Перенесем на функции нескольких переменных основные понятия дифференциального исчисления функций одной переменной, а, именно, понятия производной и дифференциала. Для функций нескольких переменных придется определять несколько производных, точнее, столько производных, сколько независимых переменных у данной функции.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки
. Придадим переменной
приращение
, а значение переменной
менять не будем, то есть перейдем на плоскости от точки
к точке
(
таково, что точка
принадлежит окрестности точки М). При этом значение функции
также изменится. Назовем это изменение частным приращением функции
по переменной
:
.
Аналогично можно составить частное приращение по переменной :
.
Определение. Если существует конечный предел
,
то он называется частной производной по переменной (по переменной
) от функции
в точке
.
Частные производные обозначаются одним из следующих символов: , или
, или
, или
. Если нужно явно указать, в какой точке вычислена частная производная, то пишут, например, так:
, или
.
Из определения следует, что частная производная функции двух переменных равна обычной производной функции одной переменной, полученной при условии, что вторая независимая переменная сохраняет постоянное значение. Следовательно, правила и формулы отыскания частных производных те же, что и правила и формулы обычных производных функций одной переменной.
Найти частные производные следующих функций:
Пример 1. .
Функция определена в области . Фиксируя переменную
, находим частную производную по переменной
:
.
Фиксируя переменную , получаем частную производную по переменной
:
.
Пример 2. .
Функция определена при условии . Фиксируя переменную
, находим частную производную по переменной
:
.
Фиксируя переменную , получаем частную производную по переменной
:
.
Пример 3. . Доказать, что
.
Функция определена при . Найдем частные производные:
.
.
Проверим, справедливо ли равенство, для этого вычислим величину выражения , подставив туда найденные частные производные:
,
то есть действительно равенство верно.
Пример 4. . Доказать, что
.
Функция определена при .
. Вычислим:
.
Следовательно, равенство верно.
Можно ввести понятие частной производной порядка выше первого. Так как частные производные и
какой-либо функции двух переменных
сами являются, вообще говоря, функциями двух переменных, то от них опять можно брать частные производные по
и
. Результат дифференцирования называется частной производной второго порядка (или просто второй частной производной). Если от
взять частную производную по
, то есть вычислить
, то результат обозначается
или
. От частной производной
можно взять частную производную по
:
. Результат дифференцирования называется смешанной частной производной второго порядка и обозначается:
или
.
Таким же образом можно вычислить частные производные второго порядка и
, полученные от дифференцирования частной производной
по
и по
соответственно.
Справедливо утверждение: если смешанные частные производные, отличающиеся порядком дифференцирования, непрерывны, то они не зависят от порядка дифференцирования, то есть .
Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции .
Найдем частные производные первого порядка:
;
.
Находим частные производные от этих:
;
;
.
Так как смешанная производная второго порядка непрерывна на , то она не зависит от порядка дифференцирования, то есть
.
Можно определить и производные более высоких порядков. Так для функции можно написать восемь частных производных третьего порядка:
(или
),
, шестнадцать частных производных четвертого порядка и так далее.
Если рассматривать функцию трех переменных , то для нее имеем три частные производные первого порядка
, девять частных производных второго порядка
и так далее.
Заметим, что смешанные производные любого порядка при условии их непрерывности не зависят от порядка дифференцирования, например .