Информационная карта кейса
1. В данном кейсе нельзя писать решения!
За консультацией можно обращаться только к преподавателю или к эксперту-консультанту.
Внимательно рассмотрите решение задачи, представленной в справке.
Изучите, предложенную Вам, исследовательскую работу.
Следите за временем, отведенным на каждый этап работы.
4.Выполните поиск решения задачи, опираясь на сведения справочного материала, оформите свой мини-проект по следующей схеме:
Схема оформления мини-проекта
Тема_________________
Проблема_____________
Объект исследования________________
Слайд.
Цель, задачи________________
Рабочая гипотеза__________________
4-5
Результаты исследований_______________________
6-9
Сделайте вывод следующего содержания:
- что нового удалось узнать из сегодняшнего урока;
- что сделано за сегодняшний урок;
- что из этого является результатом, о котором можно написать в тексте своего отчета;
- что не понятно, какие проблемы возникли;
- какие есть идеи их решения, включая возможность изменения постановки всей задачи или её частей;
Справочный материал
Общие теоретические сведения
Очередь — это линия ожидания. Теория очередей — часть более широкой теории, в рамках которой проводятся оперативные исследования и создаются математические модели. Все это делается с одной целью — решить проблемы, которые создает стояние в очередях. Здесь важно найти компромиссный вариант, учитывающий систему расходов и среднее время ожидания в очереди. анализировать телефонную систему в Копенгагене, чтобы разрешить проблему загруженности телефонных линий. 
Первопроходцем в теории очередей был датский математик Агнер Краруп (1878-1929), взявшийся
анализировать телефонную систему в Копенгагене, чтобы разрешить проблему загруженности телефонных линий.
В теории изучения очередей существуют законы Харпера, подобные знаменитым законам Мерфи.
o Первый закон Харпера: неважно, в какую очередь ты становишься — всегда есть одна, движущаяся быстрее остальных.
o Второй закон Харпера: если ты переходишь в другую очередь, та, которую ты покинул, начинает двигаться быстрее.
Проблема очередей
Современный человек проводит в ожидании более или менее значительную часть своей жизни. Разве есть среди нас те, кто никогда не стоял в очереди? Мир ожидания очень разнообразен: очереди машин на въезде на платную дорогу, очереди самолетов на выезде на взлетную полосу и, как следствие, очереди пассажиров к стойкам регистрации; очередь к банкоматам в больших зданиях, очередь на прием к врачу или очередь телефонных звонков, которые должны быть обработаны на пожарной станции... Это лишь некоторые примеры. Теория очередей пытается создать модели, поддающиеся последующей математической обработке.
Модели очередей
Некоторые модели очередей очень просты, другие требуют применения сложных математических теорий. Первичная классификация разбивает их на две большие группы.
Детерминированная очередь — наиболее простая модель, которую можно заранее спрогнозировать, опираясь на известные условия, например, временные интервалы прибытия и ожидания. Это «очередь без сюрпризов».
Вероятностная очередь не может быть описана без применения вероятностей. Это более реалистичная модель, чем предыдущая. В дождливый день, например, есть большая вероятность того, что увеличатся очереди на стоянках такси и уменьшатся очереди в кассы зоопарка.
Условие задачи:
В мастерской работает 4 мастера. Клиенты приходят на обслуживание в среднем каждые 10 минут, время обслуживания 1 клиента составляет 30 минут. Определить вероятности первых 7-и состояний системы, вероятность отказа и среднюю длину очереди.
Построение математической модели СМО
Тип системы: СМО с ожиданием
Количество каналов: n=4
Интенсивность поступления заявок: λ = 1/10
Интенсивность обслуживания: µ = 1/30
Коэффициент загрузки каналов: α = λ/ µ = 3
Размеченный граф состояний системы:
S0 – состояние, в котором в системе отсутствуют заявки;
S1 – состояние, при котором в системе 1 заявка;
S4 – состояние, при котором в системе 4 заявки, все каналы заняты;
S5 – состояние, при котором в системе 5 заявок, 1 заявка в очереди.
Решение задачи
P0 = 1/ (
)
I. при k<=n Pk=P0* αk/k!
II. при k>n Pk=P0* αk/(n!*nk-n)
Pотк = Pn=P4
Lq= Pn* 
P0=0.0379 P1=0.1132 P2=0.1698 P3=0.1698 P4=0.1274
Задание к работе:
Задача №1. На станции работает несколько касс по продаже жетонов. Среднее время обслуживания составляет 1 минуту, а интенсивность потока заявок на обслуживание равна 3 (чел в минуту). Определить среднюю длину очереди для семи работающих касс и время пребывания в очереди.
Задача №2. В мастерской работает 5 мастеров. Клиенты приходят на обслуживание в среднем каждые 20 минут, время обслуживания 1 клиента составляет 1,5 часа. Определить среднее число клиентов в системе и среднюю длину очереди.
Задача №3. АТС имеет 6 линий связи. Поток заявок имеет интенсивность 1 вызов минуту, а время каждого разговора составляет в среднем 3 минуты. Определить вероятность отказа и вероятность того, что ни одна линия связи не будет занята.
