Лабораторная работа № 3
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ОБРАТНОЙ
СВЯЗЬЮ
Методические указания
Устойчивость САУ является одним из основных условий ее работоспособности и включает требование затухания во времени переходных процессов.
Система является устойчивой, если при ограниченном входном сигнале её выходной сигнал также является ограниченным. Если система устойчива, то она противостоит внешним воздействиям, а выведенная из состояния равновесия возвращается снова к нему.
Система с расходящимся переходным процессом будет неустойчивой и неработоспособной.
Одним из первых свойства устойчивости были исследованы русским ученым А. М. Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости движения». Необходимое и достаточное условие устойчивости заключается в том, чтобы все корни характеристического уравнения (полюсы передаточной функции системы) имели отрицательные вещественные части. Иначе говоря, условием устойчивости системы является расположение всех полюсов в левой комплексной полуплоскости. Тогда все полюсы будут давать затухающую реакцию.
Выше сформулированное условие устойчивости справедливо как для линейных, так и для линеаризованных систем. Однако в случае
нулевых или чисто мнимых корней характеристического уравнения
вопрос об устойчивости линеаризованной системы может быть решен только на основании исследования ее нелинейных уравнений.
В конце XIX и первой половине XX в. задача вычисления корней
характеристического уравнения высокого порядка вызывала большие проблемы. Поэтому были предложены несколько косвенных методов оценки устойчивости, позволяющих обойтись без вычисления корней – по значениям коэффициентов характеристического уравнения.
|
|
Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частотные. В частности, к алгебраическим критериям относится критерий
Гурвица, к частотным критерия – критерий Найквиста.
Критерий Гурвица является алгебраическим критерием и применяется к коэффициентам характеристического уравнения замкнутой системы.
Пусть имеется характеристическое уравнение замкнутой системы:
a0sn + a1sn-1 + …+ an-1s + an = 0
Из коэффициентов характеристического уравнения составляют
определитель по правилу:
1. По диагонали записываются коэффициенты от а 1 до а n.
2. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами.
3. В случае отсутствия индекса, а также, если он меньше 0 или
больше n, на его место пишется 0.
Таким образом, определитель Гурвица приобретает следующий вид:
Δn = 
Критерий устойчивости формулируется так:
Чтобы система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы
при a0 > 0 были положительными все n диагональных миноров, получаемых из определителя Гурвица.
Первые три минора определителя Гурвица имеют следующий вид:
Δ1 = a1; Δ2 = 
; Δ3 = 
; …….
Таким образом, критерий Гурвица позволяет судить об абсолютной устойчивости, но не дает возможности оценивать относительную устойчивость по корням характеристического уравнения.
Частотный критерий устойчивости Найквиста анализирует
|
|
АФЧХ разомкнутой системы.
Пусть имеется ПФ разомкнутой системы W (jω). Для нахождения вещественной и мнимой части частотной ПФ нужно освободиться от мнимости в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя на комплексную величину, сопряженную знаменателю, а затем выполнить разделение на вещественную и мнимую части.
Передаточная функция приобретает вид
Задаваясь различными значениями частоты, можно найти множество пар:
Затем по этим парам строится АФЧХ на комплексной плоскости.
Основные свойства АФЧХ разомкнутой системы:
1. Если разомкнутая система не имеет интегрирующих звеньев, то
при ω = 0 ее АФЧХ начинается на вещественной оси в точке P (ω) =K
(где K – коэффициент усиления разомкнутой системы). Заканчивается АФЧХ в начале координат при ω → ∞∞ (рис. 1, а).
2. Если разомкнутая система имеет одно интегрирующее звено, то ее
АФЧХ начинается при ω = 0 в бесконечности на отрицательной мнимой
полуоси, а заканчивается в начале координат при ω → ∞∞ (рис. 1, б).
Критерий устойчивости Найквиста формулируется так:
1. Если разомкнутая система устойчива, то для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты ω от 0 до ∞∞ не охватывала точку с координатами –1, j 0.
