Ростовский Государственный Университет
Е.Р.Ляликова, Л.И.Спинко, С.В.Фоменко
Дифференциальное исчисление функций
Нескольких переменных.
Методические указания для студентов 1-го курса
Дневного отделения экономического факультета РГУ
Ростов-на-Дону 2004
Печатается в соответствии с решением кафедры математического анализа Ростовского государственного университета, протокол № 7 от 9 марта 2004 года.
Рецензент: доцент С.В.Фоменко
До сих пор мы рассматривали функции, значения которых зависят от значений одной переменной. При рассмотрении многих вопросов естествознания приходится иметь дело с такими зависимостями между переменными величинами, в которых числовые значения одной из них определяются значениями нескольких других. Так, например, площадь прямоугольника со сторонами, длины которых равны 
и 
, определяется значениями двух переменных и , а объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами 
-- значениями трех переменных . Примеров таких зависимостей можно привести много.
I Понятие функции двух и более переменных, область определения функции
Определение. Совокупность упорядоченных пар действительных чисел 
называется двумерным координатным пространством, где - первая координата, - вторая координата точки 
этого пространства.
Если расстояние между двумя точками 
и 
определяется по формуле 
, то это двумерное пространство называется евклидовым пространством и обозначается 
(вся плоскость XOY). Аналогично определяются трехмерное евклидово пространство 
, …, 
- n-мерное евклидово пространство.
Определение функции двух переменных.
Если каждой точке множества 
по некоторому правилу 
ставится в соответствие одно вполне определенное действительное число 
, то говорят, что на множестве 
определена числовая функция двух переменных и пишут 
или 
. Множество называют областью определения функции .
Способы задания функции двух переменных, как и в случае одной переменной, могут быть различными. В примерах мы будем использовать аналитический способ задания, когда функция задается с помощью формулы. Областью определения функции в этом случае считается множество всех точек плоскости, для которых эта формула имеет смысл.
Рассмотрим примеры функций двух переменных.
1. 
. Область определения этой функции – множество , то есть вся плоскость XOY.
2. 
. Областью определения данной функции является множество всех точек, для которых выражение 
определено, то есть множество точек, для которых 
, или 
. Множество всех таких точек образует
круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице.
3. 
. Область определения этой функции – множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству 
, то есть множество точек, лежащих вне круга радиуса 1 и с центром в начале координат.
Если вместо множества точек плоскости взять множество точек пространства, в котором каждая точка имеет три координаты , то аналогично можно дать определение функции трех переменных 
или 
. Областью определения функции трех переменных является все трех мерное пространство или его часть. Аналогично можно ввести понятие функций четырех и вообще n переменных 
. Однако области определения таких функций уже не имеют наглядного геометрического истолкования.
Заметим, что между функциями одной и функциями нескольких переменных имеются существенные различия. В то же время, переход от двух переменных к большему их числу, как правило, не представляет затруднений. Поэтому обычно мы будем подробно рассматривать только случай функций двух переменных.