Теорема ( признак) параллельных прямых.

Билет №1.

1) Следствия из аксиом стереометрии.

Следствие первое: Через прямую и не лежащую на ней точки проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство: Рассмотрим прямую а и не лежащую на ней точку А. Докажем, что через прямую а и точку А проходит плоскость. Отметим на прямой а две точки P иQ. Эти три точки не лежат на одной прямой, поэтому согласно аксиоме А1, через эти точки проходит некоторая плоскость α. Так как две точки прямой а лежат в плоскости α, то по аксиоме А2 плоскость α проходит через прямую а.

Единственность плоскости, проходящей через прямую а и точку, следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямую а и точку А, проходит через точки А, Р и Q. Следовательно эта плоскость совпадает с плоскостью α, так как через эти три точки по аксиоме А1 проходит только одна плоскость. Теорема доказана.

Следствие второе: Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

 

Доказательство: Рассмотри прямые a и b, пересекающиеся в точке М, и докажем, что через эти прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Отметим на прямой b какую-нибудь точку К, отличную от точки М, и рассмотрим плоскость α, проходящую через прямую а и точку К. Так как две точки прямой b лежат в плоскости α, то по аксиоме А2 плоскость проходит через эту прямую. Итак, плоскость α проходит через прямые a и b. Единственность этой плоскости следует из того, что любая плоскость, проходящая через эти прямые, проходит через точку К, следовательно она совпадает с плоскостью α. Теорема доказана.

 

2) Вектор в пространстве – это отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой – концом.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

 

Признак компланарности трех векторов

Если вектор можно разложить по векторам и , т.е. представить в виде , где х и у — некоторые числа, то векторы , и компланарны.

 

Билет №2.

 

1) Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема (признак) скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Доказательство: Рассмотрим прямую АВ, лежащую в плоскости α, и прямую СК, пересекающую эту плоскость в точке С, не лежащую на прямой АВ. Докажем, что АВ и СК – скрещивающиеся прямые, т.е. они не лежат одной в одной плоскости. Действительно, если допустить, что прямые АВ и СК лежат в некоторой плоскости β, то плоскость β будет проходить через прямую АВ и точку С и совпадать с плоскостью α. А это невозможно, так как прямая СК не лежит в плоскости α. Теорема доказана.

 

2) Поверхность, составленная из четырех треугольников ABC, DAB, DBC и DCA, называется тетраэдром и обозначается так: DABC

Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны — ребрами, а вершины — вершинами тетраэдра. Тетраэдр имеет четыре грани, шесть ребер и четыре вершины. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными.

 

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A1B1C1D1 и четырех параллелограммов, называется параллелепипедом и обозначается так: ABCDA1B1C1D1.

1° Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Докажем, например, параллельность и равенство граней АВВ1A1 и DCC1D1 параллелепипеда ABCDA1BlC1Dl (рис. 37, а). Так как ABCD и ADD1A1 — параллелограммы, то AB||DC и AA1||DD1. Таким образом, две пересекающиеся прямые АВ и АА1 одной грани соответственно параллельны двум пересекающимся прямым CD и DD1 другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоскостей следует, что грани АВВ1A1 и DCC1D1 параллельны.

Докажем теперь равенство этих граней. Так как все грани параллелепипеда — параллелограммы, то AB=DC и AA1=DD1. По этой же причине стороны углов А1АВ и D1DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким образом, две смежные стороны и угол между ними параллелограмма АВВ1А1 соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма DCC1D1, поэтому эти параллелограммы равны.

2° Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Чтобы доказать это свойство, рассмотрим четырехугольник A1D1CB, диагонали которого А1С и D1B являются диагоналями параллелепипеда ABCDAlB1C1D1 (см. рис. 37, а). Так как А1D1||ВС и A1D1=BC, то A1D1CB — параллелограмм. Поэтому диагонали A1C и D1B пересекаются в некоторой точке O и этой точкой делятся пополам.

Далее рассмотрим четырехугольник AD1C1B (рис. 37, б). Он также является параллелограммом, и, следовательно, его диагонали АС1 и D1B пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Но серединой диагонали D1B является точка О.Таким образом, диагонали A1C, D1B и АС1 пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам. Наконец, рассматривая четырехугольник A1B1CD (рис. 37, в), точно так же устанавливаем, что и четвертая диагональ DB1 параллелепипеда проходит через точку О и делится ею пополам.

Билет №3.

1) Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Теорема (признак) параллельных прямых.

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство.

Рассмотрим прямую а и точку М, не лежащую на этой прямой (рис. 11). Через прямую а и точку М проходит плоскость, и притом только одна (п. 3). Обозначим эту плоскость буквой α. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с точкой М и прямой а, т.е. должна лежать в плоскости α. Но в плоскости α, как известно из курса планиметрии, через точку М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. На рисунке 11 эта прямая обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а. Теорема доказана.

