Уравнения относительного движения системы ведущий-ведомый ЛА.

Групповой полет летательных аппаратов – алгоритм обработки информации относительного движения

Абакумов А.В., асп., Шкаев А.Г., асп., Саратовский государственный технический университет

Введение

В настоящее время наблюдается значительное повышение интереса к беспилотным летательным аппаратам (БЛА). Это происходит на фоне успешного применения БЛА в ряде военных конфликтов: в Афганистане, Югославии, где применялись американские БЛА RQ-1 “Предатор”, в Чечне, где российская армия использовала БЛА “Пчела”.

До сих пор практически все БЛА имели только лишь военное назначение и относились в основном к двум основным классам: разведчики и мишени. На сегодняшний день область применения и возможности БЛА значительно расширились, появилось множество новых задач для существующих и перспективных БЛА, как военного, так и гражданского назначения. Такими задачами являются, например, применение оружия (БЛА “Предатор” США), многочасовые полеты (“Глобал Хоук” США, С-62 Россия), сельскохозяйственные задачи (разработки таких БЛА ведутся в настоящее время в Японии) и т.д.

В этом ряду одной из важнейших является задача обеспечения группового полета БЛА. При ее решении возникает ряд существенных технических проблем, поиск решения которых в настоящее время проводятся как в России, так и за рубежом. Существовавшие до сих пор разработки в области автоматического управления групповыми полетами летательных аппаратов были ориентированы преимущественно на управление строем пилотируемых самолетов с большими дальностями между ними, а для БЛА выдвигаются требования полета в строю с дистанциями и интервалом 30-150 метров.

В данной работе осуществляется исследование алгоритмов обработки информации с целью определения параметров относительного движения БЛА в групповом полете и предлагается алгоритм оценивания параметров движения ведущего ЛА по результатам измерений относительного движения.

1. Проблемы управления БЛА в группе. Постановка задачи обработки информации

Современное развитие авиации поставило задачу выполнения совместного полёта группы беспилотных летательных аппаратов.

В связи с этим задача управления БЛА в группе с высокой точностью приобретает особую важность. Необходимость развития техники полёта БЛА в строю выдвигает в настоящее время очень важное направление: создание систем межсамолётной навигации (СМСН) для БЛА с весьма ограниченными весом и объёмом. Эта необходимость определяется ещё тем, что отсутствие в бортовом оборудовании БЛА СМСН может существенно ограничить в ряде случаев их возможности.

В силу ряда причин задача автоматического управления полётом летательных аппаратов (ЛА) в групповом порядке представляет собой одну из наиболее сложных и специфических научно-технических проблем авиации, требующая комплексного решения. Оно состоит в необходимости тактического обоснования рациональных видов строев, количества ЛА в группе, в определении идеологии сбора ЛА в группу, в выборе методов синхронного управления каждым ЛА группы для обеспечения безопасности полёта и точного выдерживания каждым ЛА группы своего места в строю на прямолинейных и криволинейных участках полёта всей группы в целом. Причём, возможность управления группой усложняется нестационарностью параметров полёта. Методы управления ЛА определяют основные принципы, которые используются при проектировании систем управления ЛА в группе [1].

Понятно, что для обеспечения необходимой точности процесса управления полётом строем ЛА СМСН должна строиться в виде системы с обратной связью по информации о взаимном положении. Это позволяет с единой точки зрения рассмотреть систему управления полётом ЛА в строю и дать единую математическую базу её описания. Автоматизация управления полётом ЛА в групповом порядке связана не только с разработкой теоретических основ полёта, но и с разработкой бортовых технических средств измерения относительного положения и систем управления. Проведённый анализ состояния средств определения взаимных координат показал, что ни одно из существующих и разрабатываемых в настоящее время измерительных средств не обеспечивает современных требований определения взаимных координат в плотных группах. В нашей стране разработана лишь автоматизированная система вождения самолётов в строю типа "Купол". Она предназначена для военно-транспортных самолётов. Эта система позволяет выдерживать строй ЛА с рядом ограничений, таких как автоматизация только бокового канала управления, невозможность выдерживания малых дистанций.

Создание средств измерения относительного местоположения ЛА в группе решает проблему обеспечения полёта ЛА в строю не полностью. Необходимо решать также задачу автоматизации обработки информации о параметрах относительного движения и параметрах полёта с целью формирования алгоритмов управления.

