Практическое занятие 1
Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.
Различают несколько видов систем уравнений:
- система независимых уравнений – когда каждая зависимая переменная y рассматривается как фунуция одного и того же набора факторов х:
Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;
- система рекурсивных уравнений – когда зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде факторах в другом уравнении:
Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;
- система взаимосвязанных (совместных) уравнений – когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других – в правую:
Такая система уравнений называется структурной формой модели.
Эндогенные переменные – взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы) у.
Экзогенные переменные – независимые переменные, которые определяются вне системы х.
Предопределенные переменные – экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы.
Коэффициенты а и b при переменных – структурные коэффициенты модели.
Система линейных функций эндогенных переменных от всех
предопределенных переменных системы – приведенная форма модели:
где δ – коэффициенты приведенной формы модели.
Необходимое условие идентификации – выполнение счетного правила:
D + 1 = Н – уравнение идентифицируемо;
D + 1 < Н – уравнение неидентифицируемо;
D + 1 > И – уравнение сверхидентифицируемо,
где Н – число эндогенных переменных в уравнении,
D – число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.
Достаточное условие идентификации – определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.
Задачи для самоконтроля
Задача 1
Определить вид системы уравнений. Оценить следующую структурную модель на идентификацию:
Задача 2
Определить вид системы уравнений. Проверить идентификацию системы эконометрических уравнений.
Если: а) все параметры системы отличны от нуля;
б) a2 и b12 равны нулю.
Задача 3
Определить вид системы уравнений. Проверить идентификацию системы эконометрических уравнений.
Если: а) все параметры системы отличны от нуля;
б) a3 и b32 равны нулю.
Практическое занятие 2
Коэффициенты структурной модели могут быть оценены различными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение получили следующие методы:
- косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);
- двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК);
- трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК).
Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов. Он заключается в следующем:
- составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;
- путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.
Например, требуется найти структурные параметры модели
при условии, что полученная приведенная форма модели описывается уравнениями
Проверим идентифицируемость уравнений. В модели имеется две эндогенные переменные y1, y2 и две экзогенные переменные x1, x2. В первое уравнение входят две эндогенные переменные у1, у2 и одна экзогенная переменная x2. Следовательно, H = 2, D = 1 и H = D + 1, и первое уравнение – идентифицируемо. Идентифицируемость второго уравнения доказывается аналогично. Для нахождения структурных коэффициентов можно применить косвенный МНК, т. е. получить их с помощью преобразования приведенных уравнений.
Для этого из 2-го уравнения приведенной формы выразим переменную x2 = x1 – y2 и подставим в 1-е уравнение приведенной формы модели
y1 = 2x1 + 4(x1 – y2) или y1 = -4y2 + 6x1.
Сравнивая это уравнение с 1-м уравнением структурной формы
y1 = b12y2 + a11x1, определим значения структурных параметров
b12 = -4; a11 = 6.
Далее из первого уравнения приведенной формы выразим переменную x1 = 0,5y1 – 2x2 и подставим во 2-е уравнение приведенной формы модели
y2 = (0,5y1 – 2x2) – x2 или y2 = 0,5y1 – 3x2.
Сравнивая последнее уравнение с 2-м структурной формы
y2 = b21y1 + a22x2, получим
b21 = 0,5; a22 = -3.
Таким образом, структурная форма модели определяется уравнениями:
Задачи для самоконтроля
Задача 1
Рассматривается макроэкономическая модель:
где y1 – валовой региональный продукт (млрд. руб.);
y2 – инвестиции в основной капитал (млрд. руб.);
y3 – валовая прибыль экономики (млрд. руб.);
x1 – численность занятых в экономике (млн. чел.);
x2 – темп роста объема промышленной продукции (%);
x3 – инвестиции в основной капитал предыдущего года (млрд. руб.).
1. Проведите идентификацию модели (двумя способами).
2. Укажите способ оценки параметров каждого уравнения системы.
