Порядок выполнения работы. Расчет будем проводить в новой книге Критерий Пирсона на рабочем листе Лист1

По выборке сформировать гистограмму частот по 10 интервалам, по ее форме сделать предположение о типе закона распределения и проверить выдвинутую гипотезу о типе закона распределения с помощью критерия Пирсона с уровнем значимости a = 0,05.

Расчет будем проводить в новой книге Критерий Пирсона на рабочем листе Лист1. Формирование выборок производится с помощью программы, написанной на Visual Basic for Applications (VBA), реализованной в файле 1-Выборочный метод. Ниже показано выполнение работы при проверке гипотезы для трех законов распределения:

нормального при формировании выборки по номеру 2;

показательного при формировании выборки по номеру 8;

равномерного при формировании выборки по номеру 1.

На листе Исходный в ячейку С3 вводим номер варианта С3="2" и нажимаем кнопку Ввод варианта. В рассматриваемом примере сформирована выборка объема 180 вариант. Вид листа Исходный показан на следующем рисунке.

Копируем эту выборку. В рассматриваемом примере это диапазон ячеек А9:В189 и вставляем его в ячейку А1 на рабочий лист Лист1 книги Критерий Пирсона.

Вводим исходные данные для расчета. В диапазоне ячеек С2:С7 размещаем заголовки параметров. Минимальное значение выборки х_min вычисляем в ячейке D2=
"=МИН(B2:B181)", а максимальное х_max – в ячейке D3=
"=МАКС(B2:B181)". Объем выборки n заносим в ячейку D4="=A181". Определяем длину частичного интервала в ячейке D5="=(D3-D2)/10". Вычисляем выборочное среднее =Х_ср в ячейке D6= "=СРЗНАЧ(B2:B181)" и выборочное среднее квадратическое отклонение (стандартную ошибку) s в ячейке D7= "=СТАНДОТКЛОН(B2:B181)".

В столбце Е размещаем номера j точек-границ частичных интервалов от 1 до 11, а в столбце F – их координаты . Вычисляем х₁ в ячейке F2="=$D$2+(E2-1)*$D$5" и протягиваем формулу в диапазон F2:F12. Для корректного определения частот с помощью встроенной функции ЧАСТОТА подправим формулу для вычисления х₁ в ячейке F2="=$D$2+(E2-1)*$D$5-0,0001". Средняя точка 1-го частичного интервала рассчитывается в ячейке G2="=(F2+F3)/2" и протягивается в интервал ячеек G2:G11.

Для расчета частот n_j попадания вариант выборки в частичные интервалы используем в ячейке Н1 встроенную функцию:

ЧАСТОТА(Массив_данных; Массив_интервалов),

где параметр Массив_данных=B2:B181, параметр Массив_интервалов=F2:F12. Результат данной функции - массив, поэтому для получения результата выделяем диапазон ячеек Н1:Н12,устанавливаем курсор в строку формули нажимаем клавиши Ctrl+Shift+Enter. Частоту n₁ вносим в ячейку I2="=H2" и протягиваем в диапазон ячеек I2:I11. Выделяем этот диапазон ячеек I2:I11 и строим гистограмму частот. По виду гистограммы выдвигаем гипотезу о том, что данная выборка получена для случайной величины с нормальным законом распределения.

Вычисляем теоретическую частоту предполагаемого нормального распределения для 1-го частичного интервала , где , j (х) – плотность нормального нормированного распределения в ячейке J2= "=$D$5*$D$4/$D$7*НОРМРАСП((G2-$D$6)/$D$7;0;1;0)" и протягиваем эту формулу в диапазон ячеек J2:J11. В данном примере теоретические частоты m₁ < 5 и m₁₀ < 5, поэтому объединим частоты этих интервалов с ближайшими. Объединяем частоты 1-го и 2-го интервалов: ячейка К3="=I2+I3" и протягиваем эту формулу в диапазон ячеек К3:L3. Объединяем частоты 10-го и 9-го интервалов: ячейка К10="=I10+I11" и протягиваем эту формулу в диапазон ячеек К10:L10. Остальные частоты копируем без изменения. В данном примере ячейка К4="=I4" ипротягиваем эту формулу в диапазон ячеек К4:L9.

Вычисляем относительное рассогласование выборочных и теоретических частот : в ячейке М3="=(K3-L3)^2/L3" ипротягиваем эту формулу в диапазон ячеек М3:М10. Находим наблюдаемое значение критерия в ячейке М11="=СУММ(M3:M10)".

В данном примере после объединения интервалов их количество сократилось до N = 8. Так как в нормальном законе распределения присутствует m_p = 2 параметра, то число степеней свободы критерия c² в данном примере N - m_p – 1 = 5. Находим критическое значение критерия для уровня значимости a=0,05 в ячейке М12="=ХИ2ОБР(0,05;5)".

В ячейках Е15:Е16 располагается правило проверки рассматриваемой гипотезы по критерию Пирсона, а в ячейке Е17 – статистическое решение. В данном примере гипотеза о нормальном законе распределения принимается, так как =5,41 < = 11,07. Вид рабочего листа Лист1 с данным вычислениями приведен на рисунке.

