Сформируем взвешенную функцию ошибки

.

Весовая функция g(θ) определяется следующим образом

При g<1 пульсации АЧХ в полосе пропускания меньше, чем в полосе задерживания, а при g>1 наоборот. На рисунке представлен случай, когда g = 1 и пульсации в полосе задерживания такие же, как в полосе пропускания.

Доказано, что в случае оптимального решения ошибка имеет по крайней мере k₀+2 экстремума. Обозначим через , где i= 0,1,..k₀+1, нормированные частоты экстремумов.

На этих частотах должно выполняться условие

,

где , i =0,1,..k₀+1

Приведенные соотношения представляют собой систему k₀+2 линейных уравнений с k₀+2 неизвестными, из которых k₀+1 неизвестная – коэффициенты C_k аппроксимирующей функции A(θ), а ещё одна неизвестная - ошибка .

Трудность решения задачи состоит в том, что частоты неизвестны.

Поэтому сначала произвольно выбирают k₀+2 значения частот, решают приведенную систему уравнений, находят C_k и и анализируют ошибку аппроксимации во всем интервале частот. Если в некоторых точках фактическая ошибка превосходит , то выбирают новое множество экстремальных частот путем рассмотрения K+2 точек, где эта ошибка максимальна и имеет чередующийся знак.

В этой процедуре значение на каждом шаге возрастает и, в конце концов, сходится к своей верхней границе.

 

 

Рисунок -. Окно графической среды FDATool MATLAB с АЧХ фильтра,

синтезированного по методу наилучшей равномерной аппроксимации

(Equiripple) при , ,

 

Нижняя нормированная частота полосы пропускания фильтра равна

Верхняя нормированная частота полосы пропускания фильтра

 

Нормированная ширина левой переходной полосы равна

Нормированная ширина правой переходной полосы равна

При симметричной АЧХ

Исходными данными для данной графической среды являются:

5. Тип фильтра: Bandpass (полосовой фильтр), FIR Equiripple, синтезированный по методу наилучшей равномерной аппроксимации

6. Порядок фильтра N-1 (порядок на единицу меньше длины импульсной характеристики),

7. Способ задания частот, определяющих АЧХ фильтра Normalized (0 to 1), что соответствует изменению нормированной частоты f_N от нуля до 0.5,

8. Частоты, определяющие АЧХ фильтра:

- верхняя граница левой полосы задерживания,

- нижняя граница полосы пропускания,

- верхняя граница полосы пропускания,

-нижняя граница правой полосы задерживания;

5. Весовая функция:

Wstop1= g – весовой коэффициент левой полосы задерживания,

Wpass = 1 - весовой коэффициент в полосе пропускания,

Wstop2= g – весовой коэффициент в правой полосе задерживания.

 

На рисунке 2.94 представлен фрагмент АЧХ в пределах полосы пропускания. Из него видно, что неравномерность АЧХ в полосе пропускания равна 0.007 дБ.

.

 

Рисунок 2.94. Фрагмент АЧХ рисунка 2.93

 

Рисунки 2.95 и 2.96 представляют АЧХ и её фрагмент при весовом коэффициенте q=5.

 

 

Рисунок 2.95. Окно графической среды FDATool MATLAB с АЧХ фильтра, синтезиро-

ванного по методу наилучшей равномерной аппроксимации (Equiripple)

при , ,

 

 

Рисунок 2.96. Фрагмент АЧХ рисунка 2.95

 

При весовом коэффициенте g=5 (Wstop1=5, Wpass=1, Wstop2=5) неравномерность АЧХ в полосе пропускания увеличивается до значения 0.014 дБ, уровень пульсаций АЧХ в полосе задерживания снижается на 10дБ.

При весовом коэффициенте g=0.2 (Wstop1=0.2, Wpass=1, Wstop2=0.2) неравномерность АЧХ в полосе пропускания уменьшается до значения 0.002 дБ, уровень пульсаций АЧХ в полосе задерживания увеличивается примерно на 2дБ.

