ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

 

Определение. Функция f (M) называется дважды дифференцируемой в точке М ₀ (обозначается f (M) ), если . Тогда , обозначаемые и называемые вторыми частными производными. Если , то пишут .

Теорема (о равенстве вторых смешанных производных).Если f (M) , то = .

Доказательство. Поскольку формула затрагивает только частные производные по двум переменным, то будем доказывать теорему для функции f (x, y) двух переменных.

Введем функцию

.

Если обозначить = , то получим

=(по теореме Лагранжа, где )=

= = =

= =

(т.к. , то по определению дифференцируемости)

= –

= ,

где , , – бесконечно малые величины при .

Если же вместо ввести обозначение = , то получим

=(по теореме Лагранжа, где )=

= = =

= =

(т.к. , то по определению дифференцируемости)

= –

= ,

где , , – бесконечно малые величины при .

Тогда имеем = . Переходя в этом равенстве к пределу при , получим

= .

Теорема (достаточное условие дважды дифференцируемости). Пусть функция определена в окрестности точки . Если , то f (M) .

Доказательство.

(по достаточному условию дифференцируемости)

f (M) .

Замечание. Для функции f (x, y) двух переменных, имеющей вторые смешанные частные производные и в некоторой окрестности точки , для равенства последних в точке достаточно их непрерывности в этой точке. Действительно, достаточно заменить соответствующие фрагменты доказательства на следующие. = (по теореме Лагранжа, примененной по переменной у, где ) = = (по непрерывности) = , где – бесконечно малая величина при . Аналогично, =(по теореме Лагранжа, примененной по переменной х, где ) = = (по непрерывности) = , где – бесконечно малая величина при . Далее как в приведенном доказательстве.

Определение. Дифференциалом второго порядка дважды дифференцируемой функции f (M) называется дифференциал от ее дифференциала.

Замечание. Для дважды дифференцируемой функции двух независимых переменных = = =

 

= =

 

= =

(по теореме о равенстве смешанных производных)

= .

Однако, если переменные не являются независимыми, то будет более сложное выражение для второго дифференциала, т.е. второй дифференциал уже не обладает свойством инвариантности формы.

Производные и дифференциалы более высоких порядков определяются аналогично.

 

ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ

 

Определение. Дифференциальная форма называется полным дифференциалом, если существует функция , т. ч. = . Тогда функция называется потенциальной функцией (потенциалом).

Теорема (критерий полного дифференциала). Пусть функции и определены в связном открытом множестве , , , , .

Тогда дифференциальная форма является полным дифференциалом всюду в Х всюду в Х.

Доказательство. (): Т.к. является полным дифференциалом, то существует функция , т. ч. = . Но = . Тогда , . По условию теоремы функции и имеют частные производные по у и х, соответственно. Значит, , . Из их непрерывности, по имеющемуся выше замечанию, следует их равенство, т.е. всюду в Х.

(): Пусть всюду в Х. Построим функцию , для которой выполнено равенство = , или равносильная пара тождеств , . Проинтегрируем первое из этих тождеств по х (считая у постоянной), что возможно благодаря непрерывности в связном открытом множестве Х. По теореме о производной интеграла с переменным верхним пределом в качестве первообразной для можно взять , где – любая фиксированная точка в Х, а по теореме об общем виде первообразной = + . Учитывая, что должно еще выполняться , получаем новое требование + = , откуда = –

– = – = – = –

– = . Тогда = + С.

Подставляя найденное выражение для в выражение для , получаем = + + С. Существование такой , что = доказывает, что дифференциальная форма есть полный дифференциал.

 

ЛОКАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

 

Определение. Точка М ₀ называется точкой локального максимума функции f (M), т.е. f (M ₀)=max f (M), если f (M) f (M ₀).

Определение. Точка М ₀ называется точкой локального минимума функции f (M), т.е. f (M ₀)=min f (M), если f (M) f (M ₀).

Определение. Точка М ₀ называется точкой локального экстремума функции f (M), если она является точкой локального максимума или минимума.

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть функция f (M) определена в некоторой окрестности точки М ₀ и . Если функция f (M) имеет в точке М ₀ локальный экстремум, то .

Доказательство (для i =1, остальные аналогично). = = =(поскольку мы фактически имеем дело с функцией одной переменной, то имеет место теорема о необходимом условии экстремума функции одной переменной)=0.

Замечание. Это условие не является достаточным.

Определение. Точка М ₀ называется стационарной точкой функции f (M), если .

Определение. Точка М ₀ называется критической точкой функции f (M), если она стационарная или не все существуют.

Следствие. Пусть f (M) , где М ₀ – точка локального экстремума функции f (M). Тогда (т.е. независимо от ).

Доказательство. = = = .

Следствие. Пусть f (M) , где М ₀ – точка локального экстремума функции f (M). Тогда .

Доказательство. =(0,…,0)= .

Определение. Точка М ₀ называется минимаксом (седловой точкой), если она является стационарной точкой, но не является точкой экстремума.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть f (M) , где М ₀ – стационарная точка функции f (M). Тогда

· если при любых , то f (M ₀)=min f (M);

· если при любых , то f (M ₀)=max f (M);

· если при разных бывает разных знаков, то экстремума нет (минимакс);

· если не бывает разных знаков, но не всегда отличается от нуля, то в точке М ₀ экстремум может быть, а может и не быть (нужны дополнительные исследования).

(Без доказательства).

Определение. Рассмотрим матрицу . Миноры

, , …, называются главными минорами этой матрицы.

Теорема (Критерий Сильвестра). Обозначим . Тогда, при f (M) , = (). Для того чтобы при любых выполнялось неравенство (соответственно, ), необходимо и достаточно, чтобы главные миноры матрицы, составленной из , удовлетворяли неравенствам (соответственно, ).

(Без доказательства).

Следствие. Пусть f (х, у) , где М ₀(х ₀, у ₀) – стационарная точка функции f (M). Тогда

· если и , то f (M ₀)=min f (M);

· если и , то f (M ₀)=max f (M);

· если , то экстремума нет (минимакс);

· если , то в точке М ₀ экстремум может быть, а может и не быть (нужны дополнительные исследования).

 

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

 

Определение. Пусть функция f (M), где определена в некоторой окрестности точки f (M ₀). Пусть координаты связаны соотношениями (). Тогда точка М ₀ называется точкой условного максимума (соответственно, минимума) функции f (M), если , таких что () f (M) f (M ₀) (соответственно, f (M) f (M ₀)).

Теорема (необходимое условие условного экстремума). Пусть f (M) , координаты связаны соотношениями (), где , а точка М ₀ – точка условного экстремума (т.е. условного максимума или минимума). Тогда для функции Лагранжа

имеют место равенства и .

(Без доказательства).

 

ГЛОБАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

 

Определение. Пусть функция f (M) определена на множестве . Функция f (M) достигает в точке М ₀ глобального максимума (соответственно, глобального минимума) на множестве Х, т.е. f (M ₀)= (соответственно, f (M ₀)= ), если f (M) f (M ₀) (соответственно, f (M) f (M ₀)). Точки глобального максимума и глобального минимума называются точками глобального экстремума.

Замечание. Существование глобального максимума и глобального минимума на множестве Х для функции f (M), при условии, что множество Х – замкнуто и ограничено, а функция f (M) непрерывна на этом множестве Х, вытекает из теоремы Вейерштрасса. Они достигаются либо внутри Х (в одной из критических точек), либо на границе (как известно, замкнутые множества содержат свою границу; надо смотреть точки условного экстремума). Вычисляя значения функции во всех отмеченных точках, можно определить наибольшее и наименьшее из них.