Если функция 
задана параметрически двумя уравнениями 
, 
, 
, то ее производные вычисляются по формулам:
, 
.
Пример1. Найти 
и 
, если функция 
задана параметрически: 
.
Решение. Последовательно находим производные: 
, 
; 
, 
;
, 
.
Пример 2.Написать уравнение касательной к кривой
в точке t0 = 
.
Р е ш е н и е. Уравнение касательной ищем в виде: у – у 0 = k (x – x 0 ),
где x 0 = t 0 cos t 0 – 2sin t 0 = – 2; у 0 = t 0 sin t 0 + 2 cos t 0= 
.
Найдем k = 
при t = t0. Так как 
= cos t – t sin t – 2 cos t =– t sin t– cos t, 
= sin t + t cos t–2 sin t= t cos t – sin t,
то 
, поэтомy k 
при t = и уравнение касательной имеет вид:
.
Дифференцирование неявных функций
Уравнение 
задает функцию неявно, на интервале 
, если для всех 
выполняется равенство 
.
Для вычисления производной функции 
следует продифференцировать по 
тождество , помня, что 
есть функция от x, а затем полученное уравнение разрешить относительно 
.
Пример 1. Найти значение производной в точке 
для функции, заданной неявно уравнением 
.
Решение. Дифференцируя по x обе части данного уравнения и считая при этом функцией от x, получаем:
,
откуда
.
Полагая x = 1, y = –1, находим 
.
Правило Лопиталя
При раскрытии неопределенностей 
, 
кроме классических методов вычисления пределов, во многих случаях можно пользоваться правилом Лопиталя:
Eсли 
или 
и существует предел отношения их производных 
, то 
.
Это правило справедливо и в случае 
.
Пример1. Применяя правило Лопиталя, найти пределы:
а) 
; б) 
; в) 
.
Решение. Убедившись, что имеет место случай 
или , применяем правило Лопиталя.
а) 
,
б) 
.
Здесь мы дважды применили правило Лопиталя и воспользовались первым замечательным пределом.
в) 
.
При раскрытии неопределенностей 
для применения правила Лопиталя, данное выражение, путем алгебраических преобразований, надо преобразовать к неопределенностям или .
|
|
Пример2. Найти пределы:
а) 
; б) 
.
Решение: а) Имеем неопределенность 
. Приведем эту неопределенность к неопределенности , а затем применим правило Лопиталя:
.
При раскрытии неопределенностей 
, 
, 
рекомендуется найти предварительно предел логарифма искомой функции.
Пример 3.Вычислить 
.
Решение. Имеем неопределенность . Введем обозначение
, тогда 
. 
.
Получили неопределенность , применяем правило Лопиталя:
. Так как 
. Следовательно 
.
Варианты заданий РГР
Задача1. Найти производные функций:
1. а) 
б) 
в) 
.
2. а) 
б) 
в) 
.
3. а) 
б) 
в) 
.
4. а) 
б) 
в) 
.
5. а) 
б) 
в) 
.
6. а) 
б) 
в) 
.
7. а) 
б) 
в) 
.
8. а) 
б) 
в) 
.
9. а) 
б) 
в) 
.
10. а) 
б) 
в) 
.
11. а) 
б) 
в) 
.
12. а) 
б) 
в) 
.
13. а) 
б) 
в) 
.
14. а) 
б) 
в) 
.
15.а) 
б) 
в) 
.
16. а) 
б) 
в) 
.
17. а) 
б) 
в) 
.
18. а) 
б) 
в) 
.
19. а) 
б) 
в) 
.
20. а) 
б) 
в) 
.
21. а) 
б) 
в) 
.
22. а) 
б) 
в) 
.
23. а) 
б) 
в) 
.
24. а) 
б) 
в) 
.
25. а) 
б) 
в) 
.
26 
б) 
в) 
.
27. а) 
б) 
в) 
.
28. а) 
б) 
в) 
.
29. а) 
б) 
в) 
.
30. а) 
б) 
в) 
.
Задача 2. Составить уравнение касательной к кривой, заданной параметрически, в точке, соответствующей значению параметра 
.
1. 
, 
.
2. 
, .
3. 
, 
.
4. 
, 
.
5. 
, 
.
6. 
, .
7. 
, 
.
8. 
, 
.
9. 
, .
10. 
, .
11. 
, .
12. 
, 
.
13. 
, .
14. 
, 
.
15. 
, .
16. 
, .
17. 
, .
18. 
, .
19. 
, 
.
20. 
, .
21. 
, .
22. 
, .
23. 
, .
24. , 
.
25. 
, .
26. 
, .
27. 
, .
28. 
, .
29. 
, 
.
30. 
, 
.
Задача 3. Найти значение в точке М (x0, y 0)для функций, заданных неявно.
1. x 3 – 2 x 2 y 2 + 5 x + y – 5 = 0, M (1; 1).
2. x 2 + 2 xy 2 + 3 y 4 –6 = 0, M (1; –1).
3. x 4 – 6 x 2 y 2 + 9 y 2 – 5 x 2 + 15 y 2 + 4 = 0, M (2; 1).
4. x 3 + y 3 – 3 xy + 1 = 0, M (–2;1).
5. 5 x 2 + 3 xy – 2 y 2 + 2 = 0, M (0; 1).
6. x 2 + y 2 – 4 x – 10 y + 19 = 0, M (3; 2).
7. x 3 + x 2 y + y 2 –13 = 0, M (1; 3).
8. x 3 – 2 x 2 + y 2 = 0, M (1; 1).
|
|
9. x 2 + 5 xy + y 2 – 2 x + y – 6 = 0, M (1; 1).
10. x 5 + y 5 – 2 xy = 0, M (1; 1).
11. x 2 + xy + y 2 = 7, M (–1; –2).
12. 2 x 3 – xy + y – 2 = 0, M (1; 5).
13. 3 x 2 – xy + y – 3 = 0, M (1; –2).
14. x 2 + 2 y 2 + 6 x – 4 y – 13 = 0, M (1; –1).
15. 3 x 2 – 5 y2 – 6 x – 20 y + 25 = 0, M (2; 1).
16. 4 x 2 + y 2 + 8 x – 4 y + 3 = 0, M (0; 1).
17. 2 x 2 – 9 y 2 + 4 x + 18 y + 11 = 0, M (2; –1).
18. x 3 – xy + y + 7 = 0, M (–1; –3).
19. x 4 – y 2 – y – 1 = 0, M (1; 0).
20. x 3 + 2 xy 2 + y + 11 = 0, M (–1; –2).
21. x 3 + 5 xy + y 3 – 7 = 0, M (1; 1).
22. 3 x 2 – xy + y 3 – x = 0, M (0; 2).
23. x 6 + y 6 – 2 xy = 0, M (1; 1).
24. x 2 + x 2 y – y 2 – y = 0, M (1; 1).
25. 7 x 2 + xy – y 3 + 3 = 0, M (1; –2).
26. x 2 y 2 + xy + x 2 – 7 = 0, M (1; 2).
27. 2 x 5 + y 5 – 2 xy + 26 = 0, M (1; –2).
28. 3 x 2 – xy + y 2 + x – 34 = 0, M (–2; 4).
29. x 2 – x 2 y + y 2 = 13, M (–1; –3).
30. x 2 y 2 – 4 y 3 – x = 4, M (0; –1).
Задача 4. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.
1. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
2. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
3. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
4. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
5. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
6. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
7. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
8. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
9. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
10. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
11. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
12. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
13. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
14. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
15. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
16. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
17. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
18. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
19. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
20. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
21. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
22. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
23. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
24. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
25. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
26. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
27. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
28. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
29. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.
30. а) 
; в) 
;
б) 
; г) 
.