Раздел 2 Матрицы и определители

Тема 1 Матрицы. Определение матрицы, виды матриц, действия над матрицами

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел некоторого поля . Числа, из которых состоит матрица, называются элементами матрицы. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то (m, n) называют размерностью матрицы.

Если число строк матрицы равно числу столбцов, то такая матрица называется квадратной.

Две матрицы называются однотипными, если они имеют одинаковую размерность.

Действия над матрицами

I Суммой матриц A + B называется матрица , элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и B, т. е. c_ij = a_ij + b_ij.

Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковой размерности (число строк и столбцов у них должно быть одинаково).

Пример 1: , .

Решение:

II Произведением матрицы А на число λ называется матрица В, которая получается из матрицы А умножением всех ее элементов на λ, т.е.

Пример 2: , .

.

III Разность двух матриц одинаковой размерности можно определить через операцию сложения матриц и через умножение матрицы на число:

Пример 3: , .

Решение: .

VI Матрицу можно умножить на матрицу тогда и только тогда, когда число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй. При этом получается матрица, имеющая столько строк, сколько в первой, и столько столбцов, сколько во второй.

Произведением двух матриц и называется матрица , элементы которой вычисляются по правилу умножения ой строки матрицы на ый столбец матрицы .

Пример: Умножить матрицу А на матрицу В:

 

Задачи для решения

 

1 Найти сумму матриц A и B:

a) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) , ;

е) , ;

2 Умножить матрицу A на число :

а) , ; б) , ;

в) , ; г) , ;

д) , ; е) , ;

3 Найти разность матриц A и B:

a) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) , ;

e) , ;

4 Найдите произведение матриц A и B:

a) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) , ;

е) , .

 

 

5 Даны матрицы:

, ,

Найти: а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ;

6 Выполните действия:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

7 Найти значение многочлена от матрицы А:

а) ; ;

б) ; .

 

Тема 2 Определители. Перестановки из n элементов. Подстановки n-ой степени. Определение определителя n-го порядка. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца. Следствие из неё

Перестановкой чисел 1, 2,..., n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. Число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно .

Если в некоторой перестановке мы поменяем местами какие-либо два символа, а все остальные символы оставим на месте, то мы получим новую перестановку. Это преобразование перестановки называется транспозицией. И нверсию образуют два числа в перестановке, когда меньшее из них расположено правее большего.

Каждой перестановке можно сопоставить число инверсий в ней, которое подсчитывается следующим образом: для каждого из чисел определяют количество стоящих правее его меньших чисел, и полученные результаты складываются.

Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.

Произвольное взаимно-однозначное отображение множества первых натуральных чисел на себя называется подстановкой -го порядка. Подстановка может быть записана с помощью двух перестановок.

Пример перестановки: (1 2 3 4) (2 4 1 3);

Пример транспозиции: (1 2 3 4) (4 2 3 1);

Пример инверсии: перестановка (2 4 1 3) содержит три инверсии элементов 2 и 1, 4 и 1, 4 и 3.

 

Задачи для решения

 

1 Указать транспозиции, с помощью которых можно

а) от перестановки (10 1 2 8 7 4 3 6 9 5) перейти к перестановке (8 9 5 1 10 7 2 3 6 4)

б) от перестановки (9 5 1 8 3 7 4 6 2) перейти к перестановке (9 8 7 6 5 4 3 2 1)

в) от перестановки (2 4 6 … 2n 1 3 5… 2n-1) перейти к перестановке (2n 2n-1…. 4 3 2 1).

2 Найти число инверсий в следующих перестановках

а)(8 1 5 9 7 4 3 6 2);

б) (10 5 3 8 4 7 2 6 1 9);

в) музыка, если в качестве исходной принимается перестановка букв (а з к м у ы).

Определителем n-го порядка называется алгебраическая сумма n! членов, составленная следующим образом: членами служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце, причем член берется с плюсом, если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком минус - в противоположном случае.

Пусть дана квадратная матрица А второго порядка .

Определитель квадратной матрицы А второго порядка равен числу . Диагональ – главная, – побочная.

Пусть дана квадратная матрица А третьего порядка .

Определителем квадратной матрицы А третьего порядка называется число, равное

Минором называется определитель, полученный из исходного вычеркиванием -ой строки и -го столбца.

Число называется алгебраическим дополнением к элементу a_ij.

Теорема 1 (разложение определителя по строке или столбцу):