ОПТИМАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
Оптимальное планирование - процедура получения информации об оптимальном управляющем воздействии из информации об управляемом физическом процессе, информации о задаче управления и информации о методе решения задачи управления.
Информация об оптимальном управляющем воздействии представляется в виде оптимального плана. Оптимальный план представляет собой совокупность значений управляющих факторов, обеспечивающих достижение цели управления в заданных условиях с наибольшей эффективностью.
Эффективность управления
Эффективность управления - один из параметров управляемого физического процесса, выбираемый для оценки качества управления.
Эффективность управления, представляемая в виде функции управляющих факторов, называется целевой функцией.
Если возникает стремление оценить эффективность управления несколькими параметрами, то эти параметры необходимо объединить в один компромиссный параметр.
Если каждый из параметров выражается в виде линейного полинома, то
R = 
R 
/ c = (
z 
) = 
(
a 
) z .
Причем 
=1, где 
- коэффициент важности параметра, определяемый методом экспертных оценок.
Если каждый из параметров выражается в виде степенного комплекса, то
R = 
(R 
/ c ) 
= 
(
) = 
или
ln R = 
(ln R - ln c ) = 
(
ln z ) =
= (
a ) ln z .
Причем 
=1, где - экспонент важности параметра.
> 0, если R 
необходимо увеличивать, и < 0, если R необходимо уменьшать.
Методы решения задач управления
Решением задач оптимального управления физическими процессами занимается математическое программирование, т.е. раздел математики, в котором изучаются методы нахождения экстремумов функций многих переменных при наличии дополнительных ограничений на эти переменные, имеющих форму равенств или неравенств.
В основе оптимального управления лежит принцип максимума Понтрягина, дающий общее необходимое условие оптимальности. Условием оптимальности является максимум некоторой функции многих переменных, характеризующей качество управления.
Математическое программирование включает в себя линейное программирование, нелинейное программирование (в том числе выпуклое и квадратичное программирование), динамическое программирование (для многошаговых процессов), дискретное программирование, стохастическое программирование и параметрическое программирование.
Чаще всего для решения задач управления физическими процессами используют методы линейного, нелинейного и стохастического программирования. Решение таких задач может осуществляться также методом безусловной оптимизации.
Безусловная оптимизация – раздел математики, в котором изучаются методы нахождения экстремумов функций многих аргументов при отсутствии дополнительных ограничений на эти аргументы.
Нелинейное программирование - раздел математического программирования, в котором изучаются методы нахождения условных экстремумов нелинейных функций многих аргументов при наличии дополнительных нелинейных ограничений на эти аргументы, имеющих форму равенств.
Линейное программирование - раздел математического программирования, в котором изучаются методы нахождения условных экстремумов линейных функций многих переменных при наличии дополнительных линейных ограничений на эти переменные, имеющие форму неравенств.
Стохастическое программирование - раздел математического программирования, в котором изучаются методы нахождения условных экстремумов функций многих аргументов при заданной вероятности выполнения дополнительных ограничений на эти аргументы.
Информация о методе решения задачи управления определяется информацией о цели и эффективности управления.
Метод безусловной оптимизации применяется в случаях, когда целевая функция имеет локальный или глобальный экстремум.
Метод нелинейного программирования применяется в тех случаях, когда целевая функция и ограничения являются нелинейными, а сама целевая функция экстремума не имеет.
Метод линейного программирования применяется в тех случаях, когда целевая функция и ограничения являются линейными или нелинейными, которые путем преобразования приводят к линейным. Например, в случае использования степенных мультипликативных функций
R 
= c 
,
которые путем логарифмирования приводят к линейным полиномиальным
ln R = ln c + 
a 
ln zj.
Метод стохастического программирования применяется в случаях, когда параметры физического процесса являются случайными функциями, а ограничения на параметры заданы вероятностями их выполнения, т.е. в случаях обеспечения надежности управляемого физического процесса.
Задачи управления
Всякая задача оптимального управления состоит в выборе среди множества допустимых решений (допустимых управляющих воздействий) такого, которое в некотором смысле можно квалифицировать как оптимальное.
Допустимые решения – это решения, которые находятся внутри области управления и удовлетворяют всем без исключения ограничениям, накладываемым целью управления.
Оптимальное решение – это решение, которое находится на границе области допустимых решений и обеспечивает максимальное значение целевой функции.
Допустимость каждого решения понимается как в смысле возможности его фактического осуществления, так и в смысле достижения цели управления, а оптимальность – в смысле его максимальной эффективности.
Задача управления формулируется следующим образом: внутри области управления определить такое сочетание значений управляющих факторов zj, которое обеспечивает максимальную эффективность управления, задаваемую целевой функцией этих факторов, при наличии или отсутствии дополнительных ограничений в виде равенств или неравенств на зависимые от этих факторов параметры Ri.
Существующие методы решения позволяют решать следующие задачи управления: безусловной оптимизации, нелинейного программирования, линейного программирования и стохастического программирования.
Задача безусловной оптимизации формулируется следующим образом: пусть дана нелинейная целевая функция F(zj), имеющая экстремум в некоторой точке zjo. Найти такие значения переменных zjо, которые обеспечивают максимальную эффективность физического процесса, заданную этой функцией
F(zj) = max, j = 1... n.
Целевые функции могут быть представлены в виде экспоненциально-степенных мультипликативных функций вида
или квадратных полиномиальных функций вида
.
Задача нелинейного программирования формулируется следующим образом: максимизировать нелинейную целевую функцию
Fo(zj) = max, j = 1... n,
с помощью которой проводится оценка эффективности управления, при линейных ограничениях - равенствах
Fi(zj) – [Ri] = 0, i = 1... m-1,
накладываемых на решение задачи целью управления.
Задача линейного программирования формулируется следующим образом: максимизировать линейную или логарифмически линейную целевую функцию
Fo(zj) = max или Fo(ln zj) = max, j = 1... n,
с помощью которой оценивается эффективность управления при заданных условиях выполнения линейных или логарифмически линейных ограничениях – неравенствах
Fi(zj) – [Ri] £ 0 или Fi(ln zj) – ln [Ri] £ 0, i = 1... m-1,
накладываемых на решение задачи целью управления.
Задача стохастического программирования формулируется следующим образом: максимизировать линейную или логарифмически линейную целевую функцию
Fo(zj) = max или Fo(ln zj) = max, j = 1... n,
с помощью которой оценивается эффективность управления при заданной вероятности выполнения линейных или логарифмически линейных ограничений – неравенств
Prob{Fi(zj) £ [Ri]} ³ F(Ri), i = 1... m-1
или
Prob{Fi(ln zj) £ ln [Ri]} ³ F(Ri), i = 1... m-1,
накладываемых на решение задачи целью управления.
Задача стохастического программирования заключается в определении таких значений переменных z 
, которые обеспечивают максимальную эффективность управления, задаваемую целевой функцией
a 
ln z 
= max, j = 1... n
при заданной вероятности соблюдения установленных ограничений на параметры процесса
P (
a 
ln z 
ln ([R 
]/c )) > F(R ), i = 1... m.
Такая задача не может быть решена непосредственно. Возможным путем решения этой задачи является переход к детерминированному эквиваленту. В основе перехода лежит использование закона распределения случайного параметра.