Треугольники и их свойства

1.1 Общие сведения

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, их соединяющими.

1. Сумма углов треугольника равна 180°;

2. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности;

3. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол;

4. В равных треугольниках элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника;

5. Внешним углом треугольника, называется угол, смежный с одним из углов треугольника.

· Внешний угол треугольника равен сумме двух углов этого треугольника, не смежных с ним;

6. Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника;

· Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине;

· Средние линии треугольника делят треугольник на четыре равных между собой треугольника, каждый из которых подобен данному;

7. Теорема синусов:

8. Теорема косинусов:

9. Квадрат расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей:

10. Признаки равенства треугольников.

11. Признаки подобия треугольников.

1.2. Замечательные точки треугольника.

1.2.1 Точка пересечения медиан треугольника – центроид (центр тяжести) треугольника

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины;

2. Медиана треугольника делит треугольник на два равновеликих треугольника;

3. Медианы треугольника делят треугольник на шесть равновеликих треугольника;

4. Площадь треугольника, составленного из его медиан составляет от площади исходного треугольника;

5. Длина медианы:

6. Сумма квадратов медиан треугольника: ;

7. Длина стороны треугольника, выраженная через длины медианы

1.2.2 Точка пересечения биссектрис треугольника – инцентр треугольника

1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в треугольник окружности;

2. Биссектриса треугольника инцентром делится в отношении

3. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам;

4. Расстояние от вершины треугольника до точки касания стороны треугольника и вписанной в него окружности

5. Длина биссектрисы угла А треугольника АВС: ;

6. Квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон ее заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой .

1.2.3 Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника

1. Серединным перпендикуляром к отрезку, называется геометрическое место точек, равноудаленных от концов этого отрезка.

2. Серединные перпендикуляры, проведенные к сторонам треугольника, пересекаются в одной точке;

3. Точка пресечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника – центр описанной около этого треугольника окружности;

1.2.4 Точка пересечения высот треугольника или их продолжений – ортоцентр треугольника

1. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

2. Ортоцентр треугольника – центр описанной окружности около треугольника, образованного отрезками прямых, проходящих через вершины треугольника, параллельно его сторонам.

1.3 Равнобедренный треугольник

Если две стороны треугольника равны, то треугольник называется равнобедренным.

1.4 Прямоугольный треугольник

Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным.

· Катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.

· Катет, лежащий против угла в 60° в раз больше катета, лежащего против угла в 30°.

· Катет, лежащий против угла в 45° в раз меньше гипотенузы.

· Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе - среднее геометрическое отрезков, на которые она делит гипотенузу.

· Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

· Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

· Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

· В прямоугольном треугольнике АВС () .

· Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник равен , где a, b – катеты, с – гипотенуза.

· Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе .

· О₂НСМ – квадрат.

· В прямоугольном неравнобедренном треугольнике биссектриса прямого угла делит угол между медианой и высотой, проведенными из этой же вершины, пополам.

· Медиана и высота прямоугольного треугольника, проведенные к гипотенузе делят прямой угол на три равные части.

· Медиана, проведенная к катету: .

· Медиана равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная к катету ;

1.5 Вневписанная окружность

Окружность, касающаяся продолжений двух сторон треугольника и его третей стороны, называется вневписанной.

; ; , где a,b,c – стороны треугольника,

р – полупериметр;

1.6 Формулы для вычисления площади треугольника

· Если треугольники имеют равные высоты, то

· Если угол одного треугольника соответственно равен углу другого треугольника, то площади таких треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.