Если функция задана параметрически двумя уравнениями
,
,
, то ее производные вычисляются по формулам:
,
.
Пример1. Найти и
, если функция
задана параметрически:
.
Решение. Последовательно находим производные: ,
;
,
;
,
.
Пример 2.Написать уравнение касательной к кривой
в точке t0 =
.
Р е ш е н и е. Уравнение касательной ищем в виде: у – у 0 = k (x – x 0 ),
где x 0 = t 0 cos t 0 – 2sin t 0 = – 2; у 0 = t 0 sin t 0 + 2 cos t 0= .
Найдем k = при t = t0. Так как
= cos t – t sin t – 2 cos t =– t sin t– cos t,
= sin t + t cos t–2 sin t= t cos t – sin t,
то
, поэтомy k
при t =
и уравнение касательной имеет вид:
.
Дифференцирование неявных функций
Уравнение задает функцию
неявно, на интервале
, если для всех
выполняется равенство
.
Для вычисления производной функции следует продифференцировать по
тождество
, помня, что
есть функция от x, а затем полученное уравнение разрешить относительно
.
Пример 1. Найти значение производной в точке для функции, заданной неявно уравнением
.
Решение. Дифференцируя по x обе части данного уравнения и считая при этом функцией от x, получаем:
,
откуда
.
Полагая x = 1, y = –1, находим .
Правило Лопиталя
При раскрытии неопределенностей ,
кроме классических методов вычисления пределов, во многих случаях можно пользоваться правилом Лопиталя:
Eсли или
и существует предел отношения их производных
, то
.
Это правило справедливо и в случае .
Пример1. Применяя правило Лопиталя, найти пределы:
а) ; б)
; в)
.
Решение. Убедившись, что имеет место случай или
, применяем правило Лопиталя.
а) ,
б) .
Здесь мы дважды применили правило Лопиталя и воспользовались первым замечательным пределом.
в) .
При раскрытии неопределенностей для применения правила Лопиталя, данное выражение, путем алгебраических преобразований, надо преобразовать к неопределенностям
или
.
|
Пример2. Найти пределы:
а) ; б)
.
Решение: а) Имеем неопределенность . Приведем эту неопределенность к неопределенности
, а затем применим правило Лопиталя:
.
При раскрытии неопределенностей ,
,
рекомендуется найти предварительно предел логарифма искомой функции.
Пример 3.Вычислить .
Решение. Имеем неопределенность . Введем обозначение
, тогда
.
.
Получили неопределенность , применяем правило Лопиталя:
. Так как
. Следовательно
.
Варианты заданий РГР
Задача1. Найти производные функций:
1. а) б)
в) .
2. а) б)
в) .
3. а) б)
в) .
4. а) б)
в) .
5. а) б)
в) .
6. а) б)
в) .
7. а) б)
в) .
8. а) б)
в) .
9. а) б)
в) .
10. а) б)
в) .
11. а) б)
в) .
12. а) б)
в) .
13. а) б)
в) .
14. а) б)
в) .
15.а) б)
в) .
16. а) б)
в) .
17. а) б)
в) .
18. а) б)
в) .
19. а) б)
в) .
20. а) б)
в) .
21. а) б)
в) .
22. а) б)
в) .
23. а) б)
в) .
24. а) б)
в) .
25. а) б)
в) .
26 б)
в) .
27. а)
б)
в) .
28. а) б)
в) .
29. а) б)
в) .
30. а) б)
в) .
Задача 2. Составить уравнение касательной к кривой, заданной параметрически, в точке, соответствующей значению параметра .
1. ,
.
2. ,
.
3. ,
.
4. ,
.
5. ,
.
6. ,
.
7. ,
.
8. ,
.
9. ,
.
10. ,
.
11. ,
.
12. ,
.
13. ,
.
14. ,
.
15. ,
.
16. ,
.
17. ,
.
18. ,
.
19. ,
.
20. ,
.
21. ,
.
22. ,
.
23. ,
.
24. ,
.
25. ,
.
26. ,
.
27. ,
.
28. ,
.
29. ,
.
30. ,
.
Задача 3. Найти значение в точке М (x0, y 0)для функций, заданных неявно.
