Декартова система координат

3.2.1. Скорость точки при координатном способе задания движения

Декартова система координат

Пусть движение точки задано в декартовой системе координат, принятой за неподвижную, т.е. пусть заданы координаты точки как функции времени

, , .

Согласно выражению (3.6) имеем .

Так как единичные векторы выбранной системы координат постоянны, то на основании формулы (3.9) получаем

.

Рис. 3.8.

На рис. 3.8 показано разложение скорости на составляющие по осям координатной системы Oxyz. Таким образом, проекции скорости , , на координатные оси будут , , .

т.е. проекция скорости точки на координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей этой оси координаты.

Полярные координаты

Введем в рассмотрение единичные векторы: , направленный по радиусу-вектору в сторону возрастания , и , повернутый относительно на угол в сторону возрастания угла (рис. 3.9). Единичные векторы и могут быть представлены через единичные векторы координатных осей:

,

.

Рис.3.9.

Рис. 3.10.

Производные по времени от единичных векторов , определяются соотношениями

, (3.12)

. (3.13)

Радиус-вектор , определяющий положение точки, может быть представлен в виде (рис. 3.9). При движении точки меняются как модуль, так и направление радиуса-вектора , следовательно, и , и являются функциями времени. На основании равенства (3.9) имеем

.

Используя соотношение (3.12), будем иметь

.

Полученная формула дает разложение вектора скорости на две взаимно перпендикулярные составляющие: радиальную и поперечную (рис. 3.10).

Проекции скорости на радиальное и поперечное направления

и (3.14)

называются соответственно радиальной и поперечной скоростями. Модуль скорости находится по формуле

. (3.15)

3.2.2. Скорость точки при естественном способе задания движения. Пусть точка М движется по какой-либо кривой (рис. 3.11). За промежуток времени точка переместится по кривой из положения М в положение М ₁. Дуга , если движение точки происходит в сторону положительного отсчета дуги (рис. 3.11 а), и , если движение происходит в противоположную сторону (рис. 3.11 б). На основании (3.9)
имеем .

Перепишем это равенство в виде

.

Так как предел отношения дуги к стягивающей ее хорде равен по модулю единице, а предельное положение секущей ММ ₁совпадает с направлением касательной к кривой в точке М, то

,

где – единичный вектор касательной к кривой, направленный в сторону положительного отсчета дуги.

Рис. 3.11.

Действительно, если , то вектор направлен в сторону (см. рис. 3.11 а), а при вектор направлен в сторону, противоположную (см. рис. 3.11 б). В обоих случаях этот вектор, а следовательно, и его предел , направлены в сторону возрастания дуги (на рис. 3.11 положительное направление отсчета дуги выбрано вправо от начала отсчета М ₀).

Учитывая, что ,

имеем . (3.16)

Обозначая , получим

. (3.17)

Из формулы (3.17) следует, что . Очевидно, что , если движение происходит в сторону положительного отсчета дуги, и , если движение происходит в противоположную сторону.

Так как проходимый точкой путь всегда положителен, то элемент пути

и, следовательно, модуль скорости можно определить по формуле

.

Ускорение точки

Рис. 3.12.

Предположим, что в момент времени скорость точки равна , а в момент времени будет (рис. 3.12). Приращение вектора скорости за промежуток времени найдем как разность векторов и ,

параллельно перенося вектор в точку М ₁

.

Отношение

называется средним ускорением точки за промежуток времени .

Ускорением точки в данный момент времени называется предел отношения приращения скорости к приращению времени при условии, что последнее стремится к нулю, т.е.

Декартова система координат

Пусть движение точки задано в прямоугольной системе координат:

, , .

Представляя вектор скорости точки в виде

,

на основании (3.18) будем иметь

,

где

, (3.19)

т.е. проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей проекции скорости точкии второй производной по времени от соответствующей координаты точки.

Полярные координаты

Пусть координаты точки заданы как функции времени

Согласно (3.14) имеем .

На основании (3.18) получим

,

но так как , ,

то .

Отсюда находим проекции ускорения на радиальное и поперечное направления

(9.22)

Модуль и направление вектора ускорения определяются по формулам

,

3.3.2. Ускорение при естественном способе задания движения

Предварительно познакомимся с необходимыми сведениями из дифференциальной геометрии. Рассмотрим пространственную кривую. Пусть – единичный вектор касательной, проведенной в какой-либо

Рис. 3.13.

точке М этой кривой (рис. 3.13). Возьмем теперь на кривой точку М ₁, близкую к точке М, и обозначим единичный вектор касательной в этой точке через . Параллельно перенеся вектор в точку М, проведем плоскость через векторы и приложенные в точке М.

При стремлении точки М ₁к точке М эта плоскость в пределе займет определенное положение. Полученную таким образом плоскость называют соприкасающейся плоскостью в точке М. Отметим, что если рассматриваемая кривая плоская, то она целиком будет расположена в соприкасающейся плоскости.

Плоскость, проведенную через точку М перпендикулярно касательной, называют нормальной плоскостью. Линия пересечения соприкасающейся и

нормальной плоскостей определяет главную нормаль к кривой в точке М. Плоскость, проведенную через точку М перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью. На рис. 3.14 соприкасающаяся,

Рис. 3.14.

нормальная и спрямляющая плоскости обозначены соответственно цифрами I, II и III.

Линия пересечения спрямляющей и нормальной плоскостей определяет бинормаль ккривой.

Таким образом, в каждой точке кривой можно указать три взаимно перпендикулярных направления: касательной, главной нормали и бинормали. Принимая эти направления за координатные оси, введем единичные векторы этих осей.

Единичный вектор касательной нами уже был введен. Единичный вектор , направленный в сторону вогнутости кривой, будет единичным вектором главной нормали. Направление единичного вектора бинормали определим из требования, чтобы касательная, главная нормаль и бинормаль, направления которых определяются векторами , , , образовывали правую систему осей, т.е. Полученный трехгранник, составленный из соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей, называется естественным трехгранником. Векторы , , являются единичными векторами осей естественного трехгранника (рис. 3.14).

Обозначим через величину угла между вектором , проведенным в точке М, и вектором , проведенным в точке М ₁, близкой к точке М. Этот угол называется углом смежности (рис. 3.15 а).

Рис. 3.15.

Кривизной кривой в точке М называют предел отношения угла смежности к абсолютному значению длины дуги , т.е.

. (3.23)

Радиусом кривизны кривой в точке М называется величина, обратная кривизне

. (3.24)

Вектор скорости согласно выражению (3.17) можно представить в виде

.

На основании формулы (3.18) имеем

. (9.25)

Определим величину и направление вектора .

Пусть в момент времени точка находится в положении М на траектории, а в момент времени – в положении М ₁. Перенося вектор их в точку М, найдем приращение вектора за промежуток времени (рис. 3.15 а)

.

Вектор при движении точки в сторону положительного отсчета дуги направлен в сторону вогнутости траектории (рис. 3.15 а), а при движении точки в сторону отрицательного отсчета дуги направлен в сторону выпуклости траектории (рис. 3.15 б). Найдем производную вектора :

.

Вектор всегда направлен в сторону вогнутости траектории (см. рис. 3.15 а и б) и лежит в плоскости, проходящей через точку М и векторы и (плоскость МАВ). Следовательно, вектор лежит в соприкасающейся плоскости, т.к. при плоскость МАВ совпадает с соприкасающейся плоскостью к траектории в точке М.

Дифференцируя тождество по , получим

,

т.е. скалярное произведение на равно нулю, а это значит, что вектор перпендикулярен . Таким образом, вектор лежит в соприкасающейся плоскости, направлен в сторону вогнутости траектории и перпендикулярен ; следовательно, он направлен по главной нормали к центру кривизны.

Определим теперь модуль вектора . Из равнобедренного треугольника АМВ (см. рис. 3.15 а)найдем

или, используя равенства (3.23) и (3.24), получим

.

Учитывая, что есть единичный вектор главной нормали, будем иметь

.

Значит, ,

и, следовательно,

, (3.26)

т.к. .

Из этой формулы следует, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости.