Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах

Оглавление

 

Введение

. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах

. Бесселевы функции первого рода

. Общее решение уравнения Бесселя

. Функции Бесселя полуцелого порядка

. Некоторые дифференциальные уравнения, приводимые к уравнению Бесселя

. Применения

Заключение

Список использованной литературы

 

Введение

 

Немецкий астроном и математик Фридрих Вильгельм Бессель (1784-1846) родился в небольшом городе Минден на северо-западе Германии в семье мелкого чиновника. Свой жизненный путь Бессель начал торговым служащим. В юности был астрономом-любителем. Серьезно занимался самообразованием. В 1804 самостоятельно вычислил орбиту кометы Галлея, чем заслужил похвалу Г.В. Ольберса. В 1806 стал ассистентом частной обсерватории И.И. Шрётера в Лилиентале. В 1810 был приглашен в Кёнигсберг для организации новой обсерватории, директором которой проработал до последних лет своей жизни. Бессель является одним из основоположников астрометрии Разработал теорию ошибок инструмента и последовательно проводил в жизнь идею о необходимости вносить соответствующие поправки в результаты наблюдений. При обработке результатов наблюдений широко применял различные математические методы, в частности использовал результаты теории вероятностей и метод наименьших квадратов. В честь немецкого математика и астронома было названо дифференциальное уравнение, Бессель подробно исследовал его и показал (в 1824 году), что решения уравнения выражаются через специальный класс функций, получивших название цилиндрических функций или функций Бесселя.

Функции Бесселя в математике - семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

 

х2 у'' + ху' + (х2 - ν2)у = 0

 

где ν - произвольное вещественное число, называемое порядком.

Наиболее часто используемые функции Бесселя - функции целых порядков.

Хотя ν и (-ν) порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по ν). Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

 

1.

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах

 

Чтобы объяснить происхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:

 

. (1)

 

Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам:

 

, , ,

 

то уравнение (1) примет следующий вид:

 

. (2)

 

Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида:

 

,

 

где , , предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми.

Пусть есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (2), получим:

 

,

откуда (после деления на )

 

.

 

Записав это в виде:

 

,

 

найдем, что левая часть не зависит от , правая не зависит от , ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:

 

; ;

; ;

.

 

В последнем равенстве левая часть не зависит от , правая не зависит от ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:

 

, ;

, .

 

Таким образом, , , должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:

, (3)

, ,

 

из которых второе и третье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.

Обратно, если , , удовлетворяют уравнениям (3), то есть решение уравнения (2). В самом деле, подставляя в левую часть (2) и деля затем на , получим:

 

.

 

Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть , где , , - любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел , .

Первое из уравнений (3) в случае , называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае , обозначая независимую переменную буквой (вместо ), а неизвестную функцию - буквой (вместо ), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:

 

. (4)

 

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.