Ввиду сложности задачи возможны различные подходы к её решению, отличающиеся как распределением функций управления между наземным пунктом управления и бортом, так и выбором принципов, которые могут быть положены в основу системы управления и которые определяют её конструктивные и динамические характеристики. Исследованию вопросов автоматизации управления полётом строя ЛА посвящены работы наших отечественных учёных: В.А.Боднера, А.А.Красовского, Ю.П.Доброленского, В.Г.Тарасова, С.В.Петрова. В работах этих учёных были сформулированы общие требования к системам автоматического управления группой самолётов: представлено математическое описание строя, как объекта управления, проведены исследования задачи управления самолётами в группе, по результатам которых сделан вывод о том, что строй, как динамическая система сам по себе, без регуляторов, принципиально неустойчив на всех режимах полёта, даны технические предложения по построению систем управления строем самолётов. В фундаментальной работе [2] рассмотрены вопросы теории автоматизированных СМСН. Представлен большой обзор по системам управления полётом группы ЛА и методам измерения параметров относительного движения самолётов. Математической основой рассматриваемых в этой работе методов решения задач межсамолётной навигации является теория оценивания и фильтрации. В работе [3] излагаются основы и специфика применения методов теории нелинейной фильтрации марковских последовательностей и процессов в задачах обработки навигационной информации. Рассматриваются подходы, используемые при решении различного рода нелинейных задач, при этом значительное внимание уделяется тем из них, в которых применение алгоритмов, основанных на линеаризации, неприемлемо. Анализ этих работ показывает, что их результаты ориентированы на построение СМСН для полёта в строю с большими дальностями между ними и поэтому не могут быть в полной мере использованы в СМСН БЛА, так как для них выдвигаются требования полёта в строю с дистанциями и интервалом 30-150 м. В этих работах недостаточно полно рассматривались вопросы выбора структуры управления и её параметров, исследования динамики и точности стабилизации с учётом нелинейностей в математической модели ЛА и модели относительного движения. В настоящее время не разработаны стандартные алгоритмы СМСН, как это сделано в навигации. Поэтому задача разработки алгоритмического обеспечения полётом ЛА, и в том числе БЛА в строю, весьма актуальна.

Развитие СМСН идёт двумя путями: создание автономных систем, не зависящих от наземных средств, и систем, использующих наземные радиомаяки. Каждому из этих путей присущи свои преимущества и недостатки. Второй путь имеет один из недостатков, связанный с точностью определения взаимных координат движущихся в группе ЛА, что не позволяет использовать данный принцип для полёта БЛА в плотных групповых порядках. Так, ошибки в определении относительного положения ЛА в группе могут достигать величин 30-400 м в зависимости от дальности до радиомаяков (к примеру современная радионавигационная система “Тропик” позволяет определять координаты с точностью 0,13 — 1,3 км). В то же время данная идеология может быть применена для полёта большого количества ЛА по несколько ЛА в плотных группах, причём, эти группы ЛА могут находиться между собой на расстояниях до десятков километров (по принципу "ведущий с ведущим"). Другим и основным недостатком такого пути является то, что он обеспечивает вождение ЛА в групповых порядках только в пределах прямой видимости радиомаячных систем. По мнению зарубежных специалистов, применение наземной аппаратуры для автоматического управления полётом группы ЛА технически легче реализуется, не накладывает ограничений на массу, объём и условия эксплуатации аппаратуры. Однако эти выводы не являются достаточно убедительными, поскольку автономная САУ позволяет решать задачи полёта строем без ограничений, накладываемых каналами связи с наземным пунктом управления, а также в условиях радиопротиводействия. Что касается вождения в строю беспилотных самолётов с использованием наземного радиотехнического комплекса, в состав которого входит обзорный радиолокатор, то относительно низкая разрешающая способность обзорного радиолокатора не может обеспечить определение координат с достаточной точностью, необходимой для вождения ЛА с требуемыми параметрами строя. Поэтому групповой полёт строем может быть осуществлен при дистанции между ЛА не менее 1,5-2 км. Использование методов корреляционно-экстремальной навигации, которые получили в настоящее время большое применение в современных пилотажно-навигационных комплексах, невозможны для СМСН БЛА в плотных боевых порядках из-за ограниченной точности, которая, по зарубежным данным, характеризуется сотнями метров. Таким образом, её применение недостаточно для полёта в плотных боевых порядках на основе четырёхмерной навигации каждого из ЛА. Однако этот принцип может быть использован для задачи сбора ЛА в группу. В этом случае на стадии подготовки полётного задания каждому ЛА назначается точка в трёхмерном пространстве, в которую он должен прибыть в назначенный момент времени в заданном направлении.

