Прозвучал удар гонга, который открывает второй раунд в бою с двойными интегралами. Если вы недавно надели перчатки или вообще боксируете с грушей, то, пожалуйста, начните с первого раунда Двойные интегралы для чайников. Настоятельно рекомендую разобраться со всеми примерами вводного урока без халтуры, это очень важно. К тому же, добрый дядя Саша нарисовал много картинок, которые можно распечатать и наклеить у себя в туалете. Помните, что Коперник свои блестящие открытия в астрономии делал именно там.
Однако задорное получилось вступление…. Задумался вот… почему? Да потому что мне хорошо. А отчего хорошо, поясню в конце статьи.
Вспоминаем общую запись двойного интеграла:
В первой статье Двойные интегралы для чайников я очень подробно рассмотрел понятие двойного интеграла, алгоритм его решения, важнейшие задачи на обход области интегрирования. Также были прорешаны простейшие двойные интегралы в примерах на нахождение площади плоской фигуры.
Снова посмотрим на общую запись двойного интеграла и заметим, что в нём притаилась функция двух переменных 
. А когда речь заходит о функции двух переменных, то это часто попахивает частными производными второго порядка. Поэтому для освоения примеров вам необходимо уметь более или менее уверенно их находить.
В большинстве практических задач требуется формально вычислить двойной интеграл, но, помимо этого, он обладает отличным геометрическим смыслом – с помощью двойного интеграла помимо площади можно вычислить еще и объём. Геометрический смысл двойного интеграла поясню ниже на конкретных примерах.
Начинаем набивать наш двойной интеграл разнообразной начинкой:
Пример 1
Вычислить двойной интеграл
, 
Изменить порядок интегрирования и вычислить двойной интеграл вторым способом.
Решение: Изобразим область интегрирования 
на чертеже:
Напоминаю, что выполнение чертежа – необходимый начальный этап решения. Чертёж крайне важно выполнить правильно и точно, поскольку ошибка в графике незамедлительно запорет всё задание.
Выберем следующий порядок обхода:
Вопросы порядка обхода области интегрирования, я комментировать практически не буду, пожалуйста, смотрите статью Двойные интегралы для чайников.
Таким образом:
Обратите внимание на следующее действие: в данном случае можно вынести «икс» из внутреннего интеграла во внешний интеграл. Почему? Во внутреннем интеграле 
интегрирование проводится по «игрек», следовательно, «икс» считается константой. А любую константу можно вынести за знак интеграла, что благополучно и сделано.
С интегралами настоятельно рекомендую разбираться по пунктам:
1) Используя формулу Ньютона-Лейбница, найдём внутренний интеграл:
Вместо «игрека» подставляем функции!
2) Результат, полученный в первом пункте, подставим во внешний интеграл 
, при этом ни в коем случае не забываем про «икс», который там уже находится:
Готово.
Замечательно, если у вас под рукой есть микрокалькулятор, на котором можно считать обыкновенные дроби, он значительно ускорит заключительные вычисления. В последующих примерах я не буду подробно расписывать приведение дробей к общему знаменателю, а просто запишу ответ.
Выполняем вторую часть задания: изменим порядок обхода области и вычислим двойной интеграл вторым способом.
Перейдём к обратным функциям:
Для наглядности еще раз приведу чертёж, он будет точно таким же, но с другими обозначениями графиков:
Второй способ обхода области:
Таким образом:
Вот здесь уже «икс» является «родным» для внутреннего интеграла, поэтому его нельзя вынести во внешний интеграл.
1) Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислим внутренний интеграл:
Вместо «икса» подставляются функции!
Всегда проявляйте повышенное внимание при подстановке пределов интегрирования.
2) Результат, полученный в первом пункте, подставим во внешний интеграл и проведём окончательные вычисления:
Результаты совпали, значит, задание выполнено верно.
Если есть время, постарайтесь всегда проводить проверку, даже если этого не требуется в условии: вычислили интеграл одним способом – затем изменили порядок обхода области и вычислили вторым способом.
Ответ: 
Пример 2
Вычислить двойной интеграл
, 
Выполнить проверку: изменить порядок интегрирования и вычислить двойной интеграл вторым способом.
Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что в двойном интеграле изначально присутствует константа. А константу можно вынести за знак двойного интеграла, в данном случае:
В ходе решения вынесение константы целесообразно проводить в момент перехода к повторным интегралам.
Как видите, свойство линейности справедливо не только для «обычных», но и для кратных интегралов. Интеграл от интеграла недалеко падает.
Самое главное потом при вычислениях вынесенную константу не потерять. А забывают о ней часто.
Примерный образец чистового оформления примера в конце урока.