Составим систему уравнений:
Найдем коэффициенты уравнения в программе Excel. Сервис – Анализ данных – Регрессия.
Таблица 6 - Результат регрессионного анализа
Таким образом, теоретическое уравнение множественной регрессии имеет вид:
Коэффициенты регрессии приведены в столбце“Коэффициенты”таблицы 6.
2.2 Оценим адекватность построенной модели по критерию:
- случайности остаточной компоненты по критерию пиков.
Таблица 7 - Расчет адекватности модели
t | E(t) | E2(t) | E(t)-E(t-1) | [E(t)-E(t-1)]2 | E(t)*E(t-1) | |E(t)/Y(t)|*100 % |
5,366 | 28,797 | - | - | - | 4,67 | |
20,688 | 427,992 | 15,322 | 234,753 | 111,018 | 24,34 | |
16,024 | 256,759 | -4,664 | 21,755 | 331,498 | 23,22 | |
13,226 | 174,931 | -2,798 | 7,826 | 211,932 | 23,20 | |
-39,508 | 1560,877 | -52,734 | 2780,886 | -522,539 | 21,40 | |
-14,364 | 206,337 | 25,144 | 632,196 | 567,509 | 25,65 | |
16,313 | 266,114 | 30,677 | 941,104 | -234,327 | 19,19 | |
-86,156 | 7422,888 | -102,469 | 10499,931 | -1405,465 | 32,51 | |
21,363 | 456,388 | 107,519 | 11560,427 | -1840,575 | 35,22 | |
-0,615 | 0,378 | -21,978 | 483,030 | -13,132 | 0,47 | |
-7,339 | 53,856 | -6,724 | 45,212 | 4,511 | 15,95 | |
-26,933 | 725,390 | -19,594 | 383,940 | 197,654 | 23,42 | |
11,907 | 141,772 | 38,840 | 1508,537 | -320,687 | 16,84 | |
6,790 | 46,110 | -5,116 | 26,177 | 80,853 | 17,19 | |
-23,607 | 557,291 | -30,397 | 924,006 | -160,303 | 29,92 | |
27,335 | 747,209 | 50,942 | 2595,100 | -645,300 | 45,56 | |
21,990 | 483,571 | -5,345 | 28,568 | 601,106 | 21,99 | |
31,349 | 982,781 | 9,359 | 87,592 | 689,380 | 61,47 | |
-10,559 | 111,498 | -41,909 | 1756,329 | -331,026 | 6,73 | |
37,382 | 1397,379 | 47,941 | 2298,319 | -394,721 | 30,27 | |
-11,036 | 121,793 | -48,418 | 2344,257 | -412,543 | 19,99 | |
20,032 | 401,293 | 31,068 | 965,239 | -221,076 | 20,98 | |
14,161 | 200,542 | -5,871 | 34,469 | 283,683 | 24,59 | |
31,914 | 1018,476 | 17,752 | 315,143 | 451,937 | 49,48 | |
15,733 | 247,517 | -16,181 | 261,821 | 502,086 | 17,10 | |
23,992 | 575,599 | 8,259 | 68,211 | 377,453 | 23,99 | |
13,194 | 174,070 | -10,798 | 116,599 | 316,535 | 25,87 | |
-103,514 | 10715,102 | -116,707 | 13620,600 | -1365,714 | 65,93 | |
-14,700 | 216,095 | 88,814 | 7887,857 | 1521,670 | 11,90 | |
-10,428 | 108,736 | 4,272 | 18,254 | 153,289 | 18,89 | |
Итого | 0,000 | 29827,542 | 62448,138 | -1465,294 | 757,95 |
Так как количество поворотных точек равно 20 (р = 20), то неравенство выполняется
p > 14; 20 > 14
Следовательно, свойство случайности выполняется.
- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (d1 = 1,08, d2 = 1,36) или по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого равен r(1) = 0,36.
Так как
, то уровни ряда остатков независимы.
Воспользуемся критерием по первому коэффициенту автокорреляции:
то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду остатков может быть принята, следовательно, свойство выполняется.
- Нормальности распределения относительной компоненты по R/S – критерию с критическими уровнями 2,7 – 4,8
Так как расчетное значение попадает в интервал, следовательно, свойство нормальности распределения выполняется.
Так как выполняются все условия, то, следовательно, модель адекватна данному временному ряду.
2.3 Определите значимость переменных:
Значимость коэффициентов уравнения регрессии а0, а1, а2 оценим с использованием t-критерия Стьюдента.
- коэффициент свободного члена незначим
- коэффициент перед х1 значим
- коэффициент перед х2 незначим
- коэффициент перед х3 незначим
- коэффициент перед х4 незначим
Расчетные значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов уравнения регрессии, приведены в столбце “t-статистика” таблицы 6.
Табличное значение t-критерия при 5% уровне значимости и степенях свободы (30 – 4 – 1 = 25) составляет 2,385, если |tрасч| > tтабл, то коэффициент - существен (значим).
2.4 Найдем среднюю ошибку аппроксимации:
.
А = 757,95/30 = 25,26%
В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 25,26%. Модель не достаточно точная.
2.5 Вычислим коэффициент детерминации:
R2 = 0,575
Вариация результата Y на 57,5% объясняется вариацией факторов X.
2.6 линейные коэффициенты корреляции между всеми членами регрессии:
- линейный коэффициент корреляции между х1 и y
- линейный коэффициент корреляции между х2 и y
- линейный коэффициент корреляции между х3 и y
- линейный коэффициент корреляции между х4 и y
- линейный коэффициент корреляции между х1 и х2
- линейный коэффициент корреляции между х1 и х3
- линейный коэффициент корреляции между х1 и х4
- линейный коэффициент корреляции между х2 и х3
- линейный коэффициент корреляции между х2 и х4
- линейный коэффициент корреляции между х3 и х4
2.7 Проверим гипотезу о значимости уравнения с помощью критерия Фишера:
Сравним Fфакт с Fтабл при уровне значимости α=0,05 и количестве степеней свободы k1 = m = 4, k2 = n - m – 1 = 30 – 4 – 1 = 25.
Fтабл(4; 25) = 2,758.
Так как Fфакт > Fтабл, то уравнение регрессии в целом значимо.