Автономное управление полётом ЛА в строю на основе измерений параметров относительного движения, получаемых с помощью дальномерных и угломерных средств локации и визирования ведущего ЛА ведомым, позволяет обеспечить полёт в группе при дальностях между ними 30-150 м.

В некоторых случаях автономное управление не всегда осуществимо из-за малой дальности действия системы измерений параметров относительного движения, т. е. не может быть решена задача сбора ЛА в группу. Поэтому в некоторых случаях может оказаться необходимым использование комбинированного управления. При достаточно больших расстояниях между ЛА используется неавтономное управление, а при малых  автономное управление.

Таким образом, проведённый выше анализ теоретических работ и состояние уровня исследований, посвященных вопросу автоматизации управления ЛА в строю, показал, что принципы, заложенные в их основу, не позволяют в полной мере реализовать их в СМСН БЛА. Нерешенные по данной проблематике задачи обусловливают актуальность разработки алгоритмов управления и обработки информации для СМСН БЛА, с помощью которых осуществляется выдерживание СМСН заданных параметров строя в прямолинейном полёте и при маневрировании ведущего БЛА.

Проблемы управления ЛА в группе можно объединить в три группы.

Первая группа проблем связана с решением задачи выбора алгоритмов управления и обработки информации для полёта ЛА в строю. Вторая группа проблем определяется задачей построения САУ, которая будет вести ЛА согласно выбранному закону с точностью, получаемой из условия безопасности, и, наконец, задача, к которой относится третья группа проблем, заключается в выборе технических средств, с помощью которых можно обеспечить полёт ЛА в строю.

Технические средства, позволяющие осуществлять групповой полет ЛА, это прежде всего те приборы и устройства, которые позволяют определять параметры относительного движения ЛА. Они должны обеспечивать получение необходимой дальномерной и угломерной информации. Эта измерительная аппаратура может быть основана на самых различных физических принципах радиотехнических, оптических, квантомеханических. На сегодняшний день наиболее перспективным представляется путь использования радиотехнических средств измерения дальности и углов места и азимута. Наличие радиолокатора на борту ЛА позволяет не только обеспечивать групповой полет ЛА, но и существенно расширить его возможности. Более того, большинство современных ЛА уже имеют бортовые РЛС различного назначения (метеонавигационные, наведения, обзорные, и т.д.). Для бортовой РЛС наиболее оптимальным является использование миллиметрового диапазона волн.

Несмотря на относительно высокое затухание (0,1-0,2 дБ/км) снижающее дальность обнаружения, миллиметровые волны обладают следующими преимуществами, обеспечивающими высокое разрешение во времени и пространстве:

получение узких диаграмм направленности в приемлемых апертурах,

широкие полосы частотных каналов при значительном их числе, т.е. при решении задач электромагнитной совместимости (ширина полосы окна прозрачности на 8,6 мм, равная 12 ГГц превышает весь диапазон сантиметровых волн),

эффективная поверхность рассеивания целей в миллиметровом диапазоне значительно возрастает по сравнению с сантиметровым.

Указанные преимущества очевидны и попытки их использования начались с середины 50-х годов. Однако лишь в 80-90-е годы удалось создать достаточно технологичную элементную базу с приемлемыми параметрами.

В настоящее время средняя мощность твердотельных выходных устройств может достигать десятка Ватт, а чувствительность малогабаритного приемника 600-900 К, что обеспечивает выполнение основных требований к бортовой РЛС.

Ниже приводится краткий обзор существующих зарубежных бортовых радиолокационных и навигационных станций.

РЛС WX-50 фирмы Вестенгауз прошла испытания на самолетах TA-41, OV-10 и вертолете UH-1N. Некогерентная РЛС 8 мм диапазона обеспечивает работу в следующих режимах:

облет препятствий и следование по рельефу местности,

обнаружение и селекция наземных и движущихся целей,

картографирование земной поверхности,

измерение высоты полета,

пеленгация источников излучения (маяков).

РЛС AN APQ-137B, работающий в диапазоне частот 34,5 ГГц и позволяющий обнаруживать движущие наземные цели. Радиолокатор размещается в подвесном контейнере.