Задача №4. АТС имеет 5 линий связи. Поток заявок имеет интенсивность 2 вызова в минуту, а время каждого разговора составляет в среднем 3 минуты. Определить вероятность отказа и вероятность того, что ни одна линия связи не будет занята.
Задача №5. На станции работает несколько касс по продаже жетонов. Среднее время обслуживания составляет 0.5 минуты, а интенсивность потока заявок на обслуживание равна 8 (чел. в минуту). Определить среднюю длину очереди для 5 работающих касс.
Задача №6. В мастерской работает 8 мастеров. Клиенты приходят на обслуживание в среднем каждые 10 минут, время обслуживания 1 клиента составляет 1 час. Определить среднее число свободных мастеров и среднюю длину очереди.
Задача №7. На станции работает несколько касс по продаже жетонов. Среднее время обслуживания составляет 2 минуту, а интенсивность потока заявок на обслуживание равна 2 (чел в минуту). Определить среднюю длину очереди для шести работающих касс и время пребывания в очереди.
Задача №8. СМО имеет 6 обслуживающих каналов. Поток заявок, поступающих на обслуживание, имеет интенсивность 0,1 (заявок в мин.). Время обслуживания составляет в среднем 20 минут. Вычислить вероятности состояний системы среднее время пребывания заявки в очереди.
Задача №9. СМО имеет 5 обслуживающих каналов. Время поступления заявок составляет 5 минут. Время обслуживания составляет в среднем 20 минут. Вычислить вероятности состояний системы среднее время пребывания заявки в очереди.
Задача №10. Два мастера обслуживают 10 устройств, требующих постоянной регулировки. Среднее время, необходимое для регулировки 1-го устройства одним мастером составляет 2 часа, а интенсивность потока заявок на обслуживание устройств 0,2. Определить среднюю длину очереди и вероятность отказа.
Задача №11. В автопарке работает 8 грузовых машин и 1 площадка для их ремонта. Интенсивность ремонта составляет 0,2, а интенсивность потока заявок на ремонт машин равна 0,01. Определить вероятность простоя площадки и вероятность отказа.
Задача №12. Три крана загружают 6 машин. Интенсивность погрузки машины краном составляет 20 погрузок в час, а время поступления машин на погрузку равна 0,05 часа. Определить среднюю длину очереди и вероятность отказа.
Задача №13. Два мастера обслуживают 8 устройств, требующих постоянной регулировки. Среднее время, необходимое для регулировки 1-го устройства одним мастером составляет 1 час, а среднее время поступления заявок составляет 4 часа. Определить среднее время пребывания заявки в очереди и вероятность отказа.
Задача №14. В автопарке работает 10 грузовых машин и 3 площадки для их ремонта. Среднее время ремонта равно 3 часа, а интервал поступления заявок на ремонт машин равно 9 часов. Определить вероятность простоя площадки и вероятность отказа.
Задача №15. Два крана загружают 9 машин. Интенсивность погрузки машины краном составляет 8 погрузок в час, а время поступления машин на погрузку равна 0,5 часа. Определить среднее число машин в очереди и вероятность отказа.
Задача №16. Два мастера обслуживают 8 устройств, требующих постоянной регулировки. Среднее время, необходимое для регулировки 1-го устройства одним мастером составляет 1 час, а среднее время поступления заявок составляет 4 часа. Определить среднее время пребывания заявки в очереди и вероятность отказа.
Задача №17. Три мастера обслуживают 8 устройств. Среднее время обслуживания равно 2 часа, а интервал поступления заявок на ремонт машин равно 5 часов. Определить вероятности всех состояний системы.
Задача №18. Два крана загружают 8 машин. Интенсивность погрузки машины краном составляет 6 погрузок в час, а время поступления машин на погрузку равна 0,5 часа. Определить вероятности всех состояний системы.
Задача №19. На станции работает 3 кассы по продаже жетонов. Среднее время обслуживания составляет 1 минуту, а интенсивность потока заявок на обслуживание равна 4 (чел в минуту). Определить среднюю длину очереди и время пребывания в очереди и вероятности всех состояний системы.
Задача №20. СМО имеет 5 обслуживающих каналов. Поток заявок, поступающих на обслуживание, имеет интенсивность 0,2. Время обслуживания составляет в среднем 10 минут. Вычислить вероятности 10-и состояний системы и среднее время пребывания заявки в очереди.
Порядок выполнения работы:
1. Изучить инструкцию к практической работе.
2. Выполнить задание.
3. Оформить отчет.
Содержание отчета:
1. Тема.
2. Цель.
3. Задачи.
4. Материальное обеспечение.
5. Практическое задание.
Вопросы для самоконтроля:
1. Дайте определение системы массового обслуживания с неограниченной очередью.
2. Определите процесс функционирования системы массового обслуживания с неограниченной очередью.
3. Перечислите основные характеристики системы массового обслуживания с неограниченной очередью.
4. Почему простейший поток занимает центральное место в ТМО?
5. Является ли простейший поток потоком Эрланга и наоборот?
реди около 36 секунд (0,601 мин).
ЛИТЕРАТУРА
1. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. –М.: Изд-во «Советское радио», 1971. -720 с.
2. Ивченко Г. И., Каштанов В. А., Коваленко И. Н. Теория массового обслуживания: Учеб. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1982. -256с.