МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ
ЭКОНОМИКИ И ТОРГОВЛИ
С.В.Дёминова
Студента (ки) группы____________
ФИО______________________________
ОРЕЛ - 2012
Тема 1: Парная регрессия и корреляция
Задача 1.
Фирма провела рекламную кампанию. Через 10 недель фирма решила проанализировать эффективность этого вида рекламы, сопоставив недельные объёмы продаж с расходами на рекламу:
| Номер региона | Недельные объёмы продаж, тыс. руб. | Расходы на рекламу, тыс. руб. |
Задание:
1. Постройте линейное уравнение парной регрессии у от х.
2. Рассчитайте линейный коэффициент парной корреляции
3. Рассчитайте коэффициент детерминации.
4. Определите среднюю ошибку аппроксимации.
5. Оцените статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
6. С вероятностью 0,95 оцените доверительный интервал ожидаемой величины недельного объёма продаж компании с уровнем расходов на рекламу в 13 тыс. руб.
Решение:
1. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу:
| №п/п | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|  , (Аi%)
| 
|
| Итого |
Рассчитаем промежуточные показатели:
Рассчитаем параметры уравнения:
Получено следующее уравнение регрессии: 
Коэффициент регрессии 
показывает, что
2. Тесноту линейной связи оценивает коэффициент корреляции. Для его определения рассчитаем следующие показатели:
Дисперсию факторного признака 
:
Среднее квадратическое отклонение факторного признака
Дисперсию результативного признака 
Среднее квадратическое отклонение результативного признака y
Далее рассчитаем коэффициент корреляции:
Так как rxy
3. Определим коэффициент детерминации:
D = 
Он показывает, что вариация результативного признака на ….% зависит от вариации факторного признака
4. Качество модели оценим с помощью средней ошибки аппроксимации:
5. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-критерия Стьюдента.
Определим остаточную дисперсию:
Определим случайные ошибки параметров уравнения и коэффициента корреляции:
Определим расчетные значения t-критерия Стьюдента.
tтабл. при заданных степенях свободы df = n-2 = 10 – 2 = 8 и уровне значимости 5% (уровень надёжности 0,95 (95%)) составляет 2,306.
Сравним расчетные значения t-критерия Стьюдента с табличным:
6. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют его использовать для прогнозирования. Предполагаемые расходы на рекламу на следующую неделю составят 13 тыс. руб., то есть 
= 13 тыс. руб.
Тогда прогнозное значение недельных объёмов продаж составит:
Ошибка прогноза составит:
Предельная ошибка прогноза, которая в 95% не будет превышена, составит следующую величину:
Построим доверительный интервал прогноза:
Выполненный прогноз показывает, что при уровне расходов на рекламу в 13 тыс. руб., недельный объём продаж фирмы будет находиться в пределах от …….. тыс. руб. до ……………. тыс. руб.
Задача 2. При исследовании корреляционной зависимости между ценой на нефть и индексом нефтяных компаний получены следующие данные:
=16,2 (ден. ед.), 
=4000 (усл. ед.), (
- * ) = 40, 
=4, 
=500.
Задание:
1) составьте уравнение регрессии;
2) используя полученное уравнение регрессии, найдите среднее значение индекса при цене на нефть 16,5 ден. ед.
Решение:
Задача 3. Имеются следующие данные по семи территориям Уральского района
| Район | Расходы на покупку продовольственных товаров, % | Среднедневная заработная плата одного рабочего, у.е. |
| Удмуртия | 68,8 | 45,1 |
| Свердловская обл. | 61,2 | |
| Башкортостан | 59,9 | 57,2 |
| Челябинская обл. | 56,7 | 61,8 |
| Пермская обл. | 58,8 | |
| Курганская обл. | 54,3 | 47,2 |
| Оренбургская обл. | 49,3 | 55,2 |
Задание:
1) для характеристики зависимости определите параметры функции равносторонней гиперболы
2) оцените полученную модель через среднюю ошибку аппроксимации и 
- критерий Фишера.
Решение:
1)уравнение равносторонней гиперболы
приводится к линейному виду при замене 
, тогда получим следующее уравнение:
В соответствии с методом наименьших квадратов, параметры уравнения определяются по следующим формулам:
| № |
| 
| zy | 
|
| 
| , (Аi%)
|
| 
|
|
1) 
Определим дисперсию 
Определим параметры уравнения
Уравнение регрессии имеет следующий вид:
2) Определим среднюю ошибку аппроксимации
Оценим тесноту связи с помощью индекса корреляции
Оценим статистическую значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера:
факт 
табл. при заданных степенях свободы 
и уровне значимости 
составляет 6,61.
Таким образом,
Задача 4. Зависимость среднемесячной производительности труда о возраста рабочих характеризуется моделью: 
. Ее использование привело к следующим результатам:
| № п/п | Производительность труда рабочих, тыс.руб. | № п/п | Производительность труда рабочих, тыс.руб., | ||
| фактическая | расчетная | фактическая | расчетная | ||
Задание: Оцените качество модели, определив ошибку аппроксимации, индекс корреляции и F-критерий Фишера.
Решение: построим расчетную таблицу:
| № п/п | 
|
|
факт
табл.=5,32
Задача 5. По группе предприятий, производящих однородную продукцию, известно, как зависит себестоимость единицы продукции у от факторов:
| Признак - фактор | Уравнение парной регрессии | Среднее значение фактора |
| Объем производства млн.руб., х1 | 
| 
|
| Трудоемкость единицы продукции, чел.-час., х2 | 
| 
|
Задание: Определите с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат.
Решение:
Для уравнения равносторонней гиперболы :
Для уравнения прямой :
Задача 5. По территории центрального района известны следующие данные
| Район | Доля денежных доходов, направленных на сбережения, % | Среднемесячная заработная плата, у.е. |
| Брянская обл. | 6,9 | |
| Владимирская обл. | 8,7 | |
| Ивановская обл. | 3,4 | |
| Калужская обл. | 8,4 | |
| Костромская обл. | 6,1 | |
| Орловская обл. | 9,4 | |
| Рязанская обл. | 11,0 | |
| Смоленская обл. | 6,4 | |
| Тверская обл. | 9,3 | |
| Тульская обл. | 8,2 | |
| Ярославская обл. | 8,6 |
Задание:
1. Постройте линейное уравнение парной регрессии у от х.
2. Рассчитайте линейный коэффициент парной корреляции
3. Рассчитайте коэффициент детерминации.
4. Определите среднюю ошибку аппроксимации.
5. Оцените статистическую значимость параметров регрессии и корреляции (tтабл.)=2,26.
6. С вероятностью 0,95 оцените доверительный интервал ожидаемой доли денежных доходов, направленных на сбережения с уровнем среднемесячной заработной платы в 392 у.е.
Тема 2: Множественная регрессия и корреляция
Задача 1. Имеются следующие данные по торговым предприятиям:
| № | Валовой доход за год, млн. руб. | Среднегодовая стоимость основных фондов, млн. руб. | Среднегодовая стоимость оборотных фондов, млн. руб. |
| 20,3 | 11,8 | 10,5 | |
| 6,3 | 2,8 | 5,6 | |
| 4,5 | 1,7 | 5,4 | |
| 11,3 | 6,3 | ||
| 12,1 | 5,6 | 2,8 | |
| 8,8 | 10,2 | ||
| 11,6 | 5,4 | ||
| 5,6 | 12,4 | 4,2 | |
| 11,4 | 3,6 | ||
| 23,7 | 15,4 | 10,6 | |
| 11,5 | 8,8 | ||
| 7,5 | 9,8 | 4,6 |
Задание:
1) определите параметры уравнения линейной множественной регрессии;
2) оцените тесноту связи изучаемых показателей;
3) оцените значимость полученного уравнения.
Решение:
1) Для определения параметров уравнения линейной множественной регрессии:
построим следующую систему уравнений:
Построим расчетную таблицу
| № | x1 | x2 | y | yx1 | yx2 | x21 | x22 | x1x2 |
| итого |
Решим систему методом определителей матрицы
Рассчитаем частные определители путем замены соответствующего столбца матрицы данными левой части системы
=
| |
Определим параметры уравнения по следующим формулам:
Уравнение линейной множественной регрессии имеет следующий вид:
Коэффициенты регрессии 
показывают, что
2) Оценим тесноту связи с помощью индекса множественной корреляции
Построим расчетную таблицу
| № | x1 | x2 | y | yxi | 
| 
|
| итого |
3) оценим статистическую значимость уравнения регрессии в целом
F табл. = 4,26 при заданных степенях свободы 
и уровне значимости 
(5%).
Задача 1. По 30 территориям России имеются следующие данные:
| Признак | Среднее значение | Среднее квадратическое отклонение | Линейный коэффициент парной корреляции |
| Среднедневной душевой доход, руб., у | 86,8 | 11,44 | - |
| Среднедневная заработная плата одного работающего, руб., х 1 | 54,9 | 5,86 | 
|
| Средний возраст безработного, лет, х 2 | 33,5 | 0,58 | 
|
Задание:
1)постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованной и естественной форме; рассчитать частные коэффициенты эластичности, сравнить их с 
и 
, пояснить различия между ними.
