Теорема 2: Сумма произведений элементов некоторой строки квадратной матрицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю.
Теорема 100: Определитель, в котором все элементы одной из строк (столбцов), кроме одного, равны нулю равен произведению этого ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение.
Пример 1 Найти определитель матрицы A:
Решение:
Задачи для решения
1 Найдите определитель 2-го порядка:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
;
д) 
; е) 
.
2 Найдите определитель 3-го порядка:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
ж) 
; з) 
; и) 
;
к) 
л) 
м) 
3 Найдите определитель 4-го порядка:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
4 Найдите определитель 5-го порядка:
а) 
б) 
в) 
5 Решите уравнения, пользуясь соответствующими свойствами определителя (не применяя правило Саррюса):
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
6 Вычислить определители, разложив их по элементам строки (столбца), содержащей буквы:
а) 
б) 
в) 
7 Путем разложения по элементам третьей строки вычислить:
а) 
; б) 
; в) 
Тема 3 Обратная матрица. Вырожденные и невырожденные матрицы. Обратная матрица и ее вычисление. Матричные уравнения
Пусть A – квадратная матрица.
Матрица B называется обратной к матрице A, если 
Обратная матрица обозначается A-1 и 
.
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует.
Уравнение вида 
называют простейшим матричным уравнением. Если A – квадратная невырожденная матрица, то решением такого уравнения будет матрица 
.
Если уравнение имеет вид 
, то 
.
Пример 1 Найти матрицу обратную данной: 
Решение
1) Найдем определитель матрицы A.
Следовательно, матрица А невырожденная и имеет себе обратную.
2) Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы A.
3) Запишем A-1:
4) Выполним проверку:
Пример 2 Решить матричное уравнение: 
Решение
Задачи для решения
1 Найти матрицу, обратную данной:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
з) 
и) 
к) 
л) 
м) 
н) 
о) 
п) 
.
2 Решите матричное уравнение:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
з) 
и) 
к) 
.
Раздел 3 Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений
Тема 1 Решение системы n – линейных уравнений с n неизвестными в матричном виде
Пусть дана система линейных уравнений:
Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:
Матрица А коэффициентов при неизвестных называется главной матрицей системы.
Свободные члены и неизвестные можно записать в виде столбцевых матриц:
Тогда, используя правило умножение матриц, эту систему уравнений можно записать так:
или
A·X = B (1)
Равенство (1) называется матричным уравнением или системой уравнений в матричном виде.
Отсюда
Х = 
B.
Таким образом, чтобы решить систему уравнение, нужно:
1) Найти обратную матрицу .
2) Найти произведение обратной матрицы на матрицу-столбец свободных членов В, т. e. Х = B.
Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.
Пример Решить систему уравнений:
Х = 
, B = 
, A = 
Найдем обратную матрицу А-1.
D = 
= 
5 
2 2 + (-1) 
3 4 + (-1) 1 3 - ((-1) 2 4 + 5 3 3 + 1 (-1) 2) =
= 20 - 12 - 3 - (- 8 + 45 - 2) = 5-35 = -30.
∙ 
= - 5; A21 = 
; A31 = 
A12 = 
A22 = 
; A32 = 
;
A13 = 
∙ 
; A23 = 
A33 = 
A-1 = 
= 
;
Cделаем проверку:
A×A-1 = 
=E.
Находим матрицу Х.
Х = = А-1В = × 
= 
.
Проверка:
(верно)
Решением системы является набор (1, 2, 3): x = 1; y = 2; z = 3.
Задачи для решения
1 Решить системы линейных уравнений матричным методом
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
2 Решить системы линейных уравнений
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
Тема 2 Правило Крамера
Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными
Обозначим через Δ и Δ j определитель матрицы системы и определители, полученные из определителя Δ заменой j-го столбца столбцом свободных членов системы:
Если определитель матрицы системы отличен от нуля, Δ≠0, то решение системы определяется равенствами:
Пример Решим по правилу Крамера систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Запишем матрицу системы, столбец свободных членов и вычислим определитель матрицы системы:
.
Определитель матрицы системы отличен от нуля. Система имеет единственное решение. Вычислим его по формулам Крамера. Для этого найдем определители 
.
.
.
Проверим:
.
1 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
ж) 
з) 
и) 