать задачи лекции, сделать конспект.
2. Ответить письменно на контрольные вопросы.
3. Решить самостоятельно по литературе [1] задачи №691 и №692.
4. Переслать сканы выполненного задания личным сообщением на https://vk.com/id587846845 или на электронную почту annokhonchenko@rambler.ru