ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ПРОЦЕССАИ ИХ БЕЗРАЗМЕРНЫЕ КОМБИНАЦИИ

Основы анализа размерностей

Изучение закономерностей механических явлений и про­цессов непосредственно связано с измерением физических величин.

Анализ размерностей представляет собой метод установления связи между физическими величинами, основанный на рассмотре­нии их размерностей. Метод анализа размерностей предполагает систематическое изучение свойств размерностей различных пара­метров описывающих механический процесс, установление струк­туры наиболее общих функциональных связей между ними, выбор систем единиц измерения и способа перехода от одних единиц измерения к другим [74].

 

ЕДИНИЦЫИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН.

ФОРМУЛА РАЗМЕРНОСТИ

При количественном описании любого физического явления обычно указываются численные значения некоторых постоянных и переменных величин, а также единицы измерения, в которых они выражаются. Единица измерения является мерой, с помощью которой измеряются и сравниваются между собой величины физических характеристик одинаковой природы.

В зависимости от способа сравнения измеряемой величины с эталоном силы, например, измеряются в килограммах, динах, ньютонах, фунтах; длины — в метрах, сантиметрах, футах и т. д. Выбранный способ измерения данной величины характеризует ее размерность, обозначаемую символом dim (от французского слова- dimension — размерность). Например dimV = м/с (следует чи­тать: размерность скорости V — м/с).

Совокупность постоянных и переменных величин, описываю­щих физический процесс, в общем случае может быть разделена на четыре группы: первичные величины, вторичные величины, размерные постоянные, безразмерные величины.

Первичными называют величины, имеющие размерность основ­ных, независимых единиц измерения. Следовательно, размерность первичной величины пропорциональна первой степени одной из основных единиц измерения. Так, например, если в качестве основных единиц выбраны единица длины L и единица времени Т, то геометрические размеры конструкции k(i=1, 2, п), пе­риод собственных колебаний t и время затухания вынужденных колебаний τ будут первичными величинами, поскольку diml_i = L,dimt =dim τ = T.

Размерности вторичных величин пропорциональны степеням одной или нескольких основных единиц измерения. Если размер­ность вторичной величины образована лишь одной из основных единиц измерения, то показатель степени при этой размерности отличен от единицы. Таким образом, вторичные величины, с точки зрения структуры их размерностей, являются производными по отношению к первичным величинам. В качестве примера вторич­ных величин для тех же основных единиц L и Т можно привести площади F и осевые моменты инерции J поперечных сечений эле­ментов конструкции, а также скорости v и ускорения а в ее харак­терных точках.

 

Здесьdim F = L²,dim J = L⁴, dim v = LT^-1, dim a — LT^-2.

 

Вопрос о размерных постоянных при изучении физических явлений возникает, если количество независимых единиц измере­ния выбирается без учета функциональных связей между перемен­ными. Например, при исследовании механических явлений можно исходить из трех основных единиц измерения — единицы длины L, единицы массы М и единицы времени Т. В этом случае, опираясь на уравнение закона Ньютона, связывающего величины силы F, массы т и ускорения а, можно установить

F= та,dimт = М, dimа = LT^-2,dimF = LMT^-2. (1.1)

При таком выборе основных единиц масса т. играет роль пер­вичной величины, сила F и ускорение а представляют собой вторичные величины, а требование равенства размерностей обоих частей уравнения Ньютона (1.1) удовлетворяется тождественно dimF = dim(та).

Если же в качестве основных единиц измерения, в дополнение к трем единицам L, М, Т, установить четвертую независимую единицу — единицу силы Р, то размерности

правой и левой частей уравнения (1.1) не совпадут dimF= Р,dim(та) = LMT^-2, dimF≠dim(та).

Для обеспечения размерностной однородности закона Ньютона при таком выборе основных единиц необходимо ввести в уравне­ние (1.1) размерную постоянную с:

F = ста,dim с == PL^-1M^-1T². (1.2)

Коэффициент с в уравнениях (1.2) является физической постоян­ной, численное значение которой зависит от конкретного выбора основных единиц измерения. Примерами размерных постоянных в механике служат также ускорение силы тяжести и гравита­ционная постоянная в законе всемирного тяготения.

 

Если при определении размерности физической величины со­ставляющие ее основные единицы измерения сокращаются, то такая величина называется безразмерной. Безразмерными вели­чинами являются относительные координаты точек тела, аэроди­намические коэффициенты профиля крыла, относительные дефор­мации упругой конструкции. Постоянные и переменные безраз­мерные величины занимают особое место при изучении подобия физических явлений.

Таким образом, в основу разделения любых постоянных и пе­ременных величин на перечисленные самостоятельные группы по­ложены характеристики их размерности, выражаемые через основ­ные единицы измерения.

Основными единицами, по предложению К. Гаусса, следует считать такие, размер которых не зависит от размеров единиц других физических величин и может быть выбран произвольным.

. Практически при выборе основных единиц измерения необходимо соблюдать ряд условий. В частности, единицы, выбираемые за основные, должны отражать наиболее общие формы существова­ния материи (например, масса, пространство, время); они должны допускать техническое воспроизведение своих эталонов о наи­высшей для современной науки-точностью, одинаковой для лю­бого места и времени; метод воспроизведения основных единиц должен быть принят в международной практике, а их размер быть удобным для практического использования; уравнения, определяющие производные единицы измерения через основные, не должны содержать числовых коэффициентов, отличающихся от единицы ^х.

В зависимости от выбора основных единиц, известны различные системы единиц измерения. Количество их достаточно велико, так как в различных областях приложений удобно иметь свои собственные, местные единицы.

В различных системах единиц измерения могут различаться как сами основные единицы, так и их количество. Практическое применение нашли трех-, четырех-, пяти- и семиразмерные си­стемы единиц. Наиболее распространенные из них приведены в табл. 1.1. Общесоюзным стандартом ГОСТ 8.417—81 и его по­следующие редакции: МУС № 9—83; №3—85) для обязательного применения в СССР введена Международная система единиц измерения (SistеmInternational, СТ СЭВ 1052—78).

По определению вторичной, то есть производной, величины ее размерность пропорциональна степеням основных единиц из­мерения. В общем случае она представляет собой степенную функцию основных размерных величин в выбранной системе еди­ниц измерения.

 

 

Если, например, рассматривается механическая система еди­ниц, в которой основными являются единицы длины L, массы М, времени Т, то размерность любой производной величины будет иметь вид

dimQ = LᵅMᵝTᵞ. (1.3)

Выражение (1.3) называется формулой размерности. Здесь α, β, ɣ— показатели степени, различные для каждого конкретного вида величины Q. Например, размерность ускорения dimа = L¹M⁰T^-2, размерность силы dimF=L¹M¹T^-2, размерность напряжения dimσ=L^-1M¹T^-2.

В различных системах единиц формула размерности для одной и той же величины F может содержать иное число основных еди­ниц и иные значения показателей α, β, ɣ, чем в формуле (1.3). Существенным здесь является тот факт, что в любой системе единиц измерения формула размерности физических величин имеет вид степенного одночлена [74]

При переходе от одних единиц измерения к другим изменяются числовые значения физических величин. Способ пересчета чис­ловых коэффициентов в формулах для числовых значений величин основан на применении формулы размерности (1.3) [74, 31].

Процедура перехода к новым единицам измерения — вторич­ным величинам по отношению к основным единицам первона­чального базиса — приводит к изучению свойств определителя квадратной матрицы

Элементы этой матрицы — показатели размерности вторичных величин.

В алгебраической теории размерностей такие матрицы, имеющие в общем случае различное число строк и столбцов,' носят название матриц размерностей.

ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫПРОЦЕССАИ ИХ БЕЗРАЗМЕРНЫЕ КОМБИНАЦИИ

 

Изучение всякого нового явления, попытка проникновения | в его физическую сущность начинается с перечисления величин,существенных с точки зрения исследователя для описания данного явления или процесса.