РЛС Saiga-2 фирмы МарсельДассо 8 мм диапазона предназначен для предотвращения столкновений с препятствиями и воздушными объектами и обеспечивает полет в режиме следования рельефу местности при неблагоприятных метеоусловиях и в ночное время. Этот радиолокатор может также использоваться для навигационных целей.

РЛС E391, разработанная фирмой EM1 Электроникс (Англия), представляет собой аппаратуру высокого разрешения. Этот локатор может устанавливаться как на самолете, так и в отдельном контейнере.

Одним из отечественных аналогов этой аппаратуры является РЛС “Алмаз”. Основной особенностью этой РЛС является применение 8 мм диапазона, высокая разрешающая способность по дальности (до 4 м) и углу (до 1,2°), малая импульсная мощность (3 Вт) при низкой скважности.

Станция основана на использовании квазинепрерывного широкополосного сигнала с линейной частотной модуляцией. База сигнала 20000 позволяет обеспечивать высокую помехоустойчивость в условиях естественных и искусственных помех.

Корреляционная свертка сигнала, используемая для сжатия спектра, дополнена цифровой расфильтровкой по дальностным каналам, что позволяет варьировать технические характеристики РЛС, адаптируя систему обработки к конкретной задаче и радиолокационной обстановке.

Таблица 1

Тип РЛС Параметр	WX-50	AN/APQ-137B	Saiga-2	Алмаз
Рабочая частота (ГГц)
Мощность в импульсе (КВТ)		0,5		0,003
Частота повторения (кГц)		2,4	0,2	До 100
Длительность (мкс)	0,2	0,04-0,12		До 100
Ширина диаграммы (град)	1,5	0,6 0,3	1,3	1,2
Угловая скорость антенны (°/с)
Масса (кг)
Объем (дм3)

Что касается выбора алгоритмов управления и обработки информации, то в общем случае алгоритм управления полётом ЛА в группе, реализованный в БЦВМ, должен обеспечивать решение следующих основных задач [2]:

обработка результатов измерений с целью получения оценок параметров движения, используемых при определении управляющих воздействий,

определение отклонений расчётных параметров от требуемых заданий,

вычисление управляющих воздействий,

отработка управляющих воздействий с помощью внутренних контуров управления и автомата управления тягой двигателя.

Настоящая работа посвящена исследованию алгоритмов обработки информации СМСН с целью определения параметров движения ведущего ЛА и относительного движения. В этом случае нетрудно реализовать алгоритмы СМСН БЛА.

Задачу обработки информации относительного движения рассматривали при полном составе измерений: углах визирования, угловой скорости линии визирования, дальности и скорости изменения дальности.

Ключевым вопросом при решении этой задачи является разработка математической модели относительного движения ЛА.

Поскольку измерения содержат случайные ошибки, алгоритм оценки должен быть эффективным в смысле их снижения и снижения влияния этих ошибок на точность получаемых оценок параметров движения ведущего ЛА, то есть алгоритм обработки информации должен обеспечивать фильтрацию ошибок измерений и идентификацию параметров движения ведущего ЛА.

Уравнения относительного движения системы ведущий-ведомый ЛА.

Из задач, возлагаемых на СМСН, основными и наиболее трудоемкими являются задача сбора ЛА в группу и задача управления полетом группы ЛА. Для них актуальны проблемы обработки измерительной информации с целью получения оценок параметров движения (задача идентификации и оценки) и определения по этим оценкам управляющих воздействий, обеспечивающих полет ЛА в групповом порядке (задача управления). Математическая формулировка этих задач и выбор методов их решения тесно связаны с выбором математической модели процесса управления ЛА в группе. Математическая модель движения представляет собой объективную схематизацию действительного движения объекта, достаточно полно отражающую основные закономерности этого движения в наиболее простом и удобном виде для изучения и решения поставленной задачи. Основная трудность исследования полета ЛА в группе заключается в том, что при рассмотрении задач моделирования, синтеза алгоритмов управления, исследования алгоритмов обработки информации необходимо использовать несколько математических моделей. Существующие модели, предложенные для решения этих задач, построены не для всех условий. В связи с этим непосредственное использование известных математических моделей в настоящей работе затруднено, поскольку любая из них имеет определенное назначение и не учитывает в полной мере требований, вытекающих из указанных задач. Необходимо повторить вывод дифференциальных уравнений динамики с учетом направленности настоящей работы.