2. Если разомкнутая система неустойчива или находится на границе устойчивости, а ее передаточная функция имеет m полюсов справа от мнимой оси на комплексной плоскости, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты ω от – ∞∞до
|
|
+ ∞∞ охватывала m раз точку с координатами –1, j 0.
При использовании этого критерия нужно учитывать две особенности:
1. Если разомкнутая система находится на границе устойчивости, то ее АФЧХ уходит в бесконечность. Для проверки критерия Найквиста нужно мысленно соединить конец АФЧХ дугой бесконечно
большого радиуса с положительной вещественной полуосью.
2. На практике АФЧХ может строиться только для положительных частот (0 ≤ ω < + ∞). При применении критерия Найквиста считается, что ветвь АФЧХ для отрицательных частот симметрична относительно вещественной оси.
Для анализа устойчивости можно использовать не АФЧХ, а ЛАХ системы (для минимально)фазовых систем).
Система устойчива, если на частоте среза значение фазы не превышает – π. Соответственно для устойчивой системы можно рассматривать на ЛФЧХ запас устойчивости по фазе – расстояние от значения фазы на частоте среза до уровня – π, и запас устойчивости по амплитуде – расстояние от оси частот ЛАЧХ до значения усиления на частоте, где фаза становится равной – π.
Использование MatLab
Для проверки устойчивости САУ по Гурвицу постройте матрицу
Гурвица и найдите ее детерминант (функция det). Затем, последовательно уменьшая размер матрицы, найдите значения всех диагональных детерминантов.
Пример:
>> A=[1 14 18; 2 5 2; 3 4 3]
A =
1 14 18
2 5 2
3 4 3
>> det(A)
ans = -119
>> A1=A(1:2, 1:2)
A1 =
1 14
2 5
>> det(A1)
ans = - 23
Для проверки устойчивости САУ по Найквисту сначала нужно
выяснить, является ли устойчивой разомкнутая система.
Пример. Пусть дана передаточная функция разомкнутой системы
Рассмотрим реакцию на скачок:
>> w=tf([2 1],[2 3 2 3 1])
>> step(w)
График переходного процесса показан на рис. 2.
Разомкнутая система неустойчива, и, согласно критерию Найквиста, надо, чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку –1, j 0 столько раз, сколько полюсов имеется справа от мнимой оси. Для построения АФЧХ достаточно вызвать команду nyquist
>> nyquist(w)
Диаграмма Найквиста показана на рис. 3.
Как показывает рис. 3, АФЧХ ни разу не охватывает точку –1, j 0,
поэтому замкнутая система будет неустойчивой. Частотный критерий Найквиста можно использовать и в том случае, когда рассматривается не АФЧХ, а ЛАЧХ разомкнутой системы:
Замкнутая минимальнофазовая система устойчива, если при достижении ЛФЧХ значения – π ЛАЧХ будет отрицательной.
Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ, можно оценить запасы устойчивости
системы по амплитуде и по фазе с помощью команды
>> margin(w)
Пример:
>> w=tf([10],[2 2 3 1]);
>> margin(w)
Соответствующий график показан на рис. 4.
Задание на лабораторную работу
Выполнить исследование устойчивости замкнутой САУ по заданной
передаточной функции разомкнутой системы. Варианты заданий приведены в таблице.
Отчет должен содержать:
– краткие теоретические сведения;
– переходную функцию разомкнутой системы;
– расчет передаточной функции замкнутой системы;
– расчетные выражения для обоснования устойчивости замкнутой
системы по алгебраическому критерию Гурвица;
– годограф Найквиста разомкнутой системы, на основании которого
делается вывод об устойчивости замкнутой системы;
– переходную функцию замкнутой системы;
– проверку полученных результатов путем компьютерного моделирования переходных процессов разомкнутой и замкнутой системы в MatLab;
– выводы по всем полученным результатам.
s + 10
11 W = ------------------------------------------
s4 + 3s3 + 2s2 + 0,1s + 5
5s + 1
12 W = ------------------------------------------
s4 + 3s3 - 2s2 - 5,1s + 5