3. Найдите структурные коэффициенты первого уравнений системы, если известна система приведенных уравнения:
4. Опишите методику оценки параметров третьего уравнения системы.
Задача 2
Рассматривается следующая модель:
где C – объем потребления;
I – объем инвестиций;
Y – доход;
G − объем государственных расходов.
1. Представьте данную систему в приведенной форме.
2. Определите, какие из структурных уравнений идентифицируемы?
3. Какой метод можно использовать для оценки параметров рассматриваемой модели?
Задача 3
Рассматривается следующая модель «спрос – предложение»:
предложение: qt = β0 + β1pt + ε1t,
спрос: qt = α0 + α1pt + α2yt + ε2t,
где qt, pt – эндогенные переменные – количество товара и цена в году t;
yt – экзогенная переменная – доход потребителей;
ε1t, ε2t – случайные отклонения.
На основании следующих статистических данных необходимо оценить коэффициенты функции предложения, используя для этого МНК и КМНК. Сравнить результаты.
| pt | qt | yt | |
| сумма | |||
| 6,2 | 3,2 | среднее |
Задача 4
Имеются данные, характеризующие некоторое государство за семь последовательных лет:
| № | Темп прироста | % безработных, x1 | ||||
| Заработной платы, у1 | цен, у2 | дохода, у3 | цен на импорт, x2 | Экономически активного населения, x3 | ||
Определите параметры структурной модели вида:
Задача 5
Имеются данные, характеризующие годовое потребление мяса на душу населения, средние потребительские цены, среднедушевые денежные доходы, индекс цен производителей:
| Год | Годовое потребление мяса на душу населения, кг, y1 | Средние потребительские цены на мясо, руб. за кг., у2 | Среднедушевые денежные доходы населения в месяц, руб., x1 | Индекс цен производителей на мясо, %, x2 |
| 246,05 | 196,7 | |||
| 255,7 | ||||
| 256,25 | 137,6 | |||
| 282,55 | 105,2 | |||
| 293,55 | 102,6 |
Необходимо построить модель вида:
рассчитав соответствующие структурные коэффициенты модели.
Практическое занятие 3
Для решения сверхидентифицированных уравнений применяется двухшаговый МНК (ДМНК), который заключается в следующем:
- составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;
- выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухшаговым МНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;
- обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.
Рассмотрим в качестве примера модифицированную модель Кейнса:
Ct = α + βYt + εt – функция потребления,
Yt = Ct + It + Gt – тождество дохода,
где Ct, Yt, It и Gt – объем потребления, совокупный доход, инвестиции и государственные расходы соответственно;
α и β – структурные коэффициенты;
εt – случайный член.
В исходной модели Ct и Yt – эндогенные переменные, It и Gt – экзогенные.
Разрешая структурную систему относительно эндогенных переменных, получим приведенную систему уравнений вида:
,
.
Двухшаговый МНК можно рассматривать как частный случай метода инструментальных переменных. При описании применения метода инструментальных переменных было указано, что структурное уравнение функции потребления оказалось переопределенным, и сразу две переменные It и Gt могли быть использованы для определения функции Yt.
Однако вместо их раздельного применения можно предложить их комбинацию:
zt = γ0 + γ1It + γ2Gt,
где γ0, γ1 и γ2 – коэффициенты, подлежащие оценке.
Вместо zt может быть выбрана регрессионная оценка Ŷt, приведенного уравнения для Yt, которую получают с помощью обычного МНК:
Ŷt = γ0 + γ1It + γ2Gt,
Так осуществляется первый шаг двухшагового метода наименьших квадратов. Подставляя теоретические значения Ŷt вместо фактических значений в структурное уравнение функции потребления, получим уравнение:
Ct = α + βŶt + εt.
Оценки параметров аир этого уравнения получают с помощью обычного МНК. Так осуществляется второй шаг двухшагового метода наименьших квадратов. При этом оценки структурных коэффициентов будут состоятельными.