В случае, если процесс изучен недостаточно и рассматриваемое физическое явление представляется лишь в самых общих чертах, может оказаться, что перечень наиболее важных, с нашей точки зрения, параметров процесса будет содержать некоторое количество второстепенных величин, несущественных для дан­ного явления в целом. С этой точки зрения весьма важными являются выделение основных факторов данного процесса, определяющих класс явления [74], и его правильная схематизация, требующие зачастую предварительных качественных исследований.

Минимально возможное количество размерных и безразмерных переменных и постоянных величин, необходимых и достаточных для однозначного определения состояния системы, принято на­зывать определяющими параметрами данного класса явлений. К определяющим параметрам относятся геометрические и физи­ческие характеристики материального объекта, а также незави­симые переменные, включая координаты пространства и времени.

Помимо определяющих параметров, среди характеристик про­цесса выделяют также искомые величины. Их количество опреде­ляется экспериментатором, исходя из физических представлений и возможностей эксперимента. К искомым величинам относятся все зависимые переменные, являющиеся функциями определяю­щих параметров.

Таким образом, полный список основных параметров любого физического явления должен содержать как определяющие пара­метры системы, так и искомые величины, подлежащие опреде­лению.

В качестве примера на выделение основных параметров явле­ний, принадлежащих с точки зрения анализа размерностей к раз­личным классам, рассмотрим процессы статического нагружения, колебаний и нагрева упругого тела.

Задача статической прочности считается решенной, если из­вестно распределение компонентов напряжений σ_ij, деформаций и перемещений ε_ij в любой точке тела с координатами х, у, z (i, j= х, у, z). Размеры l и форма тела, внешние нагрузки Р, меха­нические свойства Е, v (Е — модуль упругости первого рода, v— коэффициент Пуассона) материала при этом считаются за­данными.

Схематизируя явление упругости и отбрасывая в первом при­ближении такие второстепенные факторы, как, например, пьезо­эффект, выделение и поглощение тепла при изменении объема деформируемого тела и т. п., следует принять в качестве основных параметров в задачах статической прочности величины

В перечне (1.5) подчеркнуты определяющие параметры для класса явлений статической упругости. Под величиной l здесь надо по­нимать некоторый характерный размер, при помощи которого могут быть выражены все остальные размеры и координаты точек тела. Под σ, ε,и понимаются компоненты напряжений, деформаций и перемещений в обобщенном смысле, которые могут принимать любые из значений σ_ij,ε_ij,u_i.

При динамическом нагружении тела в число основных пара­метров необходимо дополнительно включить массовую плотность материала ρ, характерное время процесса τ, частоту колебаний ω, локальные ускорения j. Перечень основных параметров при этом приобретает вид

Здесь и далее в списке основных параметров подчеркнуты физи­ческие величины, определяющие класс явления.

 

Рассматривая динамические задачи для упругого тела, подвер­женного воздействию заданного температурного поля t (х, у, z), следует дополнить перечень (1.6) характерной температурой tи включить в этот перечень коэффициент теплового расширения материала ос. В этом случае придем к следующей группе основных параметров:

Если же в динамической задаче термоупругости температурное поле заранее неизвестно и термические условия определяются тепловым потоком q, то температура t должна быть отнесена к группе искомых величин, а тепловой поток и коэффициенты тепло- и температуропроводности λ, а — к определяющим пара­метрам класса явлений:

 

 

В результате экспериментального или теоретического иссле­дования процесса, для которого основные параметры указаны, например, в перечне (1.7), зависимости между искомыми вели­чинами и определяющими параметрами всегда могут быть пред­ставлены в виде функциональных связей:

 

 

Таким образом, определяющие параметры представляют собой те же исходные данные, которые необходимо знать для вы­числения искомой функции аналитическим путем или при помощи ЭВМ. В экспериментальных исследованиях определяющие пара­метры характеризуют каждый отдельный опыт и составляют группу величин, необходимых и достаточных для повторения и сравнения различных экспериментов.