Задание 1. Операции над матрицами

МАТРИЦЫ, ИХ ВИДЫ. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Справочный материал

Определение матрицы

Матрицей размерностью m x n (m - строк, n - столбцов) называют прямоугольную таблицу чисел

Обозначение матрицы

Матрицу обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, C, D, E,… X, Y, Z,… и кратко записывают так:

A = 1≤ i≤ m, 1≤ j ≤ n.

Нуль матрица

Нуль-матрица (нулевая матрица) O состоит из нулей.

Матрица-строка

Матрица-строка () имеет размерность 1 x n, а матрице-столбцу соответствует размерность m x 1.

Квадратная матрица

При m = n матрицу называют квадратной порядка n:

A =

Диагональная матрица

Диагональной D называют квадратную матрицу вида

D =.

Единичная матрица

Единичной E называют такую диагональную матрицу, для которой .

Умножение матрицы на число

При умножении матрицы , на число все элементы умножаются на это число: .

Сложение двух матриц

При сложении двух матриц одной размерности складываются соответствующие элементы этих матриц:

Свойства матриц

На основании определения указанных операций нетрудно установить их свойства:

1) A+B=B+A (переместительный закон сложения),

2) (A+B)+C=A+(B+C) (сочетательный закон),

3) A+0=A,

Умножение двух матриц

Рассмотрим две матрицы:

размерностью mp и размерностью p n такие, что число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B.

Для таких матриц определим их произведение:

Таким образом, элемент матрицы равен сумме парных произведений элементов i - й строки матрицы A и j- го столбца матрицы B.

· В тех случаях, когда произведение матриц определено, оно обладает следующими свойствами:

1) AB≠BA (переместительный закон, вообще говоря, не справедлив);

2) (A+B)C=AC+BC, C(A+B)=CA+CB (распределительные законы);

3) (AB)C=A(BC) (сочетательный закон).

· Для квадратной матрицы A и матрицы Е той же размерности справедливы равенства АЕ=ЕА=А.

Примеры решения задач

1. Даны две матрицы и B = .

Найти матрицу C = 3A-2В.

Решение. С=3А+(-2)В. Найдем матрицы

3А= и (-2)В=(-2).

Складывая эти матрицы, получим

С=

Ответ:

3. Найти матрицу АВ, если А = В=.

Решение. Применяя правило умножения матриц, получаем

АВ = =.

Если будет необходимо найти произведение ВА для заданного условия, то произведение ВА не определено, поскольку матрица В имеет три столбца, а матрица А - две строки.

Ответ: .

4. Даны матрицы А и В.

А= В=

Найти матрицу С=3А-2АВ+5Е.

Решение. При умножении матрицы на число все её элементы умножаются на это число, поэтому

ЗА=

Перемножим матрицы А и В, применив правило умножения матриц:

АВ=

Используя определение единичной матрицы Е, найдем матрицу 5Е:

5Е=5×

Применив правило сложения матриц, найдем матрицу С=3 А +(-2)× АВ +5 Е:

С=

Ответ:

5. В условиях задачи 4 найти матрицы АВ и ВА.

Решение. Матрица АВ найдена при решении задачи 4.

АВ =

Найдем матрицу ВА:

ВА=

При решении получилось: АВВА. Это не случайно, так как умножение матриц свойством коммутативности не обладает.

Ответ: АВ= ВА=

Упражнения для самостоятельного решения

9. Вычислить матрицу А², если

А=

10. Найти матрицу АВС+2А-5Е, если

А=, В= С=

11. Найти матрицы АВ и ВА, если А= В=

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ

Справочный материал

Каждой квадратной матрице A ставится в соответствие число | А |, называемое определителем. Понятие определителя связано с решением систем линейных уравнений.

Определитель матрицы второго порядка обозначается и вычисляется так:

Δ ₂=.

Определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей

1.Вычислить определитель 3-го порядка 1) по правилу Саррюса (правило треугольников). Это правило заключается в равенстве

Таким образом,

2) Второе правило вычисления Для квадратной матрицы

определитель третьего порядка определим так:

Δ ₃=|А|= - +. (1)

Равенство (1) называют разложением определителя третьего порядка по элементам первой строки. Для более компактной записи такого разложения вводят понятие алгебраического дополнения элемента определителя.

Минор элемента - это определитель, получаемый вычеркиванием

i -й строки и j -го столбца определителя Δ.

Например, M₁₁ =, M₂₃=.

Алгебраическое дополнение A_ij элемента определяется равенством

A_ij=.

Например, A₁₁= , A₂₃= - .

Знаки алгебраических дополнений символически изобразим так: .

На основании понятия алгебраического дополнения выражение (1) запишем в следующем виде:

Δ = =.

Нетрудно убедиться, что таким же образом определитель можно разложить по элементам любой строки или любого столбца.

Например, Δ = или

Δ = .

Определитель

разложим по элементам третьего столбца, т.е.

Как видно из приведенных примеров, вычисление определителей значительно упрощается, если какой-нибудь ряд определителя имеет только один элемент, отличный от нуля. Это можно всегда достигнуть, используя свойства определителей. В определителе

умножим первую строку на 2 и прибавим ко второй, прибавим первую строку к третьей, получим

Примеры решения задач

15. Вычислить определители:

а) , б) в) г)

Решение:

а) .

б) .

в) Разложим определитель по элементам первой строки:

Δ =

=12-15-2×(-8-25)+3×(-6-15) = -3+66-63=0.

Используя свойство 10, вычисление определителя можно упростить. Для этого в какой-либо строке (столбце) сделаем два нуля: первый столбец последовательно умножим сначала на (-2), затем на (-3) и прибавим ко второму и третьему столбцам соответственно:

D= в силу свойства 3, так как элементы второго и третьего столбцов пропорциональны.

г) Разложим определитель по элементам первого столбца:

17. Решить уравнения:

а) , б) ,

в) , г) , д) =0.

Решение:

а) Раскроем определитель второго порядка в левой части уравнения:

, ;

, -11x=2,

б)

в) ,

г)

д) Умножив элементы первого столбца на (-3), прибавим их к соответствующим элементам второго столбца и получим

Вынесем из второго столбца (-7) и затем сократим на (-7) обе части уравнения:

Разложим определитель по элементам первой строки:

Ответ: а) б)±2; в) x₁= -, x₂= г)3; д)-3.

2.3. Упражнения для самостоятельного решения

19. Вычислить определители:

20. Вычислить определитель матрицы А:

А=.

21. Решить уравнения:

а) б) в) .

22. Решить неравенства:

а) б) > 0.

3. СИСТЕМЫЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ФОРМУЛЫКРАМЕРА

Справочный материал

Не ограничивая общности рассуждений, рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

(2)

Введем главный определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных

. (3)

Если D¹0, то система (2) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

(4)

где определитель получен из D (3) заменой в нем столбца коэффициентов при столбцом свободных членов.

Примеры решения задач

23. Решить системы, применив формулы Крамера:

а) б)

Решение:

а) Определитель системы

D=

Вычислим определители: заменяем в D первый столбец

.

Тогда

б) Вычислим определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных:

D =.

Умножим элементы третьего столбца на (-2) и прибавим к элементам первого, а затем умножим на 3 и прибавим к элементам второго столбца.

D=.

Разложим этот определитель по элементам первой строки и получим

D =.

Вычислим определитель , заменив в определителе D первый столбец (коэффициентов при ) столбцом свободных членов.

Аналогично находим:

Для вычисления к первой строке прибавим вторую, умноженную на

(-2), и к третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-4).

На основании формул Крамера (4) находим решение системы:

Ответ: а) x₁ =1, x₂ = -1; б) x₁= 5, x₂ = 6, x₃= 10.

24. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех видов. Необходимые характеристики производства указаны в табл. 3. Определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.

Таблица 3

Вид сырья Расход сырья по видам продукции, вес. ед. изд. Запас сырья, вес. ед.

Решение. Пусть x_i - объем выпуска продукции i -го вида, i =1, 2, 3. При условии полного расхода запасов каждого вида сырья составим балансовые соотношения:

Вычислим определитель этой системы:

D ¹0, поэтому систему можно решить, применив формулы Крамера.

Тогда

Ответ: При заданных запасах сырья объемы выпуска продукции по каждому виду составят соответственно 150, 250 и 100 условных единиц.

3.3. Упражнения для самостоятельного решения

Решить системы линейных уравнений:

25. 26. 27.

28.

30. Фабрика специализируется на выпуске изделий трех видов, используя при этом сырье трех видов S₁, S₂, S₃. Нормы расхода каждого из них на одно изделие и объем расхода сырья на 1 день задаются табл. 4.

Таблица 4

Вид сырья Нормы расхода сырья на... изделие, усл. ед. Расход сырья на один день, усл. ед.

I изделие II изделие III изделие

S₁

S₂

S₃

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида изделия.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Контрольная работа № 1

Задание 1. Операции над матрицами

91 – 100. Даны матрицы А и В. В №№ 91 - 95 найти матрицу С;

в №№ 96 - 100 найти матрицы АВ и ВА.

