Критерий согласия пирсона




Пусть по выборке случайной величины Х объема n необходимо проверить гипотезу Н0 о том, что Х имеет предполагаемый закон распределения. Рассмотрим решение этой задачи с помощью критерия согласия Пирсона.

Пусть построена гистограмма для заданной выборки случайной величины Х объема n с частичными интервалами одинакового размера h. Это значит, что для каждого частичного интервала Dj вычислены частоты nj попадания в него вариант выборки, где j = 1,..., N, N - число частичных интервалов. По форме гистограммы делается предположение о типе закона распределения и по выборке вычисляются точечные оценки его параметров. Используя предполагаемый закон распределения случайной величины Х, находим вероятности pj того, что значение Х принадлежит частичным интервалам Dj, то есть , где j = 1,..., N. Величины равны теоретическим частотам попадания случайной величины Х в каждый частичный интервал. Выборочное (наблюдаемое) значение статистики критерия вычисляется по формуле: ~c2 (N – mp – 1) и имеет распределение c2 с N–mp–1 степенями свободы, где mp – число неизвестных параметров распределения, оцениваемых по выборке.

Гипотеза Н0 согласуется с результатами наблюдений на уровне значимости α, если , где - квантиль порядка 1 – α распределения c2 с N–mp–1 степенями свободы. Если же , то гипотеза Н0 отклоняется.

Замечание. Критерий c2 использует тот факт, что случайные величины , j = 1, 2. …, N имеют распределение, близкое к нормальному нормированному N (0, 1). Чтобы это утверждение было достаточно точным, необходимо, чтобы для всех интервалов выполнялось . Если для некоторых интервалов это условие не выполняется, то их следует объединить с соседними.

При проверке этой гипотезы в соответствии с критерием согласия Пирсона при заданном уровне значимости a используется следующий порядок расчета.

1) Для каждого частичного интервала определяются средние точки yj частичных интервалов:

,

,

где - длина частичного интервала, xmax, xmin - максимальная и минимальная варианты выборки, xj - точки, которыми интервал значений выборки (xmax;xmin) разбит на частичные отрезки, при этом x1 = xmin, xN+1 = xmax.

2) Вычисляются выборочные характеристики: выборочное среднее и исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение s.

3) Вычисляются теоретические частоты предполагаемого распределения:

а) для равномерного закона по формуле:

,

то есть для всех частичных интервалов теоретические частоты одинаковы;

б) для нормального закона:

,

где , - плотность нормального нормированного распределения;

в) для показательного (экспоненциального) закона:

,

где lв - выборочный параметр показательного закона распределения:

.

Находится наблюдаемое значение критерия c2:

.

5) Находится критическое значение критерия c2 по уровню значимости a и числу степеней свободы k = N - mp - 1, где mp - число параметров распределения, равное mр = 2 для нормального и равномерного распределений, mp = 1 для показательного распределения: .

6) Правило проверки гипотезы: если - то выдвинутая гипотеза о типе закона распределения не отвергается, если - то отвергается.

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-11-17 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: