Рассмотрим прямые и .
1. Прямые пересекаются, если
. (4.9)
Угол между прямыми находят по формуле:
. (4.10)
Например, прямые и пересекаются, так как , а и . Найдем угол между этими прямыми. Так как , то .
2. Прямые перпендикулярны, если выполняется условие:
(4.11)
3. Прямые параллельны, если
и . (4.12)
Например, прямые и параллельны, так как и .
4. Прямые совпадают, если:
и . (4.13)
Пример 4. Запишите уравнение прямой, если известно, что эта прямая проходит через точку и перпендикулярна прямой .
Решение. Запишем уравнение данной прямой в виде 4.3:
, .
Так как искомая прямая перпендикулярна данной прямой, то выполняется равенство 4.11: , откуда .
Согласно формуле 4.4 запишем:
или .
Ответ: .
Расстояние от точки до прямой
находят по формуле:
. (4. 14)
Пример 5. Найдите длину высоты АD треугольника АВС, если , , .
Решение. 1. Согласно формуле 4.6 запишем уравнение стороны ВС этого треугольника: , откуда , , , .
2. Так как , то длину отрезка AD найдем по формуле 4.14: .
Ответ: .
Кривые второго порядка
Уравнение линии второго порядка:
(4.15)
Рассмотрим некоторые виды линий второго порядка.
1. Окружность – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой центром.
В случае окружности уравнение 4.15 примет вид:
.
Рассмотрим расположение окружности на координатной плоскости.
Если центр окружности находится в точке , а ее радиус равен R (рис. 4.4), то уравнение окружности имеет вид:
. (4.16)
Если центр окружности находится в точке , а ее радиус равен R (рис. 4.5), то уравнение окружности имеет вид:
. (4.17)
y |
х |
y |
O |
R |
x |
O |
О/ |
а |
b |
Рис. 4.4 Рис. 4.5
Например, запишем уравнение окружности с центром в точке и радиусом . Получим: .
Пример 6. Найдите сумму координат центра окружности .
Решение. В данном уравнении выделим полные квадраты:
, , .
Получили окружность с центром в точке и радиусом .
Ответ: – 3.
2. Эллипс – это геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Расстояние от точки до фокуса называют фокальным радиусом.
Каноническое уравнение эллипса:
, (4.18)
где a – большая полуось; b – меньшая полуось.
Фокусы имеют координаты и , где
. (4.19)
На рисунке 4.6: – большая ось эллипса; – малая ось эллипса; – расстояние между фокусами.
В 1 |
В 2 |
А 1 |
А 2 |
F |
b |
y |
-a |
- b |
O |
x |
a |
O |
F 2 |
F 1 |
Рис. 4.6
Эксцентриситет эллипса находят по формуле:
. (4.20)
Если же , то , а .
Пример 7. Составьте каноническое уравнение эллипса, если его большая ось равна 10, а эксцентриситет равен 0,4.
Решение. Так как , то . Так как и , то . Зная, что , запишем , откуда .
Каноническое уравнение эллипса: .
Ответ: .
3. Гипербола – это геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разностей расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение гиперболы:
, (4.21)
где a – действительная полуось; b – мнимая полуось.
Фокусы имеют координаты и , где
. (4.22)
На рисунке 4.7: – действительная ось гиперболы; – мнимая ось; – расстояние между фокусами; точки А 1 и А 2 – ее вершины.
В 2 |
А 1 |
F 1 |
х |
y |
O |
F 2 |
В 1 |
А 2 |
Рис. 4.7
Эксцентриситет гиперболы находят по формуле:
. (4.23)
Уравнения асимптот гиперболы:
. (4.24)
Пример 8. Запишите уравнение гиперболы и найдите расстояние между фокусами, если действительная ось гиперболы равна 10, а ее мнимая полуось равна 2.
Решение. Так как , то . По условию задачи .
Запишем каноническое уравнение гиперболы: .
По формуле 4.22 найдем с: .
Найдем расстояние между фокусами: .
Ответ: ; .
4. Парабола – это геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и прямой, называемой директрисой.
Каноническое уравнение параболы:
(4.25)
где ось OX – ось симметрии параболы; p – расстояние от фокуса до директрисы (рис. 4.8).
Фокус имеет координаты . Уравнение директрисы параболы имеет вид .
Если осью симметрии параболы является ось OУ, то каноническое уравнение параболы имеет вид:
(4.26)
В этом случае фокус имеет координаты , а уравнение директрисы d параболы имеет вид (рис. 4.9).
F |
d |
y |
х |
y |
O |
F |
x |
O |
d |
Рис. 4.8 Рис. 4.9
Пример 9. Запишите уравнение параболы, если фокус имеет координаты .
Решение. 1. Так как фокус параболы расположен на оси абсцисс, то уравнение параболы имеет вид .
2. Так как фокус имеет координаты , то , а .
3. Запишем уравнение параболы: .
Ответ: .
Контрольный тест 4
Укажите правильный вариант ответа (1 – 10):
1. Если прямая пересекает оси координат в точках и
, то ее уравнение с угловым коэффициентом имеет вид
Варианты ответов: 1) ; 2) ;
3) ; 4) ; 5) .
2. Если прямая проходит через точки и , то уравнение этой прямой в общем виде записывают
Варианты ответов: 1) ; 2) ;
3) ; 4) ; 5) .
3. Если угловой коэффициент прямой, проходящей через точку , равен 5, то уравнение этой прямой в отрезках имеет вид
Варианты ответов: 1) ; 2) ;
3) ; 4) ; 5) .
4. Даны прямые:
; | (1) | ; | (2) |
; | (3) | ; | (4) |
. | (5) |
Параллельными являются прямые
Варианты ответов: 1) (1), (3) и (5); 2) (1) и (2); 3) (2) и (5);
4) (1), (3), (4) и (5); 5) (3) и (4).
5. Даныпрямые:
; | (1) | ; | (2) |
; | (3) | (4) |
Перпендикулярными являются прямые
Варианты ответов: 1) (1) и (2); 2) (1) и (3); 3) (2) и (3);
4) (3) и (4); 5) (2) и (4).
6. Сумма расстояний от точки до прямых и равна
Варианты ответов: 1) 8; 2) 5; 3) 1,5; 4) 3,25; 5) 4,5.
7. Если уравнение окружности имеет вид , то сумма координат точки, которая является ее центром, равна
Варианты ответов: 1) 3; 2) – 3; 3) – 15; 4) 15; 5) 0.
8. Если эллипс пересекает ось Ox в точках и , а ось Oy в точках и , то его фокусы находятся в точках
Варианты ответов: 1) , ;
2) , ; 3) , ;
4) , ; 5) , .
9. Если гипербола проходит через точки и , причем длина ее мнимой полуоси b в 2 раза меньше длины действительной полуоси a, то значение выражения равно
Варианты ответов: 1) 9; 2) 4; 3) 3,5; 4) 7,5; 5) 4,5.
10. Если уравнение параболы имеет вид , то ее фокус находится в точке, сумма координат которой, увеличенная в 2 раза, равна
Варианты ответов: 1) 2,5; 2) 5; 3) 10; 4) 20; 5) 25.