Порядок выполнения работы

Распределение Максвелла

Цель работы: применение распределения Максвелла для расчета частоты ионизации атомов электронным ударом

Теоретическое введение

Статистика Максвелла – распределение по скоростям (кинетическим энергиям) частиц физической системы, находящейся в состоянии равновесия, в отсутствие внешних полей при условии, что движение частиц подчиняется законам классической механики. Функция распределения позволяет рассчитать относительное количество частиц dN/N, скорости которых окажутся около значения :

. (1)

Распределение Максвелла не зависит от конкретных особенностей взаимодействия частиц и справедливо не только для газов, но и для жидкостей, если для них возможно описание с помощью классической физики. Классический подход применим при температурах Т частиц, значительно превышающих температуру вырождения Т_g:

, (2)

где m – масса частицы, n – концентрация частиц, k = 1,38×10^-23 Дж/К – постоянная Больцмана, h = 6,626×10^-34 Дж×с – постоянная Планка. Например, чтобы определить, можно ли применить распределение Максвелла к электронному газу, в критерий (2) следует подставить массу и концентрацию электронов.

В случае многоатомных молекул распределение Максвелла имеет место для движения их центров масс и не зависит от внутримолекулярного движения, даже в том случае, когда для описания последнего необходимо использовать законы квантовой механики.

Различают функции распределения (ФР) Максвелла по компоненте скорости j(v_x), по модулю скорости F (v) и по кинетической энергии частицы F (E).

1) ФР по компоненте скорости частиц:

, (3)

2) ФР по модулю скорости частиц:

, (4)

Функция F (v) имеет локальный максимум при скорости , называемой наиболее вероятной.

3) ФР по кинетическим энергиям частиц E = mv ²/2:

, (5)

Чтобы перейти от распределения по модулю скорости (4) к распределению по кинетическим энергиям (5), необходимо не только подставить известное соотношение между скоростью и кинетической энергией поступательного движения частицы

, (6)

но и учитывать связь функций распределения при замене аргумента:

. (7)

В электронике для энергии часто используют не единицу системы СИ (Джоуль), а внесистемную единицу – электронвольт (эВ). 1 эВ = 1,6×10^-19 Дж – энергия, которую приобретает электрон, пройдя в электрическом поле ускоряющую разность потенциалов 1 В. Если применить (5) к электронам, выразив их кинетические энергии и температуру в эВ, т.е. произвести замены: E [Дж] ® eE [эВ], kT [Дж] ® eT_e [эВ], распределение (5) принимает вид:

. (5а)

Максвелл использовал для обоснования распределений (3) – (5) принцип детального равновесия: каждый микропроцесс в системе, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, протекает с той же скоростью, что и микропроцесс, обратный ему.

Прямой процесс при упругом столкновении двух частиц заключается в скачкообразном изменении их скоростей: , где v ₁, v ₂ – скорости первой и второй частиц перед столкновением, v ₃, v ₄ – скорости этих же частиц после столкновения. При этом должна сохраняться суммарная кинетическая энергия столкнувшихся частиц:

. (8)

Обратный процесс: , - в данном случае начальные и конечные значения скоростей сталкивающихся частиц меняются местами.

Из формулировки принципа детального равновесия следует уравнение, связывающее значения ФР для скоростей двух частиц, соответствующих начальному и конечному состояниям столкновительного процесса:

. (9)

Максвелл доказал, что ФР , удовлетворяющая уравнению (9) при условии сохранения энергии (8), имеет вид (3). При помощи распределения Максвелла можно вычислить среднее значение любой функции скорости G (v) или энергии U (E) частиц:

, . (10)

Наиболее простые примеры усреднения по ФР:

- cредняя квадратичная скорость v_ms:

- средний модуль скорости v_a: .

Дж. Дж. Томсон описал процесс ионизации атомов газа электроном с помощью найденной теоретически зависимости частоты ионизации n _i от кинетической энергии электрона E:

, (11)

в которой a ₀ = 5,29×10^{-11 м – радиус атома водорода, W} _H = 13,6 эВ – энергия ионизации атома водорода, W_a – энергия ионизации атома в эВ, n_a - концентрация атомов газа, e = 1,6×10^-19 Кл, m = 9,1×10^{-31 кг} – заряд и масса электрона, кинетическую энергию электрона E в формулу (11) следует подставлять в эВ.

Частотой ионизации называется количество ионизаций атомов, производимых одним электроном в единицу времени; физическая размерность этой величины 1/с. Однако, поскольку кинетические энергии электронов разные, чтобы количественно описать процесс ионизации атомов при столкновениях с электронами, необходимо усреднить частоту ионизации, используя функцию распределения электронов по энергиям:

(12)

Обычно для таких вычислений используют методы численного интегрирования, реализация в среде Mathcad позволяет не только рассчитать среднюю величину, но и исследовать ее зависимость от какого-либо параметра, например, от температуры электронов T_e.

Порядок выполнения работы

В данной работе вычислительные операции с использованием ФР осуществляются в среде Mathсad; графики рассчитанных зависимостей при оформлении отчета следует импортировать в документ Microsoft Word, в котором формируется отчет о работе.

1. Рассчитать и на одном поле построить три ФР F (E), каждая из которых соответствует значению температуры электронов, заданному преподавателем. Энергию электронов задавать в электронвольтах.

2. Осуществить численное дифференцирование рассчитанных зависимостей F (E) и для каждой из них найти значение кинетической энергии E_p, соответствующее нулю первой производной в локальном максимуме функции распределения. Сравнить каждое из найденных значений с кинетической энергией, соответствующей наиболее вероятной скорости v_p. Объяснить причину расхождений. Вывести самостоятельно формулу для теоретического расчета значения кинетической энергии, которому соответствует максимум распределения F (E). Результаты вычислений занести в таблицу:

3. Используя ФР по энергиям (5а), вычислить относительную долю электронов g, энергия которых превышает величину E ₀; результаты представить в форме графиков зависимостей g(E ₀), построенных на общем поле для каждой температурs электронов из заданных преподавателем. Энергии E ₀ задавать в электронвольтах.

4. Используя формулу Томсона (11), рассчитать зависимость частоты ионизации n _i атомов электронами от энергии электронов для химического элемента, заданного преподавателем, и построить ее график.

5. Путем численного интегрирования в соответствии с (12) рассчитать зависимость средней частоты ионизации от температуры электронов. Результат представить в виде графиков зависимости <n _i > от T_e, построенных с использованием обычно и логарифмической шкалы. Концентрация атомов и диапазон изменения температуры электронов (в электронвольтах) задаются преподавателем.