Двухшаговый МНК можно рассматривать как способ конструирования наилучшей из возможных комбинаций инструментальных переменных, если в уравнении имеется избыток экзогенных переменных, которые можно использовать как инструментальные.
Более эффективным, но требующим существенно больших вычислительных затрат, является трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК). Он заключается в том, что двухшаговый метод наименьших квадратов применяется не к исходным уравнениям модели, а к уравнениям, преобразованным согласно обобщенному методу наименьших квадратов. Трехшаговый МНК является итерационной процедурой:
1) Параметры модели определяются обычным или двухшаговым МНК.
2) Вычисляются ошибки модели и определяется оценка корреляционной матрицы ошибок.
3) Уравнения преобразуются согласно обобщенному МНК.
4) Применяется двухшаговый МНК к преобразованным уравнениям и получается улучшенная модель (с улучшенными параметрами).
5) Процесс повторяется, начиная со второго шага, пока не будет достигнута заданная точность (либо превышено заданное количество итераций).
Если случайные члены структурной модели не коррелируют, то трехшаговый метод сводится к двухшаговому.
Задачи для самоконтроля
Задача 1
Имеются данные, характеризующие некоторое государство за семь последовательных лет:
| № | Темп прироста | % безработных, x1 | ||||
| Заработной платы, у1 | цен, у2 | дохода, у3 | цен на импорт, x2 | Экономически активного населения, x3 | ||
Определите параметры структурной модели вида:
Задача 2
Изучается модель вида:
где y – валовой национальный доход;
y-1 – валовой национальный доход предшествующего года;
C – личное потребление;
D – конечный спрос (помимо личного потребления).
Дана следующая информация за девять лет о приростах всех показателей:
| Год | D | y-1 | y | С |
| -0,8 | 40,7 | 3,1 | 7,4 | |
| 22,4 | 3,1 | 22,8 | 30,4 | |
| -17,3 | 22,8 | 7,8 | 1,3 | |
| 12,0 | 7,8 | 21,4 | 8,7 | |
| 5,0 | 21,4 | 17,8 | 25,8 | |
| 44,7 | 17,8 | 37,2 | 8,0 | |
| 23,1 | 37,2 | 35,7 | 30,0 | |
| 51,2 | 35,7 | 40,0 | 31,4 | |
| 32,3 | 40,0 | 50,0 | 30,1 | |
| I | 107,5 | 230,1 | 248,4 | 182,7 |
Для данной модели была получена система приведенных уравнений:
Требуется:
– провести идентификацию модели;
– рассчитать параметры первого уравнения структурной модели.
Задача 3
Построена следующая модель:
где Kt – стоимость основных фондов (эндогенная переменная);
Yt – количество работающих (эндогенная переменная);
It – объем инвестиций (экзогенная переменная);
Pt – объем продукции (эндогенная переменная);
Xt – использование сырья (экзогенная переменная).
Имеются наблюдения за 11 лет:
| t | Pt | Yt | Kt | Xt | It |
| 4Д | 2,8 | 1,2 | |||
| 4Д | 2,9 | 1,3 | |||
| 4,2 | 3,8 | 1,3 | |||
| 4,4 | 4,1 | 1Д | |||
| 4,6 | 4,1 | 1,3 | |||
| 4,6 | 4,1 | 1,4 | |||
| 4,7 | 4,0 | 1,3 | |||
| 4,8 | 4,1 | 1,6 | |||
| 5,2 | 4,2 | 1,8 | |||
| 5,4 | 4,2 | 1,9 | |||
| 5,8 | 4,3 | 2,0 |
Требуется:
– провести идентификацию модели;
– рассчитать параметры уравнений структурной модели;
– рассчитать стандартные ошибки полученных параметров.
Задача 4
Дана модифицированная модель Кейнса:
где C – потребление; Y – доход; I – инвестиции; G – государственные расходы; t – текущий период; t-1 – предыдущий период.
| Годы | Y | C | I |
| 95,75 | 60,45 | 14,3 | |
| 92,55 | 62,45 | 15,25 | |
| 103,55 | 65,9 | 17,75 | |
| 62,9 | 19,7 | ||
| 108,25 | 62,45 | 12,1 | |
| 107,4 | 14,6 | ||
| 112,7 | 73,55 | 17,35 | |
| 117,75 | 76,55 | ||
| 123,45 | 79,7 | 22,15 | |
| 126,55 | 21,6 | 22,3 | |
| 125,25 | 21,55 | 19,2 | |
| 122,1 | 22,55 | ||
| 125,35 | 23,45 | ||
| 130,25 | 27,35 | 2D | |
| 132,3 | 91,55 | 25,25 | |
| 142,65 | 95,5 | ||
| 145,2 | |||
| 151,3 | 101,75 | ||
| 157,4 | 105,4 | 25,2 | |
| 161,25 | 107,45 | 26,15 |
1. В предположении, что потребление зависит линейно от дохода (первое уравнение модели), оцените по МНК параметры a1 и b11 функции потребления;
2. Оцените те же параметры по ДМНК и по ТМНК;
3. Сравните полученные результаты. Сделайте выводы по качеству оценок.
Задача 5
Рассматривается следующая модель:
где Сt – расходы на потребление в период t;
Yt – совокупный доход в период t;
It – инвестиции в период t;
rt – процентная ставка в период t;
Мt – денежная масса в период t;
Gt – государственные расходы в период t;
Gt-1 – расходы на потребление в период t-1;
It-1 – инвестиции в период t-1;
u1, u2, u3 – случайные ошибки.
1. В предположении, что имеются временные ряды данных по всем переменным модели, предложите способ оценки ее параметров.
2. Как изменится ваш ответ на вопрос п. 1, если из модели исключить тождество дохода?
АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
Практическое занятие 1
Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.
Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.
Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (T), циклической (S) и случайной (Е) компонент.
Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, – аддитивные модели, как произведение – мультипликативные модели временного ряда.
Аддитивная модель имеет вид: Y = Т + S + Е;
Мультипликативная модель: Y = T • S • E.
Автокорреляция уровней ряда – это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда:
,
где 
, 
– коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка;
,
где 
, 
– коэффициент автокорреляции уровней ряда второго порядка.
Формулы для расчета коэффициентов автокорреляции старших порядков легко получить из формулы линейного коэффициента корреляции.
Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда, а график зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) – коррелограммой.
Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравниванием временного ряда. Для этого чаще всего применяются следующие функции:
• линейная ŷt = a + b • t;
• гипербола ŷt = а + b / t;
• экспонента ŷt =ea+b • t;
• степенная функция ŷt =a • tb;
• парабола второго и более высоких порядков ŷt =a + b1 • t + b2 • t2 +... + bk • tk.
Параметры трендов определяются обычным МНК, в качестве независимой переменной выступает время t = 1,2,..., n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда уt. Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации 
.
Задачи для самоконтроля
Задача 1
Приведены данные, отражающие спрос (штук) на некоторый товар за двенадцатилетний период, т.е. временной ряд спроса.
| Год, t | ||||||||||||
| Спрос, yt |
Найти коэффициенты автокорреляции первого, второго и третьего порядков.
Задача 2
По данным задачи 1 выявить с помощью МНК линейную тенденцию.
Задача 3
Имеются следующие данные об уровне безработицы уt (%) за 8 месяцев:
| Месяц | ||||||||
| yt | 8,8 | 8,6 | 8,4 | 8,1 | 7,9 | 7,6 | 7,4 | 7,0 |
Определите коэффициенты автокорреляции уровней этого ряда первого и второго порядка.
Задача 4
Имеется следующий временной ряд:
| t | ||||||||
| xt | … | … | … | … | … | … |
Известно, что 
, 
, 
.
1. Определите коэффициент автокорреляции уровней этого ряда первого порядка.
2. Установите, включает ли исследуемый временной ряд тенденцию.
Задача 5
Дана выборка курса биржевой стоимости акции некоторого предприятия за 12 месяцев:
| Стоимость акции по месяцам (руб.) | ||||||||||||
| Месяц, t | ||||||||||||
| Стоимость, yt | 13,1 | 11,9 | 11,8 | 17,3 | 15,9 | 16,1 | 20,5 | 19,2 | 19,9 | 23,9 | 22,8 | 23,8 |
1. Найти коэффициенты автокорреляции со смещением на 1,2,3 и 4 месяца.
2. Проверить найденные коэффициенты автокорреляции на значимость с доверительной вероятностью p = 0,95.
3. Построить коррелограмму.
4. Построить модель тенденции временного ряда.
Практическое занятие 2
При построении моделей регрессии по временным рядам для устранения тенденции используются следующие методы.
Метод отклонений от тренда предполагает вычисление трендовых значений для каждого временного ряда модели, например ŷt и 
расчет отклонений от трендов: уt – ŷt и xt – , Для дальнейшего анализа используют не исходные данные, а отклонения от тренда.
Метод последовательных разностей заключается в следующем: если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменяются первыми разностями:
Δt = yt – yt-1 = b + (εt – εt-1);
Если параболический тренд – вторыми разностями:
Δt2 = Δt – Δt-1 = 2b2 + (εt – 2εt-1 + εt-2);
В случае экспоненциального и степенного тренда метод последовательных разностей применяется к логарифмам исходных данных.
Модель, включающая фактор времени, имеет вид:
yt = a + b1xt + b2t + εt.
Автокорреляция в остатках – корреляционная зависимость между значениями остатков ε, за текущий и предыдущие моменты времени.
Для определения автокорреляции остатков используют критерий Дарвина - Уотсона и расчет величины:
, 0 ≤ d ≤ 4.
Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется по формуле:
, -1 ≤ 
≤ 1.
Критерий Дарбина - Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков первого порядка связаны соотношением
d = 2(1 – ).
Если автокорреляция остатков отсутствует (r = 0) – d ~ 2. При положительной автокорреляции (r > 0) имеем 0 < d < 2. При отрицательной автокорреляции (r < 0) – 2 < d < 4.
Задачи для самоконтроля
Задача 1
Исключить тенденцию методом отклонений от тренда из временных рядов:
| t | ||||||||||
| у(t) | ||||||||||
| x(t) |
Задача 2
Исключить параболическую тенденцию методом последовательных разностей из временных рядов:
| t | ||||||||||
| у(t) | ||||||||||
| x(t) |
Задача 3
Исключить тенденцию методом включения в модель фактора времени из временных рядов:
| t | |||||
| y(t) | |||||
| x(t) |
Задача 4
Проверить гипотезу о наличии автокорреляции в остатках для временных рядов:
| t | ||||||||||
| y(t) | ||||||||||
| x(t) |
Задача 5
Представлены данные об уровне дивидендов, выплачиваемых по обыкновенным акциям (%), и среднегодовой стоимости основных фондов компании (млн руб.) за несколько периодов:
| Период | |||||||||
| Среднегодовая стоимость основных фондов | 7,5 | 8,5 | 9,5 | ||||||
| Дивиденды по обыкновенным акциям | 4,2 | 3,8 | 3,4 | 3,7 |
С помощью критерия Дарбина-Уотсона определите наличие автокорреляции в остатках.
Практическое занятие 3
Существует несколько подходов при моделировании сезонных или циклических колебаний:
- расчет значений сезонной компоненты и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда;
- применение сезонных фиктивных переменных;
- использование рядов Фурье и др.
1. Наиболее простым является первый метод. Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и Е для каждого уровня ряда.
Построение модели включает следующие шаги:
1) выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;
2) расчет значений сезонной компоненты S;
3) устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной (T + Е) или в мультипликативной (T • Е) модели;
4) аналитическое выравнивание уровней (T + Е) или (Т • Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда;
5) расчет полученных по модели значений (T + Е) или (Т • Е);
6) расчет абсолютных и/или относительных ошибок.
2. При моделировании временного ряда, содержащего сезонные колебания, могут использоваться фиктивные переменные. Количество фиктивных переменных в модели временного ряда должно быть на единицу меньше числа периодов (или моментов) времени внутри одного цикла колебаний. Так, при моделировании поквартальных данных модель должна включать четыре независимые переменные – фактор времени и три фиктивные переменные. Каждая фиктивная переменная отражает сезонную компоненту временного ряда для какого-либо одного периода. Она равна единице для данного периода и нулю для всех остальных.
Предположим, имеется ряд динамики, содержащий сезонные колебания периодичностью k. Тогда модель регрессии с фиктивными переменными будет иметь вид:
yt = a0 + a1t + b1x1 + … + bjxj + … + bk-1xk-1 + Δt,
где 
При моделировании сезонных колебаний на основе поквартальных данных за несколько лет число кварталов внутри одного года k = 4, общий вид модели следующий:
yt = a0 + a1t + b1x1 + b2x2 + b3x3 + Δt,
где 
Уравнение тренда для каждого квартала будет иметь следующий вид:
для I квартала: yt = a0 + a1t + c1 + Δt;
для II квартала: yt = a0 + a1t + c2 + Δt;
для III квартала: yt = a0 + a1t + c3 + Δt;
для IV квартала: yt = a0 + a1t + Δt.
Таким образом, фиктивные переменные дифференцируют величину свободного члена уравнения регрессии для каждого квартала. Величина свободного члена составляет:
для I квартала: (a0 + c1);
для II квартала: (a0 + c2);
для III квартала: (a0 + c3);
для IV квартала: a0.
Значение параметра а 1 в этой модели характеризует среднее абсолютное изменение уровней ряда динамики под воздействием тенденции.
По своей сути данная модель временного ряда с фиктивными переменными является аддитивной, поскольку фактический уровень ряда – это сумма трендовой, сезонной и случайной компонент.
Недостатком модели временного ряда с фиктивными переменными для описания периодических колебаний является большое число переменных.
3. Функцию, заданную в каждой точке изучаемого интервала времени, можно представить бесконечным рядом синусоидальных и косинусоидальных функций. Нахождение конечной суммы уровней с использованием функций косинусов и синусов времени называется гармоническим анализом.
Другими словами, гармонический анализ представляет собой операцию для выражения заданной периодической функции в идее ряда Фурье по гармоникам разных периодов (французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1736 –1830). Каждый член ряда представляет собой слагаемое постоянной величины с функциями косинусов и синусов определенного периода.
В простейшем случае динамика явлений, обладающих периодичностью, может быть аппроксимирована синусоидой:
y = A × sin(α × t + β),
где t – время;
А – полуамплитуда колебания, т.е. наибольшее или наименьшее отклонение от оси t;
α – длина волны колебательного движения;
β – начальная фаза колебания.
Аппроксимация динамики экономических явлений с помощью ряда Фурье состоит в выборе таких гармонических колебаний, наложение которых друг на друга отразит периодические колебания фактических уровней динамического ряда.
С помощью ряда Фурье можно представить динамику явлений в виде некоторой функции времени, в которой слагаемые расположены по убыванию периодов:
.
В уравнении Фурье величина k определяет гармонику ряда и может быть взята целым числом (обычно от 1 до 4).
При решении уравнения параметры определяются на основе положений метода наименьших квадратов. Определяя для функции частные производные и приравнивая их к нулю, получают систему нормальных уравнений, параметры которых вычисляются по формулам:
, 
, 
.
Последовательные значения t обычно определяются от 0 с увеличением (приростом), равным 2π/n, где n – число уровней ряда динамики.
При анализе ряда внутригодовой динамики по месяцам значение n принимается равным 12. Представляя месячные периоды как части окружности
ряд внутригодовой динамики можно записать в виде:
Периоды ti… 0, π /6, π /3, π /2, 2 π /3, 5 π /6, π, 7 π /6, 4 π /3, 3 π /2, 5 π /3, 11 π /6.
Уровни <