1) Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
a) 
; b) 
; c) 
;
d) 
; e) 
2)Исследовать функции на непрерывность. Классифицировать точки разрыва.
a) 
; b) 
3) Найти производные 
для следующих функций:
a) 
; b) 
; c) 
; d) 
4) Найти уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке x0=1.
5) С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции 
.
6) Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
.
7) Даны функция 
и точки A(1;3), B(0,97;3,02). Вычислить:
a)значение функции 
;
b) с помощью дифференциала, заменяя приращение при переходе от A к B дифференциалом. Оценить в процентах относительную погрешность вычисления.
c) cоставить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности 
в точке A.
8) Даны функция 
, точка М(1;-1;2) и вектор 
.
Найти:
a) градиент данной функции в точке М;
b) производную функции в точке М по направлению вектора 
.
9) Дана функция 
. Найти:
a) экстремум данной функции;
b) наибольшее и наименьшее значения функции в области 
, ограниченной линиями: 
Типовой разбор варианта контрольной работы
Контрольная работа №1
1)Даны матрицы: 
, 
, 
.
Найти 
Решение:
Матрица А имеет размерность 
, матрица В размерность 
. Т.к. число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, то данные матрицы можно перемножить. В результате получится некоторая матрица D, имеющая размерность 
.
Найдем элементы матрицы D:
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
.
Тогда 
.
По правилу умножения матрицы на число 
Найдём 
.
2)Дана матрица: 
. Найти обратную к ней матрицу 
Решение:
Вычислим определитель матрицы А методом треугольников:
Т.к. 
, то обратная матрица может быть найдена. Найдём алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А:
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
|  .
|
Составим присоединённую матрицу 
Обратная матрица 
Для проверки, правильности вычисления 
, найдём
3) Решить систему методом Жордана – Гаусса:
a) 
Решение:
Рассмотрим расширенную матрицу системы: 
. Приведём её к верхне- треугольному виду.
Из 3-ей стоки вычтем 1-ю строку, умноженную на 3: 
.
Разделим 3-ю строку на 5: 
Вычтем из 3-ей строки 2-ю строку: 
и разделим 3-ю строку
на (-1): 
. Мы привели матрицу к верхнее- треугольному виду.
Заменим исходную систему системой, полученной путём преобразования матрицы и найдем значения переменных: 
Из 2-го уравнения при 
получим 
.Подставляя значения y и z в 1-ое уравнение найдем значение 
.Тогда решение системы может быть представлнно в виде матрицы-столбца: 
.
b) 
Решение:
Рассмотрим расширенную матрицу системы: 
. Приведём её к верхнее треугольному виду.
Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки: 
. Из 2-ой стоки вычтем 1-ю строку, умноженную на 2, из 3-ей стоки вычтем 1-ю строку, умноженную на 3: 
. К 3-ей строке прибавим 2-ю строку: 
. Третью строку разделим на (-30): 
. Переменные 
являются базисными, а переменная 
является свободной. Заменим исходную систему системой, полученной путём преобразования матрицы и выразим базисные переменные через свободные: 
. Выразим из 3-го уравнения 
и подставим его значение во второе уравнение, затем из 2-го уравнения выразим 
и подставим в 1-е уравнение. Тогда система примет вид: 
. Свободная переменная может принимать любые значения. Зададим 
, где С - произвольная константа. Тогда решение системы может быть представлнно в виде матрицы-столбца: 
.
4) Даны векторы 
.
a)Доказать, что вектора 
образуют базис и найти разложение вектора 
по этому базису.
b) Найти скалярное произведение векторов 
и 
.
c) Найти векторное произведение векторов и .
d) Найти смешанное произведение векторов 
.
Решение:
a) Три вектора в трёхмерном пространстве образуют базис, если они линейно независимы. Для проверки линейной зависимости векторов составим их нулевую линейную комбинацию: 
. Данное векторное уравнение соответствует системе трёх линейных однородных уравнений: 
. Вычислим определитель матрицы, полученной системы: 
.
Т.к. определитель основной матрицы однородной системы 
, то система имеет единственное нулевое решение 
. Следовательно, по определению линейной зависимости векторов, векторы являются линейно независимыми, а значит образуют базис.
Найдём разложение вектора по этому базису. Составим линейную комбинацию: 
. Перепишем данное векторное уравнение в координатной форме: 
. Решая полученную систему (например, методом Крамера), найдём 
. Следовательно, разложение вектора по базису имеет вид: 
.
b) 
.
c) 
Раскрывая определитель по элементам 1-ой строки, получим: 
.
d) 
.
