Оценим параметры уравнения с помощью метода наименьших квадратов.

Выполнил: студент гр. 22 ПС-204

Лемясов А.Р.

Проверил: Шатин И.А.

 

г. Челябинск

Содержание

 

Экономическое моделирование стоимости квартир в Челябинске. 3

1 Построим парную регрессию. 4

1.1 Оценим параметры уравнения с помощью метода наименьших квадратов. 5

1.2 Оценим адекватность построенной модели по критерию: 6

1.3 Определите значимость переменных: 9

1.4 Найдем среднюю ошибку аппроксимации: 9

1.5 линейные коэффициенты корреляции между всеми членами регрессии: 9

1.6 Проверим гипотезу о значимости уравнения с помощью критерия Фишера: 10

1.7 Проверим модель на отсутствие автокорреляции. 10

1.8 Проверка на гетероскедастичность моделей. 10

2 Построим линейную множественную регрессию. 11

2.1 Оценим параметры уравнения с помощью метода наименьших квадратов. 11

2.2 Оценим адекватность построенной модели по критерию: 12

2.3 Определите значимость переменных: 15

2.4 Найдем среднюю ошибку аппроксимации: 15

2.5 Вычислим коэффициент детерминации: 15

2.6 линейные коэффициенты корреляции между всеми членами регрессии: 15

2.7 Проверим гипотезу о значимости уравнения с помощью критерия Фишера: 16

2.8 Проверим модель на отсутствие автокорреляции. 16

2.9 Проверка на гетероскедастичность моделей. 17

Вывод: 17

Список используемой литературы.. 18

 

Экономическое моделирование стоимости квартир в Челябинске

 

y – цена квартиры, тыс. долл.;

х₁ – жилая площадь квартиры, кв. м.;

х₂ – этаж;

х₃ – площадь кухни, кв. м.;

х₄ – количество комнат.

Таблица 1- Исходные данные

№п/п	у	х1	х2	х3	х4
		51,4
	184,6
		17,9
				8,3
				16,5
	60,65	37,8		12,1
	70,69	36,9		12,5
	39,5
	78,9	16,9		13,6
	123,5	67,5		12,3
	55,2	15,3
	95,5			12,5
	57,6	31,5		11,4
	64,5	34,8		10,6
				6,5
		52,3
		27,8		6,3
		17,3		6,6
	123,5	44,5		9,7
	55,2	19,1		6,5

 

Рассчитаем корреляцию между данными экономическими показателями

Строим эконометрическую модель, которая относится к классу факторных статических моделей:

y = f(x₁, x₂, х₃, х₄)

y – цена квартиры, тыс. долл. (зависимая переменная);

х₁ – жилая площадь квартиры, кв. м.; х₂ – этаж; х₃ – площадь кухни, кв. м.; х₄ – количество комнат (объясняющие переменные).

Чтобы убедиться в том, что выбор объясняющих переменных оправдан, оценим связь между признаками количественно, для этого заполним матрицу корреляций. Расчет выполним по формуле:

Вычислим матрицу корреляции с помощью пакета MS Excel.

Сервис - Анализ данных – Корреляция.

 

Таблица 2 - Матрица корреляций между исходными статистическими признаками

	y	x1	x2	x3	x4
y
x1	0,746
x2	0,087	-0,025
х3	0,151	0,181	0,340
х4	0,507	0,730	0,115	0,149

 

Анализируя матрицу корреляций, можем сделать вывод о том, что связь между ценой квартиры и жилой площадью квартиры достаточно заметная, а между ценой квартиры и остальными факторами слабая.

Построим парную регрессию.

Так как наиболее сильная связь фактора y с фактором х₄, то модифицируем модель к виду парной регрессии:

y = f(x₁)

Для выбора функциональной формы модели проанализируем корреляционное поле.

Рис. 1 - Корреляционное поле
(x₁ – жилая площадь квартиры, кв. м.;

y – цена квартиры, тыс. долл.)

 

Визуальный анализ показывает, что для построения модели вполне подойдет линейная функция:

y = α₀ + α₁x₁ + ε

Оценим параметры уравнения с помощью метода наименьших квадратов.

Составим систему уравнений:

Найдем коэффициенты уравнения в программе Excel. Сервис – Анализ данных – Регрессия.

 

Таблица 3 - Результат регрессионного анализа

 

 

Таким образом, теоретическое уравнение множественной регрессии имеет вид:

Коэффициенты регрессии приведены в столбце “Коэффициенты” табл. 3.