91. А =

92. А =

93. А =

94. А =

95. А =

96. А = .

97. А =

98. А =

99. А =

100. А =

Задание 3. Решение систем линейных уравнений методами Крамера и матричным

111 - 120. Решить систему линейных уравнений, применив формулы Крамера

111. 112.

113. 114.

115. 116.

117. 118.

119. 120.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Вариант 1

1. Решить уравнение .

2. Решить систему

3. Вычислить .

4. Решить систему по формулам Крамера:

5. Найти матрицу С=АВ-2А+Е, если даны матрицы А и В:

А =

7. Решить систему матричным методом:

8. Решить систему методом Гаусса и Жордана - Гаусса:

Вариант 2

1. Решить уравнение .

2. Решить систему

3. Вычислить

4. Решить систему по формулам Крамера.

5. Найти матрицу С=2А-АВ+4Е, если

А =

6. А = Найти матрицу А . Показать, что АА=Е.

7. Решить систему матричным методом:

8. Решить систему методом Гаусса и Жордана - Гаусса:

Вариант 3

1. Решить уравнение

2. Решить систему

3. Вычислить

4. Решить систему по формулам Крамера:

5. А = Найти АВ и ВА.

6. А = Найти матрицу А . Показать, что АА

7. Решить систему матричным методом:

8. Решить систему методом Гаусса и Жордана-Гаусса:

Вариант 4

1. Решить уравнение

2. Решить систему

3. Вычислить

4. Решить систему по формулам Крамера:

5. А = Найти АВ и ВА.

6. А = Найти матрицу Показать, что АА=Е.

7. Решить систему матричным методом:

8. Решить систему методом Гаусса и Жордана - Гаусса:

Вариант 5

1. Решить уравнение

2. Решить систему

3. Вычислить

4. Решить систему по формулам Крамера:

5. A = Найти АВ и ВА.

6. А = Найти матрицу А^-1. Показать, что АА^-1=Е.

7. Решить систему матричным методом:

8. Решить систему методом Гаусса и Жордана-Гаусса:

Вариант 6

1. Решить уравнение

2. Решить систему

3. Вычислить

4. Решить систему по формулам Крамера:

5. А = Найти АВ и ВА.

6. А = Найти матрицу А^-1. Показать, что АА^-1=Е.

7. Решить систему матричным методом:

8. Решить систему методом Гаусса и Жордана - Гаусса:

Вариант 7

1. Решить неравенство > 0.

2. Решить систему

3. Вычислить

4. Решить систему по формулам Крамера:

5. А = Найти АВ и ВА.

6. А = Найти матрицу А . Показать, что АА=Е.

7. Решить систему матричным методом:

8. Решить систему методом Гаусса и Жордана - Гаусса:

Вариант 8

1. Решить неравенство > 5.

2. Решить систему

3. Вычислить определитель двумя способами:

4. Решить систему по формулам Крамера:

5. А = Найти АВ и ВА.

6. А =Найти матрицу А Показать, что АА=Е.

7. Решить систему матричным методом:

8. Решить систему методом Гаусса и Жордана - Гаусса:

Вариант 9

1. Решить неравенство < 0.

2. Решить систему

3. Вычислить определитель двумя способами:

4. Решить систему по формулам Крамера:

5. А = Найти АВ и ВА.

6. А =. Найти матрицу А/ Показать, что АА=Е.

7. Решить систему матричным методом:

8. Решить систему методом Гаусса и Жордана - Гаусса:

Вариант 10

1. Решить неравенство <14.

2. Решить систему

3. Вычислить

4. Решить систему по формулам Крамера:

5. А = В = Найти АВ и ВА.

6. Найти матрицу А . Показать, что АА=Е.

7. Решить систему матричным методом:

8. Решить систему методом Гаусса и Жордана - Гаусса:

Вариант 16

1. Вычислить .

2. Решить систему

3. Вычислить .

4. Решить систему по формулам Крамера:

5. A = B = Найти АВ и ВА.

6. А = . Найти матрицу А . Показать, что АА=Е.

7. Решить систему матричным методом:

8. Решить систему методом Гаусса и Жордана – Гаусса:

Вариант 17

1. Решить уравнение

2. Решить систему

3. Вычислить .

4. Решить систему по формулам Крамера:

5. А = , В = . Найти АВ и ВА.

6. А = . Найти матрицу А. Показать, что АА=Е.

7. Решить систему матричным методом:

8. Решить систему методом Гаусса и Жордана – Гаусса:

Задание 1. Операции над матрицами

Поиск по сайту