Пусть X и Y некоторые числовые множества 
Если каждому 
по некоторому правилу f ставится в соответствие единственный элемент 
то говорят, что задана функция. Обозначается 
где х – аргумент или независимая переменная функции; у – значение функции или зависимая переменная.
Множество Х значений независимой переменной называется областью определения функции и обозначается 
или 
Множество всех значений зависимой переменной Y называется множеством значений функции и обозначается 
или 
Частное значение функции 
при заданном частном значении аргумента 
обозначается 
Отметим особенности отыскания области определения некоторых функций:
1) область определения 
дробно-рациональной функции
где P (x), Q (x) – некоторые многочлены, определяется условием:
2) если аналитическое выражение функции содержит квадратный корень, т. е. задана функция 
то
В случае задания функции формулой 
ее область определения 
– это ОДЗ выражения 
Графиком функции 
называется множество всех точек плоскости с координатами 
где 
Способы задания числовой функции:
1) табличный – указываются значения переменной х и соответствующие им значения переменной y, составляется таблица (можно использовать для записи наблюдений);
| x | … | … | … |
| f (x) | … | … | … |
2) аналитический – указывается область определения функции 
и задается формула, по которой каждому значению 
ставится в соответствие 
3) графический – задается график функции.
Свойства функции:
1. Четность и нечетность функции.
Функция 
называется четной, если:
1) 
– симметричное множество относительно 
2) для любого 
выполняется равенство 
Функция 
называется нечетной, если:
1) 
– симметричное множество относительно 
2) для любого 
выполняется равенство 
Если функция 
является четной или нечетной, то говорят, что она обладает свойством четности.
График четной функции симметричен относительно оси 
график нечетной – относительно начала координат.
Свойства четных (нечетных) функций:
1) если f и g – четные функции на множестве Х, то функции
– четные функции на Х;
2) если f и g – нечетные функции на множестве Х, то функции
– нечетные функции на Х;
– четные функции на Х.
2. Периодичность функции.
Функция 
с областью определения 
называется периодической, если существует такое число 
что для любого значения 
выполняются условия:
1) 
2) 
Число Т называется периодом функции.
Числа 
где 
также будут периодами функции.
Наименьший из положительных периодов, если он существует, называется основным периодом.
3. Монотонность функции.
Пусть х 1, х 2 – произвольные значения из области 
функции 
такие, что 
Если при данном условии выполняется:
то функция называется возрастающей;
– убывающей;
– неубывающей;
– невозрастающей.
Возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие функции называются монотонными функциями (возрастающие и убывающие – строго монотонными).
Функция 
называется кусочно-монотонной на множестве Х, если данное множество можно разделить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция монотонна.
4. Промежутки знакопостоянства функции. Нули функции.
Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т. е. 
или 
), называются промежутками знакопостоянства.
Значения аргумента 
при которых функция 
называются нулями функции. Нули функции – это точки пересечения графика функции с осью Ох.
Пример. Найти область определения функции
Решение. 
(1)
Найдем соответствующее 
множество точек.
Неравенство 
равносильно неравенству
Решая его, получаем: 
| х |
| – |
| + |
| + |
Условие 
означает, что 
т. е. 
Приходим к заключению, что 
Получаем 
Таким образом, система (4.1) равносильна системе
Следовательно, 
Пример. Найти множество значений функции
Решение. Найдем область определения функции 
Последнее условие выполняется только для 
Вычисляем значение функции в этой точке: 
Следовательно, 
Пример. Исследовать функцию на четность: 
Решение. Замечаем, что функция 
имеет 
Следовательно, функция определена на симметричном множестве.
Рассмотрим ее значение для – х: 
Поскольку выполняются оба условия четности функции, заключаем, что функция 
– четная.
Преобразования графиков
Приведем графики некоторых функций:
1) 
– прямая линия; 2) 
– квадратичная парабола;
| y = x |
| y |
| х |
| y |
| х |
3) 
– кубическая парабола; 4) 
– гипербола;
| y |
| x |
| y = x 3 |
|
| y |
| x |
|
| y |
| x |
5) 
– график квадратного корня;
Правила преобразования графиков:
Пусть дана функция 
1. Для построения графика функции 
исходный график функции 
симметрично отображаем относительно оси Ох (рис. 1).
2. Для функции 
заданный график симметрично отображаем относительно оси Оу (рис. 2).
| y |
| x |
| y = f (x) |
| y = –f (x) |
| y |
| x |
| y = f (x) |
| y = f (–x) |
Рис. 1 Рис. 2
3. Для функции 
этот график получается параллельным переносом графика функции 
на 
масштабных единиц вдоль оси Оу вверх, если 
и вниз, если 
(рис. 3).
4. Для функции 
этот график получается параллельным переносом графика функции 
на 
масштабных единиц вдоль оси Ох вправо, если 
и влево, если 
(рис. 4).
| y |
| x |
| y = f (x) + b, b > 0 |
| y = f (x) |
| y = f (x) + b, b < 0 |
| y = f (x) |
| y |
| x |
| y = f (x + a), a > 0 |
| y = f (x + a), a < 0 |
Рис. 3 Рис. 4
5. Для функции 
где 
график функции 
«растянут» в k раз вдоль оси Оу (от оси Ох), если 
«сжат» в 
раз вдоль оси Оу (к оси Ох), если 
(рис. 5).
| y = f (x) |
| y = bf (x), 0 < b < 1 |
| y = bf (x), b > 1 |
| y |
| х |
Рис. 5
6. Для функции 
где 
график 
«растянут» вдоль оси Ох (от оси Оу) в 
раз при 
«сжат» вдоль Ох (коси Оу) в m раз, при 
(рис. 6).
| y = f (ax), 0 < a <1 |
| y = f (ax), a > 1 |
| y = f (x) |
| y |
| x |
Рис. 6
7. Для функции 
сохраняется та часть графика функции 
которая находится над осью Ох и на оси Ох, а та часть, которая находится под осью Ох, отображается симметрично оси Ох в верхнюю полуплоскость (рис. 7).
| y = | f (x)| |
| y = f (x) |
| y |
| x |
Рис. 7
8. Для функции 
часть графика функции 
соответствующая отрицательному значению х, отбрасывается, а неотрицательному – сохраняется и дополняется симметричной ей относительно оси Оу частью (рис. 8).
| y = f (x) |
| y |
| x |
| y = f (| x |) |
Рис. 8
Пример 1. Построить график функции 
Решение. Преобразуем заданную функцию:
Получили 
Для построения графика полученной функции используем следующие преобразования:
1) строим график функции 
2) график функции 
получаем из графика функции 
путем движения его на единицу влево по оси Ох;
3) график функции 
получаем из предыдущего симметричным отображением относительно оси Ох;
4) график заданной функции получаем из графика функции 
параллельным переносом на две единицы вниз по оси Оу (рис. 9).
| –3 |
| х |
| –1 |
| –2 |
| у |
| 1) |
| 2) |
| 3) |
| 4) |
Рис. 9
Пример 2. Построить график функции 
Решение. Вначале преобразуем формулу, задающую функцию:
Шаги построения (рис. 10):
1) 
2) 
– отображение симметрично оси Оу в левую полуплоскость;
3) 
– смещение вдоль оси Ох вправо на две единицы;
4) 
– увеличение коэффициента роста в два раза.
| –1 |
| –2 |
| 2) |
| 1) |
| x |
| у |
| 3) |
| 4) |
Рис. 10