Задачи начертательной геометрии можно условно разделить на позиционные, метрические и конструктивные задачи. Наибольший интерес представляют конструктивные задачи, решение которых опирается на теорию решения позиционных и метрических задач. Под конструктивными задачами понимаются задачи, связанные с построением геометрических образов, отвечающих определенным условиям.
Роль и значение конструктивных задач:
1. Вызов любознательности
2. Учат логически мыслить
3. Развивают пространственное мышление
4. Учат проводить анализ и исследование
5. Дают возможность геометрически истолковывать уравнения, неравенства.
Решение конструктивных задач основывается на теории начертательной геометрии, алгебре множеств и геометрических местах элементов, поэтому приступать к решению этих задач можно только после того, как начитан материал «методы преобразования эпюра», а также повторен материал элементарной геометрии и ознакомления с множествами.
Множество есть понятие первоначальное, неопределяемое, обще математическое. Множество есть многое, мыслимое нами как единое (Георг Кантор). Предметы, составляющие данное множество, называются его элементами. Множества могут состоять не только из чисел, но и других понятий (табун, лес, геометрическая фигура, группа и т.п.). Множество называется конечным, если оно содержит конечное число элементов (число деревьев в лесу, число студентов в группе). Множество может состоять даже из одного элемента. Пустое множество не содержит ни одного элемента (нулевой отрезок). Множество называется бесконечным, если в нем бесконечно много элементов (множество точек на окружности).
Так, например, определение на прямой линии l точки, удаленной от точки С на расстояние 30 мм. Конструктивные задачи целесообразно решать в такой последовательности: анализ задачи, её исследование, составление пространственного плана (алгоритма) решения и доказательство правильности решения. Целью анализа является разбиение задачи путем рассуждений на составные части (множества) и установление связи между заданными и искомыми величинами. Множество точек, удаленных от точки С на расстояние 30 мм, представляет собою сферу с центром в точке С и радиусом 30 мм. Ответом являются точки пересечения прямой линии l со сферой. Целью исследования является установление возможного количества решений и тех параметров, от которых зависит это количество ответов. В нашем примере количество решений зависит от взаимного расположения геометрических образов. Если расстояние между точкой и прямой больше радиуса сферы, то задача не имеет решения. Если расстояние между точкой и прямой меньше радиуса сферы, то задача имеет два решения. Если расстояние между точкой и прямой равно радиусу сферы, то задача имеет одно решение (касание прямой линии со сферой). Очень часто анализ дает сжатый алгоритм, который затем разворачивается в план графического решения задачи (см. 4.3.2, рис. 4.8). Целью доказательства является установление правильности решения на основе всех правил и теорем начертательной геометрии.
Рассмотрим ещё пример. Даны три скрещивающиеся прямые линии а, b и с, требуется провести четвертую прямую линию d, параллельно прямой с и пересекающую прямые а и b (рис. 5.24). Множество прямых, параллельных прямой c и пересекающих а, определяет плоскость α. Множество прямых, параллельных прямой с и пересекающих b, определяет плоскость β. Плоскости α и β пересекаются по прямой d. Задача всегда имеет одно решение, так как плоскости в пространстве всегда имеют пересечение по собственной или несобственной прямой линии.
Рис. 5.24. Проведение прямой линии d параллельно прямой линии с и пересекающей прямые линии а и b
|
5 y + z ≤ 8.
 |
Рис. 5.25. Решение неравенств
Первому неравенству отвечает множество точек, расположенных левее плоскости α, второму неравенству отвечает множество точек, расположенных впереди плоскости β, третьему неравенству отвечает множество точек, расположенных выше плоскости π, и наконец, четвертому неравенству отвечает множество точек, расположенных за плоскостью γ. В пересечении плоскостей α, β, π1 и γ получается прямоугольная пирамида, которая отвечает решению заданной системы неравенств.
На практике не существует, задач в чистом виде сформулированных на языке геометрии. Все задачи носят реальной физический характер. На первом этапе геометрического моделирования реально существующая проблема описывается геометрическими терминами, т.е создается геометрическая модель исходного явления, которая позволяет с помощью некоторого алгоритма сопоставить исходным параметрам ответный результат. В дальнейшем полученная модель анализируется и исследуется, в результате чего идее усовершенствование модели. Когда сконструированная модель становится достаточно удобной или, по крайней мере, уже не видно путей её дальнейшего усовершенствования, возникает необходимость в её реализации и создании какого-либо технического устройства.
Развитие начертательной геометрии идет в следующих направлениях:
· систематизация, дальнейшее развитие и широкое применение существующих геометрических алгоритмов;
· анализ и систематизация численно-знаковой информации и дальнейшая разработка правил и законов чтения и выполнения чертежей различных отраслей производства для создания программного обеспечения машинной графики;
· изучение законов зрительного восприятия и особенностей наглядных изображений;
· изучение различных свойств геометрических моделей и методов геометрического моделирования применительно к конкретным специальностям;
· интеграция и обновление содержания образования через универсальные геометрические модели.
Список рекомендуемой литературы
1. Арустамов Х.А. Сборник задач по начертательной геометрии. –М.: Машиностроение, 1969.– 376 с.
2. Бубенников А.В. Начертательная геометрия: Учеб. для втузов.– 3–е изд., перераб. и доп.–М.: Высш. шк., 1985.– 288 с.
3. Вальков К.И. Лекции по основам геометрического моделирования. – Л.: ЛГУ, 1975. – 180 с.
4. Вальков К.И. Введение в теорию моделирования. – Л.: ЛИСИ, 1974. – с.
5. Вальков К.И., Дралин Б.И., Клементьев В.Ю.,Чукова М.Н. Начертательная геометрия, инженерная графика и машинная графика. М.: Высш. шк., 1997.– 428 с.
6. Вольберг О.А. Лекции по начертательной геометрии. –М., Л.: Учпедгиз, 1947. – 348 с.
7. Гордон В.О. Курс начертательной геометрии: Учебное пособие для втузов. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А./ Под ред. В.О. Гордона и Ю.Б. Иванова. – М.: Высш. шк., 2000. – 272 с.
8. Гордон В.О. Сборник задач по курсу начертательной геометрии/ В.О. Гордон, Ю.Б. Иванов, Т.Е. Солнцева.– М.: Наука, 1969.– 351 с.
9. Крылов Н.Н. Начертательная геометрия. Учеб. для вузов /Н.Н. Крылов, Г.С. Школьникова, В.Л. Николаев, Н.М. Лаврухина; Под ред. Н.Н. Крылова. – 6-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1990. – 240 с.
10. Локтев О.В. Краткий курс начертательной геометрии: учебник для вузов. – 4-е изд стер. – М.: Высшая школа, 2005. – 136 с.
11. Нартова Л.Г. Начертательная геометрия: Учеб. пособие для студ. технич. специальностей вузов / Нартова Л.Г., Якунин В.И. – М.: Издательский центр «Академия», 2005. – 288 с.
12. Павлова А.А. Начертательная геометрия: Учеб. для студ. высш. учеб. Заведений. – М.: Гуманитарный издательский центр «Владос», 1999. – 304 с.
13. Посвянский А.Д. Краткий курс начертательной геометрии. – М.: Высш. шк., 1970. – 240 с.
14. Тарасов Б.Ф. Начертательная геометрия / Тарасов Б.Ф., Дудкина Л.А., Немолотов С.О. 4-е изд стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2004. – 256 с.
15. Фролов С.А. Начертательная геометрия: Учеб. для втузов. – М.: Машиностроение, 1978. – 240 с.
16. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение: учеб. для студентов вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Гуманитарный издательский центр «Владос», 1999. – 471 с.
Составитель
Татьяна Александровна Баздерова