2) рассчитайте линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной корреляции, сравнить их с линейными коэффициентами парной корреляции, пояснить различия между ними.
3) рассчитайте общий и частные F- критерии Фишера.
Решение:
1. Линейное уравнение множественной регрессии y от x 1 и x 2 имеет вид: 
. Для расчёта его параметров применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе: 
.
Расчёт 
-коэффициентов выполним по формулам
Получим уравнение
.
Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b 1 и b 2 используя формулы для перехода от 
к bi:
;
Значение а0 определим из соотношения
тогда
Для характеристики относительной силы влияния x 1 и x 2 на y рассчитаем средние коэффициенты эластичности:
С увеличением средней заработной платы x 1 на 1% от ёё среднего уровня средний душевой доход у возрастает на ……..% от своего среднего уровня; при повышении среднего возраста безработного x 2 на …….% среднедушевой доход у снижается на ……..% от своего среднего уровня. Сила влияния средней заработной платы x 1 на средний душевой доход у оказалась ………, чем сила влияния среднего возраста безработного x 2.
Сравним модули значений β1 и β2:
Различия в силе влияния фактора на результат, полученные при сравнении 
и βj, объясняются тем, что коэффициент эластичности исходит из соотношения средних: 
, а β-коэффициент - из соотношения средних квадратических отклонений: 
.
2. Линейные коэффициенты частной корреляции здесь рассчитываются по рекуррентной формуле:
Если сравнить значения коэффициентов парной и частной корреляции, то приходим к выводу, что из-за слабой межфакторной связи 
коэффициенты парной и частной корреляции отличаются …………………………………….............................................................................
…………………………………………………………………………………………………….., то есть
Расчет линейного коэффициента множественной корреляции выполним с использованием коэффициентов 
и 
βj:
Зависимость y от x 1 и x 2 характеризуется как …………., в которой …….% вариации среднего душевого дохода определяются вариацией учтенных в модели факторов: средней заработной платы и среднего возраста безработного. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно ………..% от общей вариации у.
3.Общий F- критерий проверяет гипотезу H 0 о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (R 2 =0):
Сравнивая 
и 
, приходим к выводу о необходимости ………… гипотезу H 0, так как …… . С вероятностью 1-α=0,95 делаем заключение о статистической …………….. уравнения в целом и показателя тесноты связи 
, которые сформировались под …………………… воздействием факторов x 1 и x 2.
Частные F- критерии - 
и 
оценивают статистическую значимость присутствия факторов x 1 и x 2 в уравнении множественной регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение единого фактора после другого фактора, т.е. оценивает целесообразность включения в уравнение фактора x 1 после того, как в него был включен фактор x 2. Соответственно указывает на целесообразность включения в модель фактора x 2 после фактора x 1:
Сравнивая и , приходит к выводу о ………………. включения в модель фактора x 1 после фактора x 2, так как 
Гипотезу H 0 о несущественности прироста 
за счет включения дополнительного фактора x 1 после фактора x 2………………..
Целесообразность включения в модель фактора x 2 после фактора x 1 проверяет 
Значение 
свидетельствует о статистической ………….. прироста 
за счет включения в модель фактора x 2 после фактора x 1. Следовательно, ……………… нулевая гипотеза H 0 о нецелесообразности включения в модель фактора x 2 (средний возраст безработного). Это означает, что парная регрессионная модель зависимости среднего дохода от средней заработной платы является статистически ………………., ………………….. и что ……………………………………, включая дополнительный фактор x 2 (средний возраст безработного).
Задача 3. Имеются следующие данные по с/х предприятиям:
| № | Посевная площадь, тыс. га | Валовой сбор, тыс. т | Внесено мин. удобрений, кг/га |
| 4,6 | |||
| 3,1 | 4,4 | ||
| 3,2 | 4,5 | ||
| 3,4 | 5,5 | ||
| 3,5 | 4,8 | ||
| 3,7 | 5,1 | ||
| 3,2 | 5,2 | ||
| 3,9 | |||
| 3,5 | 5,3 | ||
| 7,5 | |||
| 3,7 | 7,7 | ||
| 7,3 | |||
| 3,8 | |||
| 6,7 |
Задание:
1) охарактеризуйте зависимость представленных показателей;
2) постройте уравнение множественной регрессии и определите его параметры;
3) оцените тесноту связи изучаемых показателей;
4) оцените значимость уравнения множественной регрессии (самостоятельно).