Сначала выведем уравнения относительного движения ЛА для общего случая, к которым затем в зависимости от цели исследования будем добавлять уравнения других видов. Структура модели может быть определена аналитическим путем исходя из физических законов, определяющих поведение объектов. Естественно, что наиболее простой является модель группы, состоящей из двух ЛА. Ее мы и будем рассматривать.

В общем случае модель движения ЛА в группе включает в себя: модель движения каждого ЛА как материального тела, кинематические и динамические уравнения относительного движения ЛА, модель работы аппаратуры управления, составляющие в совокупности модель замкнутой динамической системы. В состав модели работы аппаратуры управления включают исполнительные органы и неизменяемые части измерителей, т.е. учитываются их динамические характеристики.

При математическом описании объекта управления и разработке модели его движения устанавливают:

динамические свойства объекта, т.е. реакцию объекта на действие всей совокупности входных сигналов управления и возмущений;

характер информации о параметрах движения объекта, которая может быть получена с помощью датчиковой аппаратуры;

ограничения и другие специфические требования, предъявляемые к движению объекта.

Для построения таких моделей, описывающих движение каждого ЛА отдельно, а также относительное движение рассматриваемых ЛА между собой, нужно найти число степеней свободы, однозначно определяющих движение, установить характер и законы изменения внешних воздействий, действующих на ЛА группы, после чего выбрать системы координат и составить дифференциальные уравнения движения.

Движение ЛА, как известно из [4], складывается из поступательного движения его центра масс, определяющего траекторию полета, и вращательного движения вокруг центра масс, определяющего угловое положение ЛА относительно инерциального пространства. При движении ЛА в атмосфере Земли эти две составляющие общего движения взаимосвязаны и должны рассматриваться совместно. Тогда движение отдельного ЛА будет иметь шесть степеней свободы (три поступательные и три вращательные).

В основу математической модели отдельного ЛА положена нелинейная система дифференциальных уравнений, описывающая движение ЛА в пространстве [4].

Как уже отмечалось, задача управления групповым движением связана с необходимостью изучения движения ЛА, находящихся в определенных взаимоотношениях. Поэтому на первый план выступает исследование их относительного движения, математическая модель которого и составляет объект управления.

Движение двух ЛА друг относительно друга представляет собой разность двух абсолютных движений и характеризуется тремя степенями свободы.

Рассмотрим вопрос о внешних возмущениях. Воздействие среды, в которой происходит движение, считаем неконтролируемым и предполагаем, что влияние ее на полет, предшествующий текущему моменту времени , проявляется в реализующемся в этот момент векторе состояния.

Рассматривая движение отдельного ЛА, надо заметить, что действие на объект внешних возмущений (например, ветровых) может привести к заметным искажениям траектории полета. Действие же внешних возмущений на относительное движение ЛА в группе заметного влияния не оказывает, так как для однотипных ЛА при малых рассогласованиях между ними возмущения почти одинаковы и при рассмотрении относительного движения как разности абсолютных движений взаимно исключаются.

Теперь непосредственно перейдем к рассмотрению математической модели относительного движения. Относительное движение ЛА будем рассматривать в общей постановке, когда оба аппарата могут совершать управляемый полет.

Введем некоторые определения. Вектором положения называется вектор, проведенный из начала выбранной СК в точку мгновенного местоположения аппарата. Вектор и скорость его изменения записываются в проекциях на оси выбранной (декартовой или сферической) СК. В первом случае вектор положения определяется тремя его проекциями на оси декартовой СК, во втором  двумя углами и расстоянием r от начала сферической СК до центра масс ЛА. Линией визирования будем называть прямую, соединяющую центры масс ведомого и ведущего ЛА. Вектором относительной дальности назовем вектор, который направлен от ведомого ЛА к ведущему вдоль линии визирования и по величине равен расстоянию между центрами масс этих ЛА. Это расстояние называется относительной дальностью . Скорость ведомого ЛА относительно ведущего называется относительной скоростью: . Плоскостью относительного движения двух ЛА будем называть плоскость, в которой лежат вектора относительной дальности и относительной скорости в данный момент времени. Углами пеленга в работе будем считать два угла (для конкретности назовем их углами места и азимута  рисунок 1), которые определяют ориентацию линии визирования в связанных с ведомым ЛА декартовых СК, вращающихся с угловой скоростью относительно инерциального базиса.

