Определение. Полем комплексных чисел называется множество C, обладающее следующими свойствами:
1) С – поле,
2) R 
C, R C.
3) i 
C, 
,
4) С с условиями 1,2,3 минимальное.
Алгебраическая форма комплексного числа
Определение. Пусть x и y – действительные числа. Число вида z = x + iy называется комплексным числом в алгебраической форме. x называют вещественной или действительной частью числа z и обозначают x = Re(z); y называют мнимой частью числа z и обозначают y = Im(z). Число i называют мнимой единицей, 
.
Пример z = 2 – 3i. Re(z) = 2, Im(z) = -3.
Определение. Два комплексных числа 
, 
называются равными, если, 
, 
.
Определение. Комплексное число z = x + iy равно 0, если x = 0 и y = 0.
Определение. Число 
называется сопряженным комплексному числу z = x + iy.
Действия над комплексными числами
1) – (a + bi) = – a – bi;
2) (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i;
3) (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i;
4) (a + bi) ∙ (c + di) = (ac - bd) + (bc + ad) i;
5) (a + bi)(a – bi) = 
;
6) 
;
7) Извлекать из комплексных чисел в алгебраической форме можно только корень второй степени.
Решая систему находим х и у.
8) cтепени мнимой единицы.
Первой степенью числа i является само это число, тогда:
и так далее.
При любом 
.
Пример 1 Найти сумму (разность) комплексных чисел:
а) (2 + i)+ (5 + 6 i) = (2 + 5) + (1 + 6) i = 7 + 7 i,
б) (5 + 7 i) + (2 - 6 i) = (5 + 2) + (7 - 6) i = 7 + i,
в) (6 - 4 i) + (- 15 - 2 i) = (6 - 15) + (- 4 - 2) i = -9 - 6 i,
г) (5 + 6 i) - (3 + 7 i) = (5 - 3) + (6 - 7) i = 2 - i.
Пример 2 Решить уравнение (5 x + 3 yi) + (2 y - xi) = 9 + 5 i.
Сложив комплексные числа в левой части уравнения получим
Два комплексных числа равны, если равны их действительные части и равны мнимые части, т.е.
Решением данной системы уравнений будет x =1 и y = 2.
Пример 3 Найти произведение комплексных чисел:
1) (2 + 3i) ∙ (6 - 5i) = (2 ∙ 6 - 3 ∙ (- 5)) + (2 ∙ (- 5i) + 3i ∙ 6) = 27 + 8i,
2) (1 + i) ∙ (1 + i) = 1+ i + i + i ² = 1 + 2 i -1 = 2 i,
3) (2 + 3 i) ∙ (2 - 3 i) = 4 - 6 i + 6 i - 9 i ² = 4 + 9 = 13.
Пример 4 Найти z если (2 - 3 i) ∙ z = -1 - 5 i.
Пусть z = a + bi, тогда
(2 - 3 i) ∙ (a + bi) = (2 a + 3 b) + (- 3 a + 2 b) i = -1- 5 i,
что равносильно системе уравнений
Решением данной системы уравнений будет a =1, b = -1, т.е. z = 1- i.
Проверим полученное решение
(2 - 3 i) ∙ z = (2 - 3 i) ∙ (1- i) = 2 - 2 i - 3 i + 3 i 
2 = -1- 5 i.
Пример 5 Найти частное 
2 - 3 i ≠ 0 + 0 i.
.
Пример 6 Вычислить:
,
.
Задачи для решения
1 Вычислить в алгебраической форме:
а) (3 + 6 i) + (- 3 - 5 i),
б) (- 9 - 4 i) + (- 2 - 3 i),
в) (- 3-i)3,
г) (1 + 6 i) + (1 - 6 i)2 - (4 + i)3 + (- 4 + i),
д) (7 + 4 i)² + 
+ (5 + i) ∙ (5 - i),
е) (1+ i)³ + 
(6 + 4 i) ∙ (- 6 + 4 i),
ж) 
(2 + 3 i) + (5 - 3 i),
з) 
,
и) 
,
к) 
,
л) 
- (9 - i) ∙ (7 + 2 i) ∙ (7 + 3 i) - 
.
2 Решить уравнение в действительных числах:
а) (2 x - 5 yi) + (3 y + 2 xi) = 13 - i,
б) 7 (3 x + 2 yi) + (2 y - i) = 19 + 3.
3 Найти z, если:
а) z ∙ (2 + i)=15, б) (2 + 2 i) ∙ z = 8 i.
4 Доказать равенство:
.
5 Вычислить:
а) 
;
б) 
.
Геометрическая форма комплексного числа
Комплексное число z = х + уi можно охарактеризовать упорядоченной парой вещественных чисел (х, у), где х – действительная часть, у – мнимая часть числа z.
Такую пару чисел можно отождествить с точкой на плоскости, если на ней задана система координат (рисунок 1).
Множество всех комплексных чисел находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех точек плоскости.
Рисунок 1 – Геометрическая форма комплексного числа
Пример Комплексное число z = 3+ 2 i можно отождествить с точкой A (3, 2), которую можно изобразить на плоскости XOY (рисунок 2). Комплексно-сопряженное число 
= 3 - 2 i изобразится точкой A (3, -2), симметричной точке A (3, 2) относительно действительной оси. Точки B (0, 1) и C (- 2, 0) соответствуют комплексным числам z = 0 + i и z = -2 + 0 i (рисунок 2).
Рисунок 2 – Пример построения геометрической формы
Задачи для решения
1 Записать комплексные числа, сопряженные данным. Изобразить данные и сопряженные к ним комплексные числа точками на плоскости:
а) 1+ i; б) 4 - 7 i; в) 3;
г) 3 i; д) -1- 3 i; е) 3 + 6 i;
ж) - 3 - 5 i; з) 2 + 3 i; и) - 9 - 4 i; к) 15- i.