1. x 3 – 2 x 2 y 2 + 5 x + y – 5 = 0, M (1; 1).
2. x 2 + 2 xy 2 + 3 y 4 –6 = 0, M (1; –1).
3. x 4 – 6 x 2 y 2 + 9 y 2 – 5 x 2 + 15 y 2 + 4 = 0, M (2; 1).
4. x 3 + y 3 – 3 xy + 1 = 0, M (–2;1).
5. 5 x 2 + 3 xy – 2 y 2 + 2 = 0, M (0; 1).
6. x 2 + y 2 – 4 x – 10 y + 19 = 0, M (3; 2).
7. x 3 + x 2 y + y 2 –13 = 0, M (1; 3).
8. x 3 – 2 x 2 + y 2 = 0, M (1; 1).
|
9. x 2 + 5 xy + y 2 – 2 x + y – 6 = 0, M (1; 1).
10. x 5 + y 5 – 2 xy = 0, M (1; 1).
11. x 2 + xy + y 2 = 7, M (–1; –2).
12. 2 x 3 – xy + y – 2 = 0, M (1; 5).
13. 3 x 2 – xy + y – 3 = 0, M (1; –2).
14. x 2 + 2 y 2 + 6 x – 4 y – 13 = 0, M (1; –1).
15. 3 x 2 – 5 y2 – 6 x – 20 y + 25 = 0, M (2; 1).
16. 4 x 2 + y 2 + 8 x – 4 y + 3 = 0, M (0; 1).
17. 2 x 2 – 9 y 2 + 4 x + 18 y + 11 = 0, M (2; –1).
18. x 3 – xy + y + 7 = 0, M (–1; –3).
19. x 4 – y 2 – y – 1 = 0, M (1; 0).
20. x 3 + 2 xy 2 + y + 11 = 0, M (–1; –2).
21. x 3 + 5 xy + y 3 – 7 = 0, M (1; 1).
22. 3 x 2 – xy + y 3 – x = 0, M (0; 2).
23. x 6 + y 6 – 2 xy = 0, M (1; 1).
24. x 2 + x 2 y – y 2 – y = 0, M (1; 1).
25. 7 x 2 + xy – y 3 + 3 = 0, M (1; –2).
26. x 2 y 2 + xy + x 2 – 7 = 0, M (1; 2).
27. 2 x 5 + y 5 – 2 xy + 26 = 0, M (1; –2).
28. 3 x 2 – xy + y 2 + x – 34 = 0, M (–2; 4).
29. x 2 – x 2 y + y 2 = 13, M (–1; –3).
30. x 2 y 2 – 4 y 3 – x = 4, M (0; –1).
Задача 4. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.
1. а) ; в)
;
б) ; г)
.
2. а) ; в)
;
б) ; г)
.
3. а) ; в)
;
б) ; г)
.
4. а) ; в)
;
б) ; г)
.
5. а) ; в)
;
б) ; г)
.
6. а) ; в)
;
б) ; г)
.
7. а) ; в)
;
б) ; г)
.
8. а) ; в)
;
б) ; г)
.
9. а) ; в)
;
б) ; г)
.
10. а) ; в)
;
б) ; г)
.
11. а) ; в)
;
б) ; г)
.
12. а) ; в)
;
б) ; г)
.
13. а) ; в)
;
б) ; г)
.
14. а) ; в)
;
б) ; г)
.
15. а) ; в)
;
б) ; г)
.
16. а) ; в)
;
б) ; г)
.
17. а) ; в)
;
б) ; г)
.
18. а) ; в)
;
б) ; г)
.
19. а) ; в)
;
б) ; г)
.
20. а) ; в)
;
б) ; г)
.
21. а) ; в)
;
б) ; г)
.
22. а) ; в)
;
б) ; г)
.
23. а) ; в)
;
б) ; г)
.
24. а) ; в)
;
б) ; г)
.
25. а) ; в)
;
б) ; г)
.
26. а) ; в)
;
б) ; г)
.
27. а) ; в)
;
б) ; г)
.
28. а) ; в)
;
б) ; г)
.
29. а) ; в)
;
б) ; г)
.
30. а) ; в)
;
б) ; г)
.