Из рисунков видно, что

· пульсации являются равновеликими как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания,

· увеличение весового коэффициента уменьшает пульсации в полосе задерживания, но увеличивает их в полосе пропускания,

 

2.15. Синтез БИХ - фильтров по принципу инвариантности импульсной характеристики

 

Преобразование Лапласа импульсной характеристики аналогового фильтра определяется соотношением

Дискретное преобразование Лапласа отличается от преобразования Лапласа функции непрерывного аргумента заменой операции интегрирования на операцию суммирования и непрерывного времени t на дискретное время nT_д

 

 

 

 

 

.

Системная функция цифрового фильтра представляет собой прямое Z-преобразование импульсной характеристики

Из сравнения двух последних соотношений определяется связь между комплексными переменными p и z

Передаточная характеристика аналогового фильтра-прототипа K(p) представляет собой дробно-рациональную функцию, у которой числитель и знаменатель выражаются полиномами относительно комплексной переменной p

Подстановка не позволяет получить системную функцию в виде дробно-рациональной функции с полиномами относительно комплексной переменной z в числителе и знаменателе.

Однако, соотношение можно использовать для связи между полюсами и нулями передаточной характеристики аналогового фильтра - прототипа и полюсами и нулями системной функции цифрового фильтра соответственно.

 

Рассмотрим пример. Пусть передаточная характеристика аналогового фильтра определяется соотношением

Полюс передаточной характеристика равен

Определим полюс системной функции цифрового фильтра

Системная функция с полюсом определяется следующим соотношением

Обозначим и определим комплексный коэффициент передачи цифрового фильтра

 

АЧХ фильтра определяется следующим соотношением

Комплексный коэффициент передачи аналогового фильтра равен

АЧХ аналогового фильтра определяется соотношением

Для сопоставления АЧХ аналогового и цифрового фильтров выразим через константу

Подставим последнее соотношение в выражение для АЧХ аналогового фильтра

На рисунке показаны АЧХ аналогового и цифрового ФНЧ при двух значениях константы A₁, определяющей граничную частоту фильтра,

АЧХ аналогового (пунктирная линия) и цифрового (сплошная линия) ФНЧ при коэффициентах A₁=-0.7 (слева) и A₁=-0.3 (справа)

 

Из рисунков видно, что в интервале нормированных частот от нуля до 0.5 АЧХ цифрового фильтра отличается от АЧХ аналогового фильтра, причём отличие тем больше, чем больше граничная частота фильтра. В полосе задерживания коэффициент передачи цифрового фильтра больше коэффициента передачи аналогового фильтра-прототипа, что уменьшает селективность цифрового фильтра по сравнению с аналоговым.

 

 

2.16. Синтез БИХ – фильтров методом билинейного Z – преобразования

 

В предыдущем параграфе было получено соотношение, связывающее комплексные переменные передаточной функции аналогового фильтра и системной функцией цифрового фильтра

Было показано, что прямое использование этого соотношения для получения системной функции на основе передаточной характеристики аналогового фильтра не позволяет получить системную функцию в виде дробно-рациональной функции с полиномами относительно комплексной переменной z в числителе и знаменателе.

Чтобы найти системную функцию воспользуемся разложением ln(z) в ряд и ограничим количество членов этого ряда. Для этого сначала представим z в виде

.

Найдем приближенное значение

.

Выражая α через z и подставляя в последнее соотношение, получим

.

После подстановки последнего соотношения в (2.78) получим

(2.79)

Это соотношение получило название билинейного Z- преобразования.

Докажем, что билинейное Z-преобразование преобразует устойчивый аналоговый фильтр в устойчивый цифровой фильтр. Для этого из последнего соотношения выразим z через p = s + jw, обозначив a = 2/T_Д

Откуда

Из этого соотношения видно, что при s<0 (условие устойчивости аналогового фильтра-прототипа) (условие устойчивости цифрового фильтра). На рисунке 2.99 показаны затемненные области устойчивости аналогового фильтра – прототипа в плоскости p и цифрового фильтра в плоскости z.