Рассмотрим изменения, которые происходят в расчете при проверке гипотезы о показательном законе распределения. Для примера рассмотрим выборку, сформированную в файле 1-Выборочный метод для варианта 8. До столбца I включительно процедура расчета остается такой же, как и для варианта с проверкой гипотезы о нормальном законе распределения. Выделяем диапазон ячеек I2:I11 и строим гистограмму частот. По виду гистограммы выдвигаем гипотезу о том, что данная выборка получена для случайной величины с показательным законом распределения.

Вычисляем теоретическую частоту предполагаемого показательного распределения для 1-го частичного интервала , где , в ячейке J2= "=$D$4*(EXP(-F2/$D$6)-EXP(-F3/$D$6))" и протягиваем эту формулу в диапазон ячеек J2:J11. В данном примере теоретические частоты m_j < 5 для частичных интервалов с номерами j ³ 6, поэтому объединим частоты этих интервалов. Объединяем частоты интервалов с 6-го по 10-й: ячейка К7="=СУММ(I7:I11)" и протягиваем эту формулу в диапазон ячеек К7:L7. Остальные частоты копируем без изменения. В данном примере ячейка К2="=I2" ипротягиваем эту формулу в диапазон ячеек К2:L6.

Вычисляем относительное рассогласование выборочных и теоретических частот : в ячейке М2="=(K2-L2)^2/L2" ипротягиваем эту формулу в диапазон ячеек М2:М7. Находим наблюдаемое значение критерия в ячейке М8="=СУММ(M2:M7)".

В данном примере после объединения интервалов их количество сократилось до N = 6. Так как в показательном законе распределения присутствует m_p = 1 параметр, то число степеней свободы критерия c² в данном примере N - m_p – 1 = 4. Находим критическое значение критерия для уровня значимости a=0,05 в ячейке М9="=ХИ2ОБР(0,05;4)".

В ячейках Е15:Е16 располагается правило проверки рассматриваемой гипотезы по критерию Пирсона, а в ячейке Е17 – статистическое решение. В данном примере гипотеза о показательном законе распределения принимается, так как =4,17 < = 9,48. Вид рабочего листа Лист1 с данным вычислениями приведен на рисунке.

Рассмотрим изменения, которые происходят в расчете при проверке гипотезы о равномерном законе распределения. Для примера рассмотрим выборку, сформированную в файле 1-Выборочный метод для варианта 1. До столбца I включительно процедура расчета остается такой же, как и для варианта с проверкой гипотезы о нормальном законе распределения. Выделяем диапазон ячеек I2:I11 и строим гистограмму частот. По виду гистограммы выдвигаем гипотезу о том, что данная выборка получена для случайной величины с равномерным законом распределения.

Вычисляем теоретическую частоту предполагаемого равномерного распределения для 1-го частичного интервала , в ячейке J2= "=$D$5*$D$4/($D$3-$D$2)" и протягиваем эту формулу в диапазон ячеек J2:J11. В данном примере теоретические частоты m_j > 5 для всех частичных интервалов, поэтому объединять интервалы не надо.

Вычисляем относительное рассогласование выборочных и теоретических частот : в ячейке К2="=(I2-J2)^2/J2" ипротягиваем эту формулу в диапазон ячеек К2:К11. Находим наблюдаемое значение критерия в ячейке К12="=СУММ(К2:К11)".

В данном примере количество частичных интервалов не изменилось N = 10. Так как в равномерном законе распределения присутствует m_p = 2 параметра, то число степеней свободы критерия c² в данном примере N - m_p – 1 = 7. Находим критическое значение критерия для уровня значимости a=0,05 в ячейке К13="=ХИ2ОБР(0,05;7)".

В ячейках Е15:Е16 располагается правило проверки рассматриваемой гипотезы по критерию Пирсона, а в ячейке Е17 – статистическое решение. В данном примере гипотеза о равномерном законе распределения отвергаетс, так как =20,37 < = 14,06. Вид рабочего листа Лист1 с данным вычислениями приведен на рисунке.

Варианты

По заданному номеру сгенерировать выборку, сформировать гистограмму частот по 10 интервалам, по ее форме сделать предположение о типе закона распределения и проверить выдвинутую гипотезу о типе закона распределения с помощью критерия Пирсона с уровнем значимости a.

1. Выборка № 2, a = 0,03.

2. Выборка № 12, a = 0,04.

3. Выборка № 8, a = 0,05.

4. Выборка № 3, a = 0,06.

5. Выборка № 80, a = 0,07.

6. Выборка № 81, a = 0,06.

7. Выборка № 4, a = 0,05.

8. Выборка № 82, a = 0,04.

9. Выборка № 83, a = 0,03.

10. Выборка № 5, a = 0,03.

11. Выборка № 84, a = 0,02.

12. Выборка № 6, a = 0,01.

13. Выборка № 85, a = 0,02.

14. Выборка № 7, a = 0,03.

15. Выборка № 86, a = 0,03.

16. Выборка № 15, a = 0,04.

17. Выборка № 9, a = 0,05.

18. Выборка № 10, a = 0,06.

19. Выборка № 87, a = 0,07.

20. Выборка № 11, a = 0,06.

21. Выборка № 14, a = 0,05.

22. Выборка № 88, a = 0,04.

23. Выборка № 13, a = 0,03.

24. Выборка № 89, a = 0,02.

25. Выборка № 17, a = 0,03.