Одновременно с решением системы линейных алгебраических уравнений
можно вычислить определитель матрицы А.
Пусть в процессе исключения найдено распожение
т.е. построены матрицы L è U. Тогда
и, таким образом, произведение диагональных елементов матрицы L (ведущих, главных елементов метода исключения) равно определителю матрицы РА. Поскольку матрицы РА и А отличаются только перестановкой строк, определитель матрицы РА может отличаться от определителей матрицы А только знаком.
А именно, 
Таким образом, для вычисления определителя необходимо знать, сколько перестановок было осуществлено в процессе сключения.
Если матрица А выроджена, то при использовании метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу на некотором шаге исключения К все элементы которого столбца, находящиеся ниже главной диагонали и на ней, окажутся равными нулю.При этом дальнейшее исключение становится невозможным и программа должна выдать информацию о том, что определитель матрицы равен нулю.
ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦ.
Нахождение матрицы, обратной матрице А, еквивалентно решению матричного уравнения
(1)
где Е - единичная матрица, X - искомая квадратная матрица.
Уравнение (1) можно записать в виде системы 
уравнений
(2)
где 
Можно заметить, что система (2) распадается на m независимых систем уравнений с одной и той же матрицей А, но с различными правыми частями. Эти системы имеют
вид (фиксируем j):
(3)
где 
у вектора - столбца 
равна единице j-та компонента и равны нулю остальные компоненты.
Например, для матрицы второго порядка система (2) распадается на две независимые системы:
Äëÿ ðåøåíèÿ систем (3) используется метод Гаусса (обычный или с выбором главного элемента).
Рассмотрим применение метода Гаусса без выбора главного элемента. Поскольку все системы (3) имеют одну и ту же матрицу А, достаточно один раз совершить прямой ход метода Гаусса, т.е. получить разложение A=LU и запомнить матрицы L i U.
Обратный ход осуществляется путем решения систем уравнений 
с треугольными матрицами L è U.
При осуществлении обратного хода можно сократить число действий, принимая во внимание специальный вид правых частей системы (4).
Запишем подробнее первые j-1 уравнений системы (4):
Учитывая невырожденность матрицы L (т.е. 
отсюда получаем
При этом оставшиеся уравнения системы (4) имеют вид 
Отсюда последовательно находятся неизвестные 
по формулам: 
Можно показать, что общее число действий умножения и деления, необходимое для обращения матрицы указанным способом, порядка 
. Тем самым обращение матрицы требует не намного больше времени, чем решение системы уравнений.
МЕТОД ПРОГОНКИ.
Система уравнений для определения коэффициентов сплайна представляет собой частный случай систем линейных алгебраических уравнений
с трехдиагональной матрицей 
, т.е. с матрицей, все элементы которой,не лежащие на главной и двух побочных диагоналях, равны нулю 
при 
та 
В общем случае системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей имеют вид
Для численного решения систем трехдиагональными матрицами применяется метод прогонки, который представляет собой вариант метода последовательного исключения неизвестных.
Т.е. матрицу А можно записать
(1) Идея метода прогонки состоит в следующем. Решение системы (1) ищется в виде
где 
-неизвестные коэффициенты, которые последовательно находятся от 
до 
(прямая прогонка), а затем последовательно вычисляются 
(обратная прогонка).
Выведем формулы для вычисления 
Из (3) можно получить
Подставляя имеющиеся выражения для 
в уравнение (1),приходим при 
к уравнению 
Последнее уравнение будет выполнено если коэффициенты 
выбрать такими, чтобы выражения в квадратных скобках обращались в нуль.
А именно, достаточно положить 
Для отыскания всех 
достаточно задать 
Эти начальные значения находим из требования эквивалентности условия (3) при 
т.е. условия 
, первому из уравнений (2).
Таким образом, получаем
(5)
Нахождение коэффициентов 
по формулам (4), (5) называется прямой прогонкой. После того, как прогоночные коэффициенты 
найдены, решение системи (1), (2) находится по рекуррентной формуле (3), начиная с 
Для начала счета по этой формуле требуется знать 
, которое определяется из уравнений
И равно
.
Нахождение 
по формулам
(6)
называется обратной прогонкой. Алгоритм решения системы (1), (2) определяемый формулами (4)-(6) называется методом прогонки.
Метод прогонки можно пременять, если знаменатели выражений (4), (6) не обрщаются в нуль.
Покажем, что для возможности применения метод прогонки достаточно потребовать, чтобы коэффициенты системы (1), (2) удовлетворяли условиям
(8)
Сначала докажем по индукции, что при условиях (7), (8) модули прогоночных коэффициентов 
не превосходят единицы. Согласно (5), (8) имеем 
. Предположим,что 
для некоторого 
и докажем, что 
Прежде всего для любых двух комплексных чисел 
и 
докажем неравенство
Из неравенства треугольника имеем
Откуда
Вернемся теперь к доказательству 
, если . Согласно имеем оценку
а, используя (7), получаем
т.е. знаменатели выражений (4) не обращаются в нуль.
Более того
Следовательно, 
Далее, учитывая второе из условий (8) и только что доказанное неравенство 
, имеем
т.е. не обращается в нуль и знаменатель в выражении для .
К аналогичному выводу можно прийти и в том случае, когда условия (7), (8) заменяются условиями
Таким образом при выполнении условий (7), (8) (так же как и условий (9), (10)) система (1), (2) эквивалентна системе (4)-(6). Поэтому эти условия гарантируют существование и единственность решения системы (1), (2) и возможность нахождения этого решения методом прогонки.
Кроме того, доказанные неравенства , 
обеспечивают устойчивость счета по рекуррентным формулам (6). Последнее означает, что погрешность,внесенная на каком-либо шаге вычислений, не будет возрастать при переходе к следующим шагам.
Действительно, пусть в формуле (6) при 
вместо 
вычислена величина 
Тогда на следующем шаге вычислений, т.е. при 
вместо
получим величину 
и погрешность окажется равной
Отсюда получаем, что 
,т.е. погрешность не возрастает.
Подсчитаем число арифметических действий, выполняемых при решении задачи (1), (2) методом прогонки.
По формулам (4), что реализуемые с помощью шести арифметических действий, вычисления производятся 
раз, по формуле (6) выполняется 5 арифметических действий, наконец по формуле (3), требующей всего два действия, вычисления осуществляются 
раз. Итак в методе прогонки всего затрачивается
арифметических действий, т.е. число действий растет линейно относительно числа неизвестных 
При решении же произвольной системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусcа число действий пропорционально кубу числа неизвестных.