Задача № 8
Содержание задачи.
Закреплённый на дне водоёма глубиной Н понтон освобождается от удерживающих его связей и всплывает (рис 8).
Найти зависимость скорости его всплытия от времени V(t), определить время всплытия до момента соприкосновения со свободной поверхностью и скорость в этот момент.
В расчетах принять жидкость идеальной и безграничной, а понтон рассматривать как часть цилиндра бесконечного размаха. Также пренебрегаем влиянием дна и свободной поверхности. В данном случае инерционная гидродинамическая сила равна нулю.
Исходные данные и принятые положения.
Длина понтона, L, м 16
Диаметр понтона, D, м 4,5
Масса понтона, m, т 0,05∙ρ∙V0
Объем понтона, V, м3 
Положение понтона в жидкости см.рис.8
Глубина водоема, H, м 16
Плотность воды, ρ, m/т3 1,025
Ускорение свободного падения, g, м/сек2 9,81
Скорость понтона, V0, м/с 6
В работе принята декартовая система координат с началом в верхней кромке поверхности цилиндра в момент его отрыва от грунта. При этом ось 0х горизонтальная, а ось 0y направленна вертикально вверх (см. рис. 8).
Рис. 8
3. Составим уравнение движения понтона.
Запишем уравнение движения понтона, приняв за положительное направление оси Y – направление вертикально вверх, при этом на тело действует сила веса и поверхностная сила:
(8.1)
где, G – сила тяжести;
F – поверхностная сила, действующая на понтон со стороны жидкости;
V – объем понтона, равный 
;
m – масса понтона, равная m = 0,05∙ρ∙V = 0,05∙1,025∙ = 13 т;
– ускорение понтона.
G = m∙g = 0,05∙ρ∙V∙g =0,05∙1,025∙ 254,3 ∙9,81 = 127,8 кН.
Поверхностную силу можно разделить на две составляющие:
Fy = F = Fст + R (8.2)
где, Fст – гидростатическая сила, действующая на понтон в состоянии покоя;
R – гидродинамическая сила;
Fст = γ∙V = ρ∙g∙V (8.3)
где, γ – удельный вес воды
R = R0 + Rи (8.4)
R0 - гидродинамическая сила, действующая на понтон при равномерном движении;
Rи – инерционная гидродинамическая сила, в нашем случае равная нулю.
Поскольку жидкость безгранична и идеальная R0 = 0, исходя из условий парадокса Да’Ламбера.
Подставим в формулу (8.1) известные значения:
-0,05∙ρ∙V∙g + ρ∙g∙V = 0,05∙ρ∙V∙ 
(8.5)
Сократим (8.5) на общие сомножители и разрешив полученное уравнение относительно dV0, получим:
dV0 = 
(8.6)
Проинтегрируем и получим уравнение движения понтона:
V0 = 186,4t +C2 (8.7)
где, С2 – константа, значение которой определяется из условия:
В начальный момент времени (t=0) скорость V0 также равна нулю. Этому условию соответствует С1 = 0.
4. Определение времени всплытия.
Будем считать, что момент всплытия наступит, когда верхняя кромка понтона коснется свободной поверхности. При этом обозначим через lm как расстояние от верхней точки понтона до свободной поверхности:
lm = H – D = 16 - 4,5 = 11,5 м (8.8)
Тогда начало координат будет расположено в верхней точке тела – в точке А. Понтон будет всплывать строго вертикально вверх, так как в силу его симметрии все силы, действующие на боковые грани цилиндра взаимно уравновешиваются. Следовательно, все силы, действующие при подъеме на понтон, будут направлены вдоль оси Y.
Представим скорость движения понтона через производную координаты Y по времени:
(8.9)
После того, как преобразуем и проинтегрируем формулу (7.10), получим формулу для определения времени всплытия понтона:
(8.10)
Время всплытия с момента освобождения понтона от удерживающих его связей, до момента соприкосновения его верхней точки со свободной поверхностью, при y=l1,5 м равно:
tм = 0,351 c.
5. Определение скорости V0м в момент окончания всплытия.
Подставим в формулу (8.7) значение времени всплытия понтона со дна водоема:
V0м = 186,4 ∙ 0,351 = 65,4м/с. (8.11)
Ответ:
V0 = 186,4t
tм = 0,351c
V0м = 65,4 м\с