Свойства дифференциала функции

Определение производной

Определение. Пусть - некоторая величина, которую назовем приращением аргумента. Тогда назовем приращением функции.

Определение. Производной от функции в точке х называется предел

Производная обозначается или , или или и т.д.

Определение. Если производная (существует и) конечна, то функция называется дифференцируемой.

Пример 17.1. Вычислим (пользуясь определением) производную функции . =Ш= =

= = .

 

Геометрический смысл производной

Теорема. Производная от функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к кривой , проведенной в точке Уравнение касательной имеет вид: .

Пример 18.1. Найдем уравнение касательной к графику функции в точке :

уравнение касательной или (см. рис. 18.1)

 

Рис. 18.1.

Производная от постоянной величины

Теорема. Производная от постоянной величины равна нулю. Т.е.

Пример 19.1.

 

Производная от степенной функции

Теорема. Если то

Пример 20.1. =Ш= =

 

Производная суммы

Теорема. Если существуют (конечные) производные функций и , то существует производная суммы (разности) этих функций и

Пример 21.1.

Пример 21.2. 10 и 8=

=

 

 

Производная от произведения функций

Теорема. Если существуют (конечные) производные и то существует производная от произведения этих функций и .

Пример 22.1.

= § 20, § 21, Ш =

Производная частного

Теорема. Если существуют (конечные) производные и и , то существует производная от частного этих функций и

Пример23.1. = Ш=

 

Производные от тригонометрических функций

Теорема. Справедливы следующие формулы:

Пример 24.1. = §23 =

= = =

=Ш=

 

Производная сложной функции

Определение. Если а то называется сложной функцией.

Замечание. Аргумент будем называть зависимым аргументом, а - независимым аргументом. Но в формуле мы предполагаем, что производная определена, когда - независимый аргумент.

Теорема. Если существуют (конечные) производные и , то существует производная и

Пример 25.1. Если х независимый аргумент, то из §21 следует Аналогично , если u является независимым аргументом. Формула не всегда удобна, т.к. здесь нужно подразумевать, что х – независимый аргумент. Но если чуть поправить , то мы получим универсальную формулу. В литературе, как правило, она приводится в следующем виде . Буквой х, как правило (но не всегда), обозначается независимый аргумент.

Пример 25.2. обозначим = = = 9 и 7=

 

 

Производная от логарифмической функции

Теорема.

Пример 26.1.

обозначим = =13=

=

= обозначим = 19=

= = = 8 и 6 =

=

 

Производная от показательной функции

Теорема.

Пример 27.1. 12= =

= 21 и 15 = = = 9 и 7 =

=

Производные от обратных тригонометрических функций

Теорема.

Пример 28.1.

25, 12, 8= =Ш=

= .

Дифференциал

Если функция дифференцируема в точке х, т.е. имеет в этой точке конечную производную , то , где при отсюда

Определение. Главная часть приращения функции, линейная относительно , называется дифференциалом функции и обозначается

Теорема 29.1. Если х – независимый аргумент, то

Теорема 29.2. Запись дифференциала не зависит от того, является ли независимым аргументом, или функцией от другого аргумента. Это свойство называется инвариантностью первого дифференциала.

Пример 29.1.

Пример 29.2. Если , то = =

= = .

 

Свойства дифференциала функции

Теорема. 1. 2. . 3. 4. 5. (Самостоятельно уточните формулировки этих формул).