Тема: Понятие функции. График функции. Пропедевтика понятия функции в начальных классах.
На практике мы встречаемся с различными зависимыми величинами. Например, площадь круга зависит от его радиуса, масса металлического бруска зависит от его объема и плотности металла, объем прямоугольного параллелепипеда зависит от его длины, высоты и ширины.
1.1. Определение. Функцией называется зависимость переменной «У» от переменной «X», при которой каждому допустимому значению X соответствует определенное единственное значение У.2 Переменную X называют независимой переменной или аргументом. Переменная У - зависимая переменная или функция, т.к. ее значения определяются значением аргумента.
Записывается зависимость следующим образом: y-f(x), где хеХ
Областью определения функции называется совокупность всех значений аргумента, для которых функция определена (<D(x)-X).
Совокупность всех значений функции образуют область ее значений (Е(у)). Например, площадь квадрата зависит от длины его стороны.
| S см2 - площадь квадрата S= a2 S=f(a) |
| Чтобы задать функцию, нужно задать числовое множество - X, которое называется областью определения функции и обозначается Ф(х), и способ (правило), с помощью которого для каждого числа хеХ можно найти соответствующее число >> - значение функции, обозначаемое y=f(x). Способы задания функции: формула, график, таблица, описание. Примеры. |
| S-? |
| а см |
|
Если t = 0,5 ч., то S = 50 • 0,5 = 25 (км)
Если t = 2 ч., то S = 50 • 2 = 100 (км) и т.д.
Путь, пройденный автомобилем с постоянной скоростью, является функцией от времени движения.
2. Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты
- соответствующим значениям функции.
Например, Т- температура в градусах по Цельсию, t - время нагревания воды в минутах
. 
3. Иногда функциональную зависимость величин удобнее отобразить в таблице.
Например. Стоимость проезда в пригородном поезде зависит от номера зоны, к которой относится станция.
| п (зона) | |||||||||
| ш (руб.) |
Функция выглядит так: ш = f(n)
Буквой «п» обозначен номер зоны, а буквой «ш» - соответствующая стоимость проезда в рублях.
Словесное описание функции используется в некоторых случаях, когда другим способом задать ее неудобно. Например, функция у = cos х определяется как проекция единичного вектора на ось ОХ, образующую с ним угол в X радианов.
1.2. Виды упражнений начальной школы.
Процесс формирования понятия функции длительный. Учащимся начальных классов не дается никакого определения, но много примеров, на которых можно разъяснить зависимость значений одной величины от другой, способствующие развитию творческой деятельности младшего школьника.
1. П.3М-3(1), с.21.
|
D(m) = {0, 6,12,18, 24} - область определения функции E(f) = {0, 18, 36, 54, 72} - множество значений функции. f(m) = m • 3 - числовая функция.
2. П. М-3(1), с.39.
По таблице рассмотреть взаимосвязь между величинами X и Y. Записать формулу, выражающую у через х.
а)
| X | ||||||||
| У |
у = g
б)
У =_____________ 3. П. M-3(l), с.51. Формула пути. |
| Время (t ч) | t | ||||
| Расстояние (S км) |
и — 45 км/ч
S______________ =
Значение расстояния зависит от значения времени при постоянной скорости - 45 км/ч. Следовательно,
S = f(t).
D(t) = {1,2,3,4,... t} - область определения функции.
E(S) = {45, 90, 135, 180,... 45 • t} - множество значений функции.
4. П. М-2(2), с.93.
Деление с остатком
а) 13 раздели на 3, используя числовой луч.
4-.-1—1.... 1 -1... \. -| -| | -1 ■ |... |. I -I----------
0 3 6 9 12 15
□ =
б) 14 раздели на 3 □ = □
в) 15 раздели на 3
Какие остатки могут получиться при делении на 3? Сделай вывод.
Остаток всегда меньше делителя.
Областью определения функции является множество значений делимого: 13,14, 15.
Делитель равен 3. Множество значений остатков является множеством значений функции, т.к. каждому значению делимого соответствует единственное значение остатка при делении на 3 (постоянное число)
5. М.[1]М-2(2), с.27.
а) Уменьши на 2 б) Увеличь на 3
Табличным способом задана функция: а) каждому значению переменной из множества чисел {4, 6, 2, 5, 3, 7} соответствует единственное значение разности из множества {5, 4, 3, 2, 1, 0} при условии, что 2 - вычитаемое, величина постоянная; б) каждому значению слагаемого из множества {2, 3,4,
5, 6} соответствует единственное значение суммы из множества {5, 6, 7, 8, 9}. Выполняя такие упражнения учащиеся постепенно усваивают смысл постоянной величины, которая принимает одинаковые значения, и переменной величины, которая принимает разные значения.
На этапе работы над математическими выражениями полезно обращать внимание учащихся на то, какие значения можно придавать букве в заданном выражении, т.е. в его области определения.
6. М. М-2(1), с.66.
Учитель предлагает учащимся придавать букве «к» значения и найти значение разности (запись может быть оформлена в таблицу)
| К | ... | ||||
| 37-к |
| Затем выясняют: можно ли придавать букве «к» другие значения? |
Можно ли ей придавать значения 38, 40, 100?
Какое наименьшее значение она может принимать? Какое самое большое значение? Учащиеся приходят к выводу, что букве «к» можно придавать любые значения от 0 до 37 и значение разности зависит от значения буквы «к».
Значение переменной «к» увеличивается на одну единицу, а значение разности уменьшается на столько же единиц по сравнению с предыдущим значением.
7. Во втором классе, рассматривая изменение произведения и частного, полезно использовать наглядные иллюстрации.
|
Частное 6:3 изображено отрезком длиной 6 см, разделенным на 3 равные части. Увеличим делимое в 2 раза, а делитель оставим без изменения, (6-2):3.
Изобразим новое частное в виде отрезка длиной 12 см, разделенного на 3 равные части.
Видим, что частное увеличилось в 2 раза:
6: 3 = 2, (6 • 2): 3 = 4, 4 см > 2 см в 2 раза.
В данном упражнении прослеживается прямо пропорциональная зависимость: при увеличении делимого в несколько раз, частное увеличивается во столько же раз при постоянном делителе.
С видами функциональной зависимости величин учащиеся начальных классов знакомятся при решении простых и составных задач, связанных с пропорциональными величинами.
9. Задача на нахождение 4-го пропорционального.
В задачах данного вида задаются три величины, которые связаны прямой и обратной пропорциональной зависимостью. Из них две величины переменные, а одна - постоянная. Нужно найти значение одной переменной величины.[2]
Существует шесть видов таких задач. Рассмотрим один из них.
Задача. На шесть одинаковых пар детских ботинок расходуют 24 дм кожи. Сколько квадратных дециметров кожи нужно для 18 пар таких ботинок?
С помощью учителя дети выясняют, значения каких величин даны в задаче и записывают их кратко в таблицу.
| Расход кожи на 1 п. | Количество изделий | Расход кожи | |
| Ip- | Одинаковое (k - const) | 6 П Xi | 24 дмл у! |
| Пр. | 18 П Х2 | ? У2 |
Для лучшего уяснения содержания задачи можно использовать наглядную интерпретацию.
Из краткой записи задачи видно, что расход кожи зависит от количества пар детской обуви, если при расходе кожи на одно изделие - постоянное, которое и определяет способ решения задачи:
1) 24: 6 = 4 (дм2) - на одно изделие.
2) 4 • 18 = 72 (дм2) - во 2 раз или (24: 6) • 18 = 72 (дм2)
Ответ: 72 дм2.
Формула зависимости величин у = 4 • х, где к = 24: 6 = 4, коэффициент пропорциональности.
Числовые данные этой задачи позволяют обучать второму способу ее решения на основе свойства прямой пропорциональности величин. Вопросы беседы по разбору задачи для решения вторым способом имеют специфический характер:
— Расскажите об особенностях каждой величины в задаче?
— Сравните значения каждой величины в I и II раз.
— Что можете сказать о числовом значении искомой величины?
— Почему? Во сколько раз?
— Как узнали?
— Как решите задачу?
Запись: 24 • (18: 6) = 72 (дм2)
Ответ: 72 дм2.
В этой задаче D(x) = {6; 18}, Е(у) = {24; 72}
10. Задача на пропорциональное деление.
М-3(1), с.23, №7
Машинистка напечатала 78 страниц за 2 дня. В первый день она работала
6 часов, во второй - 7 часов. Сколько страниц печатала машинистка в каждый из дней, если производительность труда была одинаковая?
В ходе беседы учителя с учащимися по уяснению зависимости величин в задаче устанавливают, что даны три величины: общее количество страниц, время работы машинистки, производительность труда в час.
| Производительность Труда | Время работы | Всего страниц | |
| 1 день | Одинаковая | 6 час. | ? > |
| 2 день | 7 час. | 7 у 78 с. |
Важно уяснить учащимся, что во второй день машинистка напечатала больше страниц, чем в первый день, т.к. 7 ч. > 6 ч.