При рассмотрении относительного движения ЛА можно использовать различные СК. Каждая система имеет свои преимущества и недостатки. Выбор ее определяется конкретной задачей. Однако существуют и общие принципы выбора СК, которые обуславливают необходимость или желательность той или иной системы отсчета. Сюда относятся:

простота получаемых уравнений динамики, обеспечивающая простоту анализа задачи и интегрирования этих уравнений;

простота перехода от одной задачи к другой задаче исследуемого класса: математически ее можно выражать условиями, подобными приравниванию к нулю некоторых величин или функций;

простота технической реализации выбранной базовой СК на борту ЛА, определяющая простоту всей системы управления и в особенности ее измерительной части;

простота краевых условий.

Рисунок 1

С точки 150 которая связана с ведомым ЛА. Начало СК целесообразно совместить с центром масс ведомого ЛА. Причем эта система может быть ориентирована по отношению к связанным осям ЛА различным образом. Во многом это обусловлено тем, что на ведомом ЛА находится измерительная аппаратура, определяющая параметры относительного движения ведомого и ведущего ЛА. Поэтому логично выбрать те варианты ориентации осей и те типы относительных СК, которые используются в качестве базовой системы отсчета при измерении координат относительного движения.

Определенную таким образом СК будем применять для задач управления движением группы ЛА как на прямолинейных участках маршрута, так и на криволинейных. В задаче сбора ЛА в группу целесообразно рассматривать относительное движение в СК, связанной с ведущим ЛА. На этапе сбора ведущий аппарат является пассивным (неманеврирующим), поскольку к его СУ предъявляются требования обеспечения прямолинейного полета.

При выводе уравнений относительного движения двух ЛА в группе будем использовать хорошо известные положения теоретической механики [4]. Используя выше приведенные определения, можно утверждать, что положение аппаратов определяется в каждый момент времени векторами и в земной СК. Следовательно, вектора дальности и относительной скорости запишутся:

,	(1)
.	(2)

Векторное уравнение динамики относительного движения можно представить в виде

(3)

где ,  вектора ускорений ведущего и ведомого ЛА соответственно.

Таким образом, относительное движение ЛА в пространстве представляется как движение двух материальных точек О1 и О2, совпадающих с центрами масс двух ЛА: ведущего и ведомого соответственно.

Далее будем описывать относительное движение ЛА в связанной СК ведомого ЛА ОXYZ, перемещающейся относительно инерциальной СК (рисунок 1). В этом случае переход от абсолютных производных векторов к локальным осуществляется по известным формулам:

,	(4)
.	(5)

Здесь точками обозначены производные векторов по времени в связанной СК, вращающейся относительно инерциальной с угловой скоростью . Абсолютное движение ведущего ЛА в связанной СК ведомого ЛА будет определяться выражениями:

,	(6)
,

где ,  векторы ускорений соответственно ведомого ЛА, с которым связана СК, и ведущего ЛА,

,  векторы скорости соответственно ведомого и ведущего ЛА,

 вектор углового ускорения ведомого ЛА.

Будем предполагать, что характер действующих на объект сил нам известен, т.е. известны законы изменения векторов скоростей и ускорений каждого ЛА. Задачу будем видеть в нахождении динамических и кинематических соотношений, определяющих изменение во времени параметров относительного движения.

Кинематические и динамические векторные уравнения относительного движения двух ЛА в связанной СК получим из (6):

,	(7)

Для простоты будем считать, что СК ОXYZ совпадает с горизонтированной СК.

Рассмотрим сначала второе векторное уравнение.

Введем следующие обозначения:

,	(8)
,
.

Из второго векторного уравнения (7) получим динамические уравнения относительного движения двух ЛА в сферической СК, соответствующей горизонтированной:

	(9)

Здесь составляющие относительного ускорения , , рассчитываются в горизонтированной СК.

Рассмотрим теперь первое векторное уравнение (7). Введем обозначения:

,	(10)
,
.

Из первого уравнения (7) получим кинематические уравнения относительного движения двух ЛА.

,	(11)
,
.

Чтобы замкнуть систему уравнений относительного движения ЛА, к динамическим и кинематическим соотношениям необходимо добавить уравнения, определяющие величины , , , , , в соответствующих СК.

При исследовании относительного движения ведущего и ведомого ЛА в горизонтированной СК ведомого ЛА можно записать соотношения для , , , , , в таком виде: