. Еще одним хорошо известным уравнением данного класса является модифицированное уравнение Бесселя, которое получается из регулярного уравнения Бесселя заменой x на − ix. Это уравнение имеет вид:
2 
2+v2) 
=0 (12)
Решение данного уравнения выражается через так называемые модифицированые функции Бесселя первого и второго рода:
(13)
где Iv (x) и Kv (x) обозначают модифицированные функции Бесселя, соответственно, первого и второго рода.
2. Дифференциальное уравнение Эйри, известное в астрономии и физике, записывается в виде:
(14)
Его также можно свести к уравнению Бесселя. Решение уравнения Эйри выражается через функции Бесселя дробного порядка 
:
(15)
. Дифференциальное уравнение вида
(16)
отличается от уравнения Бесселя лишь множителем a 2 перед x 2 и имеет общее решение в следующем виде:
(17)
. Похожее дифференциальное уравнение
(18)
также сводится к уравнению Бесселя
(19)
с помощью подстановки
(20)
Здесь параметр n 2 обозначает
(21)
В результате, общее решение данного дифференциального уравнения определяется формулой
(22)
Применения
дифференциальный уравнение лаплас бессель
Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:
· электромагнитные волны <https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%B0%D0%B3%D0%BD%D0%B8%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B> в цилиндрическом волноводе <https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4>;
· теплопроводность <https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8&action=edit&redlink=1> в цилиндрических объектах;
· формы колебания тонкой круглой мембраны
· распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии.
· скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.
· волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.
Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.
Специальные функции Бесселя широко используются в решении задач математической физики, в случаях, когда объекты имеют цилиндрическую или сферическую симметрию.
Заключение
Сегодня в качестве математического аппарата во многих отраслях современной прикладной математики, математической физики и технических приложениях широко используются функции Бесселя и цилиндрические функции. Области приложения этих функций крайне разнообразны. Они обеспечивают очень быструю и корректную сходимость решений целого ряда прикладных задач, которые могут быть так или иначе сведены к уравнению Бесселя. Интерес математиков и инженеров к специальным функциям матфизики не угасает.
Список использованной литературы:
1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, Москва 2002
. Балакин А.Б. Лекции по теории функции Бесселя, Казань 2009.
. https://www.math24.ru/bessel-equation.html
. https://ru.wikipedia.org/wiki/Функции_Бесселя
5. Курант Р. Гильберт Д. Методы математической физики т.1 <https://page-book.ru/search/?sb=4&q=%D0%9A%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%82%20%D0%A0.%20%D0%93%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B1%D0%B5%D1%80%D1%82%20%D0%94.%20%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D1%8B%20%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9%20%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B8%20%D1%82.1> <https://page-book.ru/i46486>
. И.Г. Араманович, В.И. Левин. Уравнения математической физики. 1969.