Рисунок 2.99 – Области устойчивости цифрового фильтра и аналогового прототипа

 

Таким образом, билинейное Z-преобразование преобразует левую полуплоскость плоскости p в круг единичного радиуса с центром в начале координат.

Найдем связь между цифровыми и аналоговыми частотами, на которых коэффициенты передачи цифрового фильтра и аналогового фильтра-прототипа одинаковы.

Используя билинейное Z – преобразование, можно выразить передаточную характеристику аналогового фильтра через системную функцию цифрового фильтра

Следовательно, комплексный коэффициент передачи аналогового фильтра можно выразить через системную функцию цифрового фильтра

С другой стороны, комплексный коэффициент передачи цифрового фильтра связан с системной функцией следующим соотношением

Из двух последних соотношений видно, что коэффициенты передачи цифрового фильтра и аналогового фильтра-прототипа равны при выполнении условия

Преобразуя последнее соотношение, получим

(2.80)

Таким образом, частота аналогового фильтра – прототипа связана с частотой цифрового фильтра при равенстве их комплексных коэффициентов передачи нелинейной зависимостью. Из рисунка 2.100 видно, что эта нелинейная зависимость вызывает сжатие АЧХ цифрового фильтра по сравнению с АЧХ аналогового фильтра – прототипа.

Рисунок 2.100 – АЧХ цифрового фильтра и аналогового фильтра – прототипа при использовании билинейного Z – преобразования

 

Чтобы избежать сужения полосы пропускания цифрового фильтра аналоговый прототип рассчитывают, исходя не из граничных частот полосового фильтра, а из граничных аналоговых частот, определенных по (2.80) при подстановке в эту формулу граничных частот цифрового фильтра. При этом получают цифровой фильтр с требуемыми граничными частотами.

Из (2.80) следует также, что чем выше частота дискретизации, тем ближе частота аналогового фильтра – прототипа к частоте цифрового фильтра.

Если частота цифрового фильтра удовлетворяет условию , то с погрешностью не более 5% можно считать аналоговую и цифровую частоты одинаковыми

Эффект сжатия АЧХ, хотя и искажает её форму (в случае, если АЧХ отличается от идеальной прямоугольной), играет положительную роль, предотвращая эффект наложения. Поэтому метод билинейного Z – преобразования нашёл широкое применение.

 

Заключение

 

Математическим аппаратом цифровой фильтрации является Z – преобразование. Знание трех основных свойств Z – преобразования (линейности, теоремы о задержки и о дискретной свертке) позволяет решать задачи анализа фильтра при известной схеме фильтра – графическом представлении алгоритма цифровой фильтрации.

Основные этапы анализа:

1. Выражение выходного сигнала фильтра через входной сигнал – запись разностного уравнения;

2. Выражение Z-преобразования выходного сигнала через Z – преобразование входного сигнала фильтра,

3. Определение системной функции фильтра ;

4. Определение зависимости комплексного коэффициента передачи фильтра от частоты

путем использования подстановки в выражение системной функции

5.Определение АЧХ фильтра

6.Определение ФЧХ фильтра

7.Определение импульсной характеристики фильтра путем нахождения обратного Z – преобразования системной функции фильтра.

Синтез цифровых фильтров состоит в определении коэффициентов системной функции фильтра при заданных требованиях к его АЧХ.

Важным достоинством нерекурсивных фильтров является линейность ФЧХ, поэтому все методы синтеза нерекурсивных фильтров предусматривают получение фильтра с линейной ФЧХ.

Наиболее простым из рассмотренных методов синтеза нерекурсивных фильтров является метод разложения функции, определяющей АЧХ фильтра, в ряд Фурье с последующим применением оконных функций.

Наиболее сложным с точки зрения программной реализации является метод равномерной чебышевской аппроксимации, но он обеспечивает минимальный уровень пульсаций АЧХ.