5) Даны координаты вершин треугольника, A (3, 5), B (-7, 12), C (2, -6). Найти:
a) длину стороны AB;
b) общие уравнения сторон AB и BC;
c) величину угла B;
d)длину и уравнение высоты, опущенной из вершины 
;
e) площадь треугольника 
;
f) уравнение прямой, проходящей через точку 
параллельно стороне 
.
Решение:
a)Найдём длину стороны AB, как длину вектора 
: 
. 
.
b)Найдём уравнения сторон AB и BC по формуле уравнения прямой, проходящей через две точки.
- общее уравнение прямой АВ.
- общее уравнение прямой ВС.
c) Угол В – есть угол между прямыми AB и BC. Угол между прямыми может быть найден, как угол между их нормальными векторами. 
. 
.
d) Опустим высоту из точки А на сторону ВС. Пусть точка D – есть основание этой высоты. Прямая AD перпендикулярна прямой ВС. Следовательно, вектор нормали прямой ВС является направляющим вектором для прямой AD. 
. Воспользуемся каноническим уравнением прямой. 
- общее уравнение высоты AD.
Найдём длину высоты AD, как расстояния от точки А до прямой ВС.
.
e)Найдём площадь треугольника как половину произведения длины основания треугольника на его высоту.
Пусть ВС – основание 
, AD – его высота.
; 
.
.
f) Обозначим прямую, проходящую через точку параллельно стороне через l. Т.к. 
, то 
. Составим каноническое уравнение прямой l.
- общее уравнение прямой l.
6) Даны четыре точки A (3;-2;1), B (1;2;4), C (-5;4;6), M (2;3;-1). Найти:
a)уравнение плоскости a, проходящей через три точки A, B, C;
b)каноническое уравнения прямой AB;
c)уравнение и длину высоты, опущенной из вершины М на грань ;
d) объем пирамиды АВСМ.
Решение:
a)Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки: 
Разложим определитель по элементам первой строки:
- общее уравнение плоскости α.
b) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:
- каноническое уравнение прямой АВ.
c) Обозначим высоту, опущенной из вершины М на грань через l. Т.к 
, то 
. Составим каноническое уравнение прямой l: 
.
Найдём длину высоты как расстояние от точки М до плоскости α: 
.
d)Объём пирамиды равен 
объёма параллелепипеда, построенного на трёх векторах и может быть вычислен через смешанное произведение этих векторов: 
.
.
7) Дано уравнение кривой второго порядка 
. Привести её к каноническому виду, определить вид, указать её параметры.
Решение:
Приведём данное уравнение к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты для переменных x и y:
,
,
,
.
Таким образом, получили каноническое уравнение гиперболы со смещённым центром:
или 
.
Точка 
– центр гиперболы.
– мнимая полуось;
– действительная полуось;
;
– эксцентриситет.
Точки 
определяют вершины гиперболы:
, 
.
Точки 
определяют фокусы гиперболы:
, 
.
Уравнения 
определяют директрисы гиперболы: 
.
Уравнения 
определяют асимптоты: 
.
Начертим гиперболу , используя найденные параметры (рис. 1).
Рис. 1
Контрольная работа №2
1)Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
Решение:
a) 
. Предел отношения многочленов и иррациональностей при 
равен пределу отношения старших по степени слагаемых.
b) 
.
c) 
.
d) 
e)Воспользуемся обобщённой формулой второго замечательного предела:
.
2) Исследовать функции на непрерывность. Классифицировать точки разрыва.
a) 
.
Решение:
Т.к. при 
знаменатель дроби 
обращается в ноль, то -есть точка разрыва данной функции. Найдём пределы при 
слева и справа.
, 
, следовательно -есть точка разрыва второго рода.
b) 
Решение:
Функции 
, , 
– элементарные и в области определения непрерывны. Точки разрыва возможны в переходных от одного задания к другому точках, т.е. в точках 
и 
. Исследуем поведение функции в этих точках:
слева: 
справа: 
, тогда 
, т.е. функция непрерывна в точке
слева: 
справа: 
, тогда 
, т.е. функция имеет разрыв первого рода в точке , т.к. пределы конечны.
3) Найти производные первого порядка для следующих функций:
a) 
Решение:
Воспользуемся формулой для нахождения производной частного:
b) 
Решение:
Воспользуемся формулой для нахождения производной обратной функции:
c) 
Решение:
Воспользуемся формулой логарифмического дифференцирования.
Найдём 
По формуле для нахождения производной от произведения:
.
Следовательно 
.
d) 
Решение:
Воспользуемся формулой для нахождения производной параметрически заданной функции: 
.
;
Тогда 
.
4) Найти уравнения касательной и нормали к графику функции 
в точке x0=-2.
Решение:
- уравнение касательной.
- уравнение нормали.
;
По формуле для нахождения производной частного:
; 
.
Тогда уравнение касательной: 
;
Уравнение нормали: 
.
5) С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции 
.
Решение:
1) Области определения функции не принадлежит только точка х =0:
D(y)=(-¥;0)È(0;+¥).
2) 
функция общего вида (не чётная и не нечётная).
Функция не периодична потому, что её область определения не имеет периодической структуры.
3)Найдём точки пересечения графика с осями координат.
С осью O x: у =0, 
, 
точка 
.
С осью O y: при х =0 функция не существует точек пересечения с осью O y нет.
4)Найдем асимптоты функции.
Вертикальные:
Исследуем функцию в окрестности точки разрыва х =0.
Левосторонний предел 
.
Правосторонний предел равен 
-двусторонняя вертикальная асимптота.
Наклонные и горизонтальные:
y = х – прямая, которая служит наклонной асимптотой графика как при x®-¥, так и при x®+¥.
5) Найдем критические точки: 
х =-2.
Найдем интервалы монотонности (метод интервалов) и точки экстремума функции.
Интервалы монотонности: на интервале 
функция возрастает; на интервале 
функция убывает.
При х =-2- функция принимает максимальное значение 
точка максимума.
При х =0 – экстремума нет, так как в этой точке функция не определена.
6) Исследуем функцию на вогнутость, выпуклость и перегиб.
Найдём вторую производную 
.
Интервалы выпуклости, вогнутости: на интервале 
функция выпукла. Перегибов нет.
7) На рис.2 построена кривая, удовлетворяющая проведённому исследованию.
Рис. 2
6)Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
.
Решение:
. Найдём критические точки:
не существует, если 
Точка 
, 
.
Найдём 
.
Найдём значения функции на концах отрезка:
; 
.
Наибольшее значение на данном отрезке достигается функцией в двух точках – на концах отрезка: 
.
Наименьшее значение на данном отрезке достигается функцией во внутренней точке отрезка: 
.
7)Даны функция 
и точки A(1; 2), B(1,02; 1,97).
Вычислить
a) значение функции ;
b) с помощью дифференциала, заменяя приращение при переходе от A к B дифференциалом. Оценить в процентах относительную погрешность вычисления.
c) Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности,заданной данной функцией в точке C (x0, y0, z0).
Решение:
a) 
.
b) Воспользуемся формулой: 
.
; 
; 
.
Найдем 
, 
, тогда 
, 
.
Следовательно, получим: 
Оценим относительную погрешность вычисления: 
.
c) C (1; 2; 3)
Составим уравнение касательной плоскости: 
Составим уравнение нормали: 
.
8) Даны функция 
, точка A(2;-1) и вектор 
. Требуется найти 
и производную в точке A по направлению вектора 
.
Решение:
; 
; 
; 
Следовательно 
.
Найдём направляющие косинусы вектора :
; 
.
данная функция убывает в направлении вектора
9) Найти экстремум функции 
и ее наибольшее и наименьшее значения в области : 
.
Решение:
Найдем стационарные точки функции из системы: 
.
М(6; -8)- стационарная точка. 
.
точка М0(6; -8) является точкой минимума функции.
Стационарная точка М0 
не лежит в заданном круге. Поэтому наибольшее и наименьшее значения функция принимает на границе области, т.е. на окружности 
.
Составим функцию Лагранжа 
.
Ее стационарные точки найдем из системы 
, откуда 
. Следовательно, стационарными точками границы являются М1(3, -4) и М2(-3, 4). 
. Эти числа являются наименьшим и наибольшим значениями z в заданной области: 
; 
.
Список рекомендуемой литературы.
1. Агишева Д. К. Матрицы и их приложение к решению систем линейных уравнений: Учебное пособие/ Д. К. Агишева, С. А. Зотова, В. Б. Светличная. - Волгоград, РПК «Политехник», 2001. – 63с.
2. Александрова Л. А, Александрова В. А, Зотова С. А., Светличная В. Б., Матвеева Т. А., Короткова Н. Н. Математика. I часть: Учебное пособие (для студентов заочной формы обучения) / – Волгоград, РПК «Политехник», 2003. – 84с.
3. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. – М.: Рольф, 2000. – 288 с., с илл.
4. Данко П. Е.,Попов А. Г.,Коевникова Т. Я. Высшая математика в упранениях и задачах. Том 1 – М.: Высшая школа, 1980 – 320 с., с илл.
5. Зотова С. А., Светличная В. Б., Матвеева Т. А.. Практическое руководство по аналитической геометрии: Учебное пособие / – Волгоград, РПК «Политехник», 2003. – 41с.
6. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учебное пособие для втузов – СПб: «Специальная Литература», 1998.–200 с.: илл.
7. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1981.–720с.: илл.
8. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. –М.: Гостехтеоргиздат, 1973.
Вопросы к экзамену по математике.