1.2 Оценим адекватность построенной модели по критерию:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков.

Так как количество поворотных точек равно 22 (р = 22), то неравенство выполняется

p > 14; 22 > 14

Следовательно, свойство случайности выполняется.

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (d₁ = 1,08, d₂ = 1,36) или по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого равен r(1) = 0,36.

 

 

Так как

, то уровни ряда остатков независимы.

Воспользуемся критерием по первому коэффициенту автокорреляции:

 

 

то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду остатков может быть принята, следовательно, свойство выполняется.

- Нормальности распределения относительной компоненты по R/S – критерию с критическими уровнями 2,7 – 4,8

Таблица 4 - Расчет адекватности модели

t	E(t)	E2(t)	E(t)-E(t-1)	[E(t)-E(t-1)]2	E(t)*E(t-1)	|E(t)/Y(t)|*100 %
	3,01	9,08	-	-	-	2,62
	21,56	464,94	18,55	344,08	64,97	25,37
	12,12	146,81	-9,45	89,22	261,26	17,56
	17,76	315,24	5,64	31,79	215,13	31,15
	-37,75	1424,94	-55,50	3080,63	-670,23	20,45
	-9,02	81,42	28,73	825,13	340,62	16,11
	6,72	45,14	15,74	247,82	-60,63	7,90
	-86,34	7454,78	-93,06	8660,17	-580,12	32,58
	28,52	813,64	114,87	13194,07	-2462,83	47,03
	-0,11	0,01	-28,64	820,06	-3,20	0,09
	5,43	29,48	5,54	30,71	-0,61	11,80
	-21,16	447,77	-26,59	707,04	-114,90	18,40
	16,58	274,76	37,74	1424,04	-350,76	23,45
	11,93	142,32	-4,65	21,59	197,75	30,20
	-34,04	1158,98	-45,97	2113,56	-406,13	43,15
	16,88	284,78	50,92	2592,78	-574,51	28,13
	32,01	1024,53	15,13	229,00	540,16	32,01
	34,36	1180,44	2,35	5,52	1099,72	67,37
	-3,79	14,34	-38,14	1455,00	-130,11	2,41
	28,65	820,98	32,44	1052,34	-108,51	23,20
	-13,74	188,69	-42,39	1796,86	-393,59	24,89
	19,54	381,98	33,28	1107,62	-268,47	20,47
	18,22	331,80	-1,33	1,77	356,01	31,62
	18,31	335,36	0,10	0,01	333,58	28,39
	14,56	212,06	-3,75	14,07	266,68	15,83
	19,92	396,86	5,36	28,72	290,10	19,92
	16,97	287,96	-2,95	8,71	338,06	33,27
	-111,30	12386,71	-128,27	16451,94	-1888,63	70,89
	-20,12	404,75	91,18	8313,29	2239,09	16,29
	-5,68	32,25	14,44	208,50	114,25	10,29
Итого	0,00	31092,82		64856,05	-1355,87	752,84

 

Так как расчетное значение попадает в интервал, следовательно, свойство нормальности распределения выполняется.

Так как выполняются все условия, то, следовательно, модель адекватна данному временному ряду.

1.3 Определите значимость переменных:

Значимость коэффициентов уравнения регрессии а₀, а₁, а₂ оценим с использованием t-критерия Стьюдента.

- коэффициент свободного члена незначим

- коэффициент перед х₁ значим

Расчетные значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов уравнения регрессии, приведены в столбце “t-статистика” таблицы 3.

Табличное значение t-критерия при 5% уровне значимости и степенях свободы (30 – 1 – 1 = 28) составляет 2,368, если |t_расч| > t_табл, то коэффициент - существен (значим).

1.4 Найдем среднюю ошибку аппроксимации:

.

А = 752,84/30 = 25,09%

В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 25,09%. Модель не достаточно точная.

д) Вычислим коэффициент детерминации:

R² = 0,557

Вариация результата Y на 55,7% объясняется вариацией фактора X₁.

1.5 линейные коэффициенты корреляции между всеми членами регрессии:

- линейный коэффициент корреляции между х₁ и y

Связь между фактором y и х₁ заметная, прямая.

1.6 Проверим гипотезу о значимости уравнения с помощью критерия Фишера:

Сравним F_факт с F_табл при уровне значимости α=0,05 и количестве степеней свободы k₁ = m = 1, k₂ = n - m – 1 = 30 – 1 – 1 = 28.

F_табл(1; 28) = 4,196.

Так как F_факт > F_табл, то уравнение регрессии в целом значимо.