2) Двугранный угол – фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Угол между пересекающимися плоскостями – линейный угол двугранного угла. Чтобы измерить двугранный угол, необходимо отметить на ребре двугранного угла какую-нибудь точку и в каждой грани из этой точки провести луч перпендикулярно к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейный угол двугранного угла.

 

Билет №4.

1) Теорема

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Доказательство:

Рассмотрим углы О и О₁ с соответственно сонаправленными сторонами и докажем, что угол O равен углу O₁.
Отметим на сторонах угла О какие-нибудь точки А и В и отложим на соответственных сторонах угла О₁отрезки О₁А₁=ОА и 0₁В₁=ОВ (рис. 25).
Четырехугольник ОО₁А₁А — параллелограмм, так как противоположные стороны OA и O₁A₁параллельны и равны. Отсюда следует, что АА₁||00₁ и AA₁=OO₁. Аналогично четырехугольник OO₁BB₁ — параллелограмм, поэтому ВВ₁||00₁ и ВВ₁=ОО₁ Так как АА₁||ОО₁ и BB_l||00₁, то по теореме о трех параллельных прямых АА₁||ВВ₁. Кроме того, АА₁=00₁=ВВ₁. Таким образом, в четырехугольнике АВВ₁А₁противоположные стороны АА₁ и ВВ₁ параллельны и равны. Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм, и значит, стороны АВ и А₁В₁ равны.
Сравним теперь треугольники АОВ и A₁O₁B₁. Они равны по трем сторонам, и поэтому угол O равен углу O₁ Теорема доказана.

 

Угол между прямыми

 

Любые две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла. Если известен один из этих углов, то можно найти и другие три угла (рис. 26, а). Пусть α — тот из углов, который не превосходит любой из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол между пересекающимися прямыми равен α.

Введем теперь понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть АВ и CD — две скрещивающиеся прямые (рис. 27, А). Через произвольную точку М1 проведем прямые А1В1 и C1D1, соответственно параллельные прямым АВ и CD (рис. 27, б).

Если угол между прямыми A1B1 и C1D1 равен φ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен φ.

 

 

 

 

Билет №5.

1) Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Доказательство.

Рассмотрим плоскость α и две параллельные прямые а и b, расположенные так, что прямая b лежит в плоскости α, а прямая а не лежит в этой плоскости (рис. 15, б). Докажем, что a||α.

Допустим, что это не так. Тогда прямая а пересекает плоскость α, а значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также пересекает плоскость α. Но это невозможно, так как прямая b лежит в плоскости α. Итак, прямая а не пересекает плоскость α, поэтому она параллельна этой плоскости. Теорема доказана.

 

2) Дано:
Плоскость α
SO ┴ α
SA – наклонная
OA – проекция SA
MN принадлежит α

Доказать:
MN ┴ SA

Доказательство:

 

Зададим векторы , , , .
= +
Умножим обе части на :
• = • + •
Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно 0:
• = 0, но и не нулевые векторы, значит, ┴ , прямая оказалась перепендикулярной наклонной, что и требовалось доказать.

 

 

Билет №6.

1) Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек

Свойства: 1°. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Пусть через данную прямую а, параллельную плоскости α, проходит плоскость β, пересекающая плоскость α по прямой b (рис. 16). Докажем, что b||a. Действительно, эти прямые лежат в одной плоскости (в плоскости β) и не пересекаются: ведь в противном случае прямая а пересекала бы плоскость α, что невозможно, поскольку по условию a||α.

2°. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.
В самом деле, пусть а и b — параллельные прямые, причем прямая а параллельна плоскости α. Тогда прямая а не пересекает плоскость α, и, следовательно, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая b также не пересекает плоскость α. Поэтому прямая b либо параллельна плоскости α, либо лежит в этой плоскости.

 

 

2)

Задача

Доказать, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Решение

Обозначим данную прямую буквой а, а произвольную точку пространства — буквой М. Докажем, что существует плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная к прямой а.
Проведем через прямую а две плоскости α и β так, чтобы М ∈ α (рис. 49). В плоскости α через точку М проведем прямую р, перпендикулярную к прямой а, а в плоскости β через точку пересечения прямых р и а проведем прямую q, перпендикулярную к прямой а. Рассмотрим плоскость γ, проходящую через прямые р и q. Плоскость γ является искомой, так как прямая а перпендикулярна к двум пересекающимся прямым р и q этой плоскости.

 

 

Билет №7.

