Тема : Определение скорости и ускорения точки




Пример. Движение точки задано уравнениями x =3 t, y = -4 t 2+10,где x,  
y - выражены в сантиметрах, а t - в           у, см                  
секундах. Определить ускорение точки.                            
10 М 0                    
Исключив время t, получим уравнение                    
                     
траектории: y = -     x   +10. Это                     М        
                               
                                               
уравнение параболы (рис.8.8).                                
                                      W              
Находим проекции     вектора                                
ускорения на оси                                                  
                        О             10 х, см  
                                     
  Wx = x = 0, Wy = y = - 8 см/с2.                                
Тогда модуль ускорения W =8см/с2.                     Рис. 8.8        
                               
Так как проекция вектора ускорения   на   ось x равна нулю, а на ось y  
                                                       
отрицательна, то W направлен вертикально вниз.                    

 

Определение ускорения точки при естественном способе задания движения.

 

Прежде чем приступить к определению ускорения, познакомимся с некоторыми понятиями из дифференциальной геометрии.

 

Естественная система координат

 

Пусть имеется некоторая пространственная кривая (рис.8.9).

 

Возьмем на этой кривой две близкие точки M и M1. Проведем в этих точках касательные t и t 1. Через касательную t проведем плоскость, параллельную касательной t 1.

 

Если точку M1 приближать к точке M, плоскость, оставаясь параллельной касательной t 1, будет поворачиваться вокруг t. И в момент, когда точка M1


совпадает с точкой M, плоскость займет определенное положение I. Плоскость I называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке M. Если кривая плоская, то вся кривая будет лежать в соприкасающейся плоскости.


 

 

    n     t1  
  II I        
           
             
    n 0     М 1  
           
        t  
    в 0 t    
    М      
III          
           
    III        
в   Рис. 8.9        
           


 

 

Проведем, затем, плоскость II через точку M, перпендикулярную касательной t. Эта

 

плоскость называется нормальной плоскостью. Линия пересечения соприка-сающейся плоскости и нормальной плоскости называется главной нормалью кривой в точке

 

M. Обозначим ее n. Нормаль, перпендикулярная главной нормали n и касательной t, называется бинормалью b.

 

Плоскость III, проведенная через b и t, является касательной плоскостью к кривой в

 


точке M.

 

Таким образом, мы получим систему осей

 

     
естественной системой координат, где t 0 , n 0 , b 0
Кривизна и радиус кривизны линии    

 

t, n, b, которая называется ее орты.

 


Если точка M движется по кривой, то эти оси также будут двигаться вместе с точкой, меняя свое направление в пространстве.

 

Введем еще одно понятие - понятие о кривизне и радиусе кривизны линии. Возьмем на кривой две близкие точки M и M1. (рис.8.10) и проведем

 

в этих точках касательные t и t 1. Угол между этими касательными называется углом смежности Dj.


 


М          
r Dj Ds    
С       М 1  
         
n          
           
Рис. 8.10 Отношение угла смежности к длине дуги D σ =MM1 называется средней  
кривизной линии Kср в точке M        
  K cp= j .    
  Δσ      
Предел этого отношения при D s ® 0 называется кривизной линии в точке  
M:          
K = lim K cp = lim j .  
  D s ®0   D s ®0 Δσ  
Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны линии в  
точке Mρ =1.          
K          
Если отложить ρ из точки M по главной нормали в сторону вогнутости  
линии, получим точку C, которая называется центром кривизны.  
Теперь можно приступить к определению ускорения точки. Пусть точка  
           
M движется по некоторой пространственной линии и имеет скорость V  
(рис.8.11).   М t0 V  
           
  n 0   в 0    
n     в    
         
  Рис. 8.11    


Подставим выражение вектора скорости (8.4) в формулу (8.5):

 

      d   dV   dt  
dV        
W =   =   (Vt 0) =   t 0 + V   .  
dt dt      
      dt   dt  

 