Количество страниц - 78 приходится на затраченное время двух дней при одинаковой производительности труда, которую можно найти.
Учащиеся могут сами предложить решение задачи:
1) 6 + 7 = 13 (ч.) - время работы
2) 78: 13 = 6 (стр.) - за 1 час
3) 6 • 6 = 36 (стр.) - в 1 день
4) 6 • 7 = 42 (стр.) - во 2 день или 78 - 36 = 42 (стр.)
Ответ: 36 стр. и 42 стр.
В этой задаче пропорциональная зависимость величин: количество страниц книги каждого дня зависит от затраченного времени на их печатание при постоянной производительности труда, что является коэффициентом пропорциональности (к = 6), у = f(t). у = 6 • t, D(t) = {6; 7}, E(t) = {36; 42}.
11. Задача на нахождение неизвестного по двум разностям.[3] Признак: они включают две переменные величины и одну постоянную величину, при чем даны два значения одной переменной величины и разность соответствующих значений другой переменной величины, а сами значения этой переменной являются искомыми.
Задача. М-4(2), с.45, №6.
В один магазин привезли 18 одинаковых бидонов молока, а в другой - 12 таких же бидонов. В первый магазин привезли на 228 л молока больше, чем во второй. Сколько литров молока привезли в каждый магазин? Модель задачи - схематический чертеж. 
Анализируя содержание задачи и устанавливая связь между величинами, учащиеся объясняют, что в 1-ый магазин привезли на 228 л молока больше, чем во 2-ой магазин, т.к. в 1-ом магазине было больше число таких же бидонов с молоком.
Значит, в 1-ый магазин привезли столько же бидонов с молоком, как во 2- ой магазин и еще 6 бидонов, в которых было налито 228 л молока. Решение:
1) 18-12 = 6 (б.) - больше в 1-ом магазине
2) 228: 6 = 38 (л) - масса 1 бидона
3) 38 • 18 = 684 (л) - в 1-ом магазине
4) 38 • 12 = 456 (л) - во 2-ом магазине или 684 - 228 = 456 (л)
Ответ: 684 л, 456 л
В задаче дана прямо пропорциональная зависимость величин: масса молока зависит от количества бидонов в каждом магазине при одинаковой (постоянной) массе одного бидона (к = 38).
D(x) = {18; 12}, Е(у) = {684; 456}
Учапщеся начальной школы, обучающиеся по учебнику математики под редакцией Л.Г. Петерсон, смогут решить эту задачу и алгебраическим методом.
12. Задача на движение.
М-4(2), с.21, №3.
От двух пристаней, расстояние между ними 120 км, одновременно отошли навстречу друг другу два теплохода. Один шел со скоростью 22 км/ч, другой - 18 км/ч. Какое расстояние прошел до встречи каждый теплоход? Схематический чертеж.
| > ~------------------------------------- | |
| „? км * | с „ ? км ь |
| ч 120 км | --------------------------------------------------- ► |
| В |
Учащиеся вместе с учителем, работая над зависимостью величин в задаче, (S = (vi + V2) • t) придут к выводу, что расстояние ВС < АС, т.к. скорость V!
< v2 при одновременном выходе теплоходов от пристаней и одинаковом времени движения в пути до встречи.
Решение:
1) 22 + 18 = 40 (км) - общая скорость
2) 120: 40 = 3 (ч) - время в пути
3) 22 • 3 = 66 (км) - путь 1 теплохода
4) 18-3 = 54 (км) - путь 2 теплохода Ответ: 66 км, 54 км
Значение расстояния каждого теплохода до их встречи зависело от значения скорости при одинаковом времени движения до их встречи, т.е.
S = f(v) при t - const, где D(x) = {22; 18}, E(f) = {66; 54} и выполняется
22 66
свойство прямо пропорциональной зависимости величин: — = —
Вывод: Поиск разных путей решения задач с пропорциональными величинами способствует осознанию учащимися причинно-следственных связей, накоплению представлений о функциональной зависимости величин.
[1] Моро М.И., Бантова М.А., Бельтюкова Г.М. Математика. 2 кл., ч.2. с.27.
[2] Бантова М.А. и др. Методика преподавания математики в начальных классах./ М.А. Бантова и др. - М.: Просвещение, 1984. -с.242.
[3] Истомина Н.Б. Методика обучения математики в нач.кл.: Учебное пособие для студентов пед. Заведений. - М.: «Академия», 2000.