Разложение непрерывных сигналов в ряд Котельникова.
Все реальные непрерывные сигналы являются плавными функциями времени, скачки значений в них практически не наблюдается, поэтому такие сигналы можно представить последовательностью их значений взятый с некоторым шагом по времени. Значение сигнала фиксированный момент называется отсчетом. На рисунке 1 представлен непрерывный сигнал и его отчеты с различным шагом по времени.
Рисунок 1
При малом шаге последовательность отсчетов достаточно точно описывает сигнал. При большом шаге по отсчетам нельзя восстановить форму сигнала так как пропущены его характерные экстремальные точки. Возникает вопрос: как часто следует брать отсчеты чтобы по ним можно было полностью восстановить сигнал. Ответ дает теорема Котельникова доказанная в 1933 году советским ученым академиком Котельниковым и названная его именем. Согласно этой теореме Fm можно точно восстановить по его отсчетам u(kΔt), взятым через интервалы Δt= 1/2Fm. Восстановление сигнала осуществляется с помощью ряда:
U(t)=
Ряд определяемый выражением (1) называется рядом Котельникова, в нем коэффициент разложения равны u(kΔt) равные мгновенным значениям непрерывного сигнала u(t) в моменты являются отсчетами сигнала u(t).
Функции:
— функциями отсчетов, которые имеют одинаковую форму функции типа sinx/x и отличаются друг от друга временным сдвигом на интервал kDt.
Графики функций ψk(t) и их особые точки (максимумы, минимумы, пересечения с осями координат) показаны на рис. 2.11. Функции отсчетов ψk(t) представляют собой импульсную реакцию идеального ФНЧ с граничной частотой Fm если на его вход подавать дельта-функцию в момент kΔt.
Рис 2. Функции отсчетов: a - φ0(t); б - φ0(t-Dt)
Теорема Котельникова является основой для дискретизации непрерывных сигналов по времени, так как, во-первых, доказывает, что непрерывный сигнал можно заменить его дискретными значениями, во-вторых, дает правило вычисления шага дискретизации — Δt=1/2Fm. При таком шаге дискретизации ряд Котельникова дает точное временное представление сложного сигнала.
Представить в виде ряда Котельникова отрезок речевого сигнала осциллограмма которого показана на рисунке 3а. Спектр этого сигнала сосредоточен в полосе 300-3400 Гц. По максимальной частоте спектра сигнала Fm=3400 Гц определяем шаг дискретизации Δt= l/2Fm= 1/2*3400 =1,47*10-4 с
На оси времени откладываем моменты t, начиная с произвольного, например t=0, через интервал Δt. Далее определяем отсчеты сигнала в эти моменты. Из временной диаграммы сигнала (осциллограммы), изображенной на рис. 3а, следует:
Функцией отсчетов для заданного сигнала будут:
Тогда ряд Котельникова можно записать в виде
u(t)=1,0ψ0(t)+2,6 ψ 1(t)+3,5 ψ 2(t)+…-1,5 ψ 8(t)-1,3 ψ 9(t).
Проверить, что сумма девяти членов ряда дает непрерывный сигнал u(t), можно суммированием ряда, как проделано это на рис. 2. То, что в отсчетных точках ряд и непрерывный сигнал совпадают, очевидно. Теорема Котельникова доказывает, что такое же совпадение имеется на всей оси t.