Очевидно, ускорение состоит из двух составляющих. Первая составляющая направлена вдоль касательной τ в сторону возрастания координаты S при

 

dV   dS    
dt = dt = S > 0

 

и в противоположную сторону при S <0.Чтобы определить модуль и

 

направление второго слагаемого, рассмотрим производную dt 0. Поскольку dt

 

t 0 является вектором с постоянным модулем, то его производная по времени представляет собой вектор, перпендикулярный t 0 и равный:

 

dt     j    
  = lim   n 0 ,  
dt    
  D t ®0 D t    

 

где n 0 - единичный вектор главной нормали к траектории точки.

 

Учитывая, что                                                        
  D j   D S     D j       dS           S         dt   S   V  
lim   = lim   lim     =         К =           , то 0 =   n =     n.  
D t D t   D S   dt       r     dt      
D t ®0 D t ®0 D S ®0                             r 0     r 0  
Таким образом, ускорение точки                                                
                dV     V                    
          W =       t 0 +             n 0.                  
                    r                    
                  dt                                

 

Итак, ускорение точки состоит из двух составляющих. Одна составляющая направлена по касательной к траектории и называется касательным ускорением. Его проекция на ось t

W = dV = d 2 S .  
     
t dt   dt 2  
     

Вторая составляющая направлена по главной нормали в сторону вогнутости траектории, называется нормальным ускорением, а его модуль

 

Wn = Vr 2.

 

 

При естественном способе задания движения ускорение точки находим как векторную сумму двух взаимно перпендикулярных векторов касательного и нормального ускорений

W = Wt + Wn.

2 2

Модуль ускорения W = Wt + Wn.

 

- точка движется по прямой линии с переменной скоростью.

 

Ускорение точки

 

  dV       V     V      
W = ¹0; W n =   =   =0; W = W;  
           
t dt     r   ¥ t  
             

 

- точка движется по кривой с постоянной по величине скоростью. Ускорение точки

 

  dV   V      
W = =0;W =   ¹0; W = W.  
       
t dt n r n  
       

 

В первом случае скорость точки изменялась только по величине, и ее ускорение равно касательному ускорению. Во втором случае скорость точки менялась по направлению, и ускорение равно нормальному ускорению.


Поэтому касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине, а нормальное - по направлению.

 

Пример. S = t 2-5 t +10м.Определить ускорение точки при t 1=2с и t 2=3с  
(рис.8.12).          
Скорость точки V = dS = 2 t - 5. При t 1 =2с V = -1м/с При t 2 =3с V =1м/с.  
   
  dt        
           

Следовательно, при t 1 =2с скорость точки направлена по касательной в сторону отрицательных значений криволинейных координат, а при t 2=3с - в сторону положительных значений координат.

¯ О + V 1     ¯ О +   M      
                     
    M 1           V 2    
S     W t   S       W t  
W       Wn        
  n         W 2      
    W              
                  M 0  
при t 1 = 2 с     M 0 при t 2 = 3 с      
        Рис. 8.12          

 

Величина касательного ускорения точки Wt = dVdt =2 м/с (постоянная, не

 

 

зависит от времени). Так как Wt > 0, вектор Wt направлен по касательной в сторону положительного направления оси t.

 

 

Нормальное ускорение:

      V 2       V 2    
при t 1=2с W =   =0,2 м/с2; при t 2=3с W =   =0,2 м/с2.  
   
     
    n   R     n   R    
                   

 

Так как составляющие равны по модулю, то ускорения точки в заданные моменты времени будут равны

 

 

W 1= W 2= Wt 2+ Wn 2@2м/с.


При t 1=2с направление касательного ускорения противоположно скорости, а при t 2=3с оба вектора имеют одинаковое направление. Следовательно, в момент t 1=2с движение точки замедленное, в момент t 2=3с – ускоренное.

 

Домашнее задание:

1. Прочитать конспект

2. Выписать основные формулы

3. Записать и разобраться в примере


4.

 


 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2020-12-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: