Оглавление
Введение
. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
. Бесселевы функции первого рода
. Общее решение уравнения Бесселя
. Функции Бесселя полуцелого порядка
. Некоторые дифференциальные уравнения, приводимые к уравнению Бесселя
. Применения
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Немецкий астроном и математик Фридрих Вильгельм Бессель (1784-1846) родился в небольшом городе Минден на северо-западе Германии в семье мелкого чиновника. Свой жизненный путь Бессель начал торговым служащим. В юности был астрономом-любителем. Серьезно занимался самообразованием. В 1804 самостоятельно вычислил орбиту кометы Галлея, чем заслужил похвалу Г.В. Ольберса. В 1806 стал ассистентом частной обсерватории И.И. Шрётера в Лилиентале. В 1810 был приглашен в Кёнигсберг для организации новой обсерватории, директором которой проработал до последних лет своей жизни. Бессель является одним из основоположников астрометрии Разработал теорию ошибок инструмента и последовательно проводил в жизнь идею о необходимости вносить соответствующие поправки в результаты наблюдений. При обработке результатов наблюдений широко применял различные математические методы, в частности использовал результаты теории вероятностей и метод наименьших квадратов. В честь немецкого математика и астронома было названо дифференциальное уравнение, Бессель подробно исследовал его и показал (в 1824 году), что решения уравнения выражаются через специальный класс функций, получивших название цилиндрических функций или функций Бесселя.
Функции Бесселя в математике - семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:
х2 у'' + ху' + (х2 - ν2)у = 0
где ν - произвольное вещественное число, называемое порядком.
Наиболее часто используемые функции Бесселя - функции целых порядков.
Хотя ν и (-ν) порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по ν). Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.
1.
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
Чтобы объяснить происхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:
. (1)
Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам:
, , ,
то уравнение (1) примет следующий вид:
. (2)
Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида:
,
где , , предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми.
Пусть есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (2), получим:
,
откуда (после деления на )
.
Записав это в виде:
,
найдем, что левая часть не зависит от , правая не зависит от , ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:
; ;
; ;
.
В последнем равенстве левая часть не зависит от , правая не зависит от ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:
, ;
, .
Таким образом, , , должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:
, (3)
, ,
из которых второе и третье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.
Обратно, если , , удовлетворяют уравнениям (3), то есть решение уравнения (2). В самом деле, подставляя в левую часть (2) и деля затем на , получим:
.
Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть , где , , - любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел , .
Первое из уравнений (3) в случае , называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае , обозначая независимую переменную буквой (вместо ), а неизвестную функцию - буквой (вместо ), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:
. (4)
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.