Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:
Метод последовательного исключения неизвестных (или метод Гаусса), применяемый для решения системы, состоит в следующем.
Предполагая, что а11¹0(это всегда можно сделать за счет нумерации строк), умножая первое уравнение системы на 
и прибавляя ко второму, получаем уравнение, в котором коэффициент при х1 обращается в нуль. Умножая первое уравнение на 
и прибавляя к третьему, получаем уравнение, так же не содержащее члена с х1. Аналогичным путем преобразуем все остальные уравнения, в результате чего придем к системе, эквивалентной исходной системе уравнений:
где а¢ik – некоторые коэффициенты.
Предполагая, что а¢22¹0, и оставляя неизменными первые два уравнения системы, преобразуем ее так, чтобы в каждом из остальных уравнений коэффициент при х2 обратился в нуль. Продолжая этот процесс, систему можно привести к одной из следующих систем:
(1)
(2)
(3)
Система (1) имеет единственное решение, значение хn находится из последнего уравнения, значение хn-1 – из предпоследнего, значение х1 – из первого.
Система (2) имеет бесконечное множество решений. Из последнего уравнения можно выразить одно из неизвестных (например, хk, которое называют свободным неизвестным) через остальные n-k неизвестных, входящих в это уравнение. Из предпоследнего уравнения можно выразить хk-1 через эти неизвестные и т.д. в полученных формулах свободные неизвестные могут принимать любые значения.
Система (3) несовместна и не имеет решения.
Примеры:
1. Решим методом Гаусса систему 
Вычтем из второго уравнения удвоенное первое, а из третьего – первое, умноженное на 5.
Получим: 
. Теперь вычтем из третьего уравнения удвоенное второе, а затем разделим второе уравнение на –7 (коэффициент при у), а третье – на 15 (новый коэффициент при z). Система примет вид:
. Отсюда z=3, y=2, x=1 – единственное решение системы.
2. Система 
после исключения х из второго и третьего уравнений примет вид: 
. Если затем вычесть второе уравнение из третьего, то последнее уравнение станет тождеством 0=0. В системе осталось два уравнения: 
. Ее решение можно записать в виде: х = -2, у – любое число, z = 7 – y. Таким образом, система имеет бесконечно много решений.
3. 
. Применив к этой системе метод Гаусса, получим 
,
откуда 
. Последнее равенство является неверным при любых значениях неизвестных, следовательно, система не имеет решения.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. Что называется системой линейных алгебраических уравнений?
2. Что называется решением СЛАУ?
3. Какая система называется однородной?
4. Какая система называется совместной?
5. Какая система называется определенной?
6. Какие системы называются эквивалентными?
7. Какие преобразования СЛАУ называются элементарными?
8. Назовите методы решения систем.
9. Запишите формулы Крамера.
10. Как решить СЛАУ матричным способом?
11. Как решить СЛАУ методом Крамера?
12. Как решить СЛАУ методом Гаусса?
Домашнее задание: [1] ч.3, §13.4, № 1.1,1.2