1) Теорема

 

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство

Рассмотрим прямую а, которая перпендикулярна к прямым р и q, лежащим в плоскости α и пересекающимся в точке О (рис. 48, а). Докажем, что a ⊥α. Дляэтогонужнодоказать, чтопрямаяаперпендикулярнакпроизвольнойпрямой m плоскости α.
Рассмотрим сначала случай, когда прямая а проходит через точку О (рис. 48, б). Проведем через точку О прямую l, параллельную прямой m (если прямая m проходит через точку О, то в качестве l возьмем саму прямую m). Отметим на прямой а точки А и В так, чтобы точка О была серединой отрезка АВ, и проведем в плоскости а прямую, пересекающую прямые р, q и l соответственно в точках P, Q и L. Будем считатьдля определенности, что точка Q лежит между точками P и L (рис. 48, б).
Так как p и q - серединные перпендикуляры отрезка АВ, то АР = ВР AQ = BQ. Следовательно Δ APQ =Δ BPQ по трем сторонам. Поэтому ∠ APQ =∠ BPQ.

Сравним треугольники APL и BPL. Они равны по двум сторонам и углу между ними (АР = ВР, PL — общая сторона, ∠ APL = ∠BPL), поэтому AL=BL. Ноэтоозначает, чтотреугольник ABL равнобедренныйиегомедиана LO являетсявысотой, т.е. l ⊥ a. Таккак l||m и l ⊥ a, то m ⊥ a (полеммеоперпендикулярностидвухпараллельныхпрямыхктретьей). Итак, прямаяаперпендикулярнаклюбойпрямой m плоскостиα, т.е. а⊥α.

Рассмотрим теперь случай, когда прямая а не проходит через точку О. Проведем через точку О прямую а1, параллельную прямой а. По упомянутой лемме а1 ⊥p иа1 ⊥q, поэтомуподоказанномувпервомслучаеа1 ⊥α. Отсюда (попервойтеоремеп. 16) следует, чтоа⊥α. Теоремадоказана.

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Доказательство

Рассмотрим параллельные прямые а и b, одна из которых — прямая а — пересекает плоскость α в точке М (рис. 13, а). Докажем, что прямая b также пересекает плоскость α, т.е. имеет с ней только одну общую точку.
Обозначим буквой β плоскость, в которой лежат параллельные прямые а и b. Так как две различные плоскости α и β имеют общую точку М, то по аксиоме А₃ они пересекаются по некоторой прямой р (рис. 13, б). Эта прямая лежит в плоскости β и пересекает прямую а (в точке М), поэтому она пересекает параллельную ей прямую b в некоторой точке N. Прямая р лежит также в плоскости α, поэтому N — точка плоскости α. Следовательно, N — общая точка прямой b и плоскости α.
Докажем теперь, что прямая b не имеет других общих точек с плоскостью α, кроме точки N. Это и будет означать, что прямая b пересекает плоскость α. Действительно, если бы прямая b имела еще одну общую точку с плоскостью α, то она целиком лежала бы в плоскости α и, значит, была бы общей прямой плоскостей α и β, т.е. совпадала бы с прямой р. Но это невозможно, так как по условию прямые а и b парал­лельны, а прямые а и р пересекаются. Лемма доказана.

Билет №8.

1) Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

 

Теорема

 

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство

 

Рассмотрим две параллельные прямые а и а1 и плоскость α, такую, что a ⊥α. Докажем, чтоиа1 ⊥α.

Проведем какую-нибудь прямую х в плоскости α (рис. 46). Так как a ⊥ a, то a ⊥ x. Полеммеоперпендикулярностидвухпараллельныхпрямыхктретьейа1 ⊥ x. Такимобразом, прямаяа1 перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости α, т.е. а1 ⊥α. Теоремадоказана.

 

Теорема.

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны

Доказательство

 

Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные к плоскости α (рис. 47, а). Докажем, что а||b.

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b1, параллельную прямой а. По предыдущей теореме b1 ⊥α. Докажем, чтопрямая b1 совпадаетспрямой b. Темсамымбудетдоказано, чтоа||b. Допустим, чтопрямые b и b1 несовпадают. Тогдавплоскостиβ, содержащейпрямые b и b1, черезточкуМпроходятдвепрямые, перпендикулярные к прямой с, по которой пересекаются плоскости α и β (рис. 47, б). Но это невозможно, следовательно, а||b. Теорема доказана.

 

Билет №9.

 

Билет № 10.

1) Теорема

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Доказательство

Проведем в данной плоскости α какие-нибудь две пересекающиеся прямые a и b. Через данную точку A проведем параллельные им прямые a1 и b1. Плоскость β, проходящая через прямые a1 и b1, по теореме о признаке параллельности плоскостей параллельна плоскости α.

 

Предположим, что через точку A проходит другая плоскость β1, тоже параллельная плоскости α. Отметим на плоскости β1 какую-нибудь точку С, не лежащую в плоскости β. Проведем плоскость γ через точки A, С и какую-нибудь точку B плоскости α. Эта плоскость пересечет плоскости α, β и β1 по прямым b, a и с. Прямые a и с не пересекают прямую b, так как не пересекают плоскость α. Следовательно, они параллельны прямой b. Но в плоскости γ через точку A может проходить только одна прямая, параллельная прямой b. что противоречит предположению. Теорема доказана.

 

2)

 

 

Билет № 11.