При синтезе рекурсивных фильтров чаще всего применяется метод билинейного Z – преобразования, который позволяет по известной передаточной характеристике аналогового фильтра-прототипа получить системную функцию цифрового фильтра.

 

Контрольные вопросы по теме №2:

 

1. Дайте определение прямого Z – преобразования последовательности отсчётов дискретного сигнала
2. Сформулируйте свойство линейности прямого Z - преобразования
3. Как связано прямое Z – преобразование последовательности отсчётов дискретного сигнала, задержанной на m отсчётов относительно исходной последовательности, с Z – преобразованием исходной последовательности?

4. Выразите Z-преобразование выходного сигнала цифрового фильтра рисунка 2.101 через Z –преобразование входного сигнала

 

Рисунок 2.101

1. Что такое дискретная свёртка двух последовательностей?
2. Какая связь существует между Z – преобразованием дискретной свёртки и Z - преобразованиями свёртываемых последовательностей?
3. Поясните сущность принципа суперпозиции.
4. Что такое импульсная характеристика дискретной линейной системы?
5. На рисунке 2.102 показан входной сигнал фильтра x_n и его импульсная характеристика h_n. Начертите временную диаграмму выходного сигнала фильтра y_n.

 

Рисунок 2.102

 

10. Определите 4 отсчета импульсной характеристики h₀, h₁, h₂, h₃ цифрового фильтра рисунка 2.103, где A = -0.5

 

Рисунок 2.103

 

11. Что называется системной функцией линейной дискретной системы?

12. Определите системную функцию цифрового фильтра рисунка 2.103.

13. Какая связь существует между импульсной характеристикой и системной функцией линейной дискретной системы?

14. На входе фильтра действует сигнал x_n, а на выходе сигнал y_n. Временные диаграм-

мы этих сигналов приведены на рисунке 2.104. Определите системную функцию

фильтра.

 

Рисунок 2.104

 

15. Системная функция цифрового фильтра определяется соотношением

.

Чему равен полюс системной функции фильтра?

 

16. На рисунке 2.105 приведена импульсная характеристика цифрового фильтра. Какова системная функция фильтра?

Рисунок 2.105

 

17. Системная функция цифрового фильтра определяется соотношением

.

Чему равен нуль системной функции фильтра?

 

18. На входе фильтра (рисунок 2.106) действует сигнал x_n (рисунок 2.107). Каков выходной сигнал фильтра при нулевых начальных условиях?

 

Рисунок 2.106 Рисунок 2.107

 

 

19. Каков коэффициент передачи фильтра (рисунок 2.108) на частоте, равной четверти частоты дискретизации?

Рисунок 2.108

20. Системная функция цифрового фильтра определяется соотношением

.

Чему равен коэффициент передачи фильтра на частоте f=0?

21. На входе цифровой линии задержки (рисунок 2.109) действует синусоидальный сигнал x_n, частота которого равна одной восьмой частоты дискретизации. Чему равен фазовый сдвиг выходного сигнала y_n относительно входного сигнал?

Рисунок 2.109

22. Какой из двух цифровых фильтров рисунка 2.110 обладает линейной ФЧХ?

Рисунок 2.110

23. Системная функция цифрового фильтра определяется соотношением

.

Чему равен фазовый сдвиг, вносимый фильтром на частоте, равной четверти частоты дискретизации?

 

24. На входе цифровой цепи рисунка 2.111 действует синусоидальный сигнал с амплитудой, равной единице. Чему равна амплитуда выходного сигнала?

Рисунок 2.111

 

25. Системная функция цифрового фильтра описывается соотношением

.

Сделайте вывод об устойчивости фильтра.

 

26. Сделайте вывод об устойчивости фильтра рисунка 2.112 при A1₁= -0.5, A1₂= - 1.9.

Рисунок 2.112

 

 

27. На рисунке 2.113 приведена импульсная характеристика цифрового фильтра. Сделайте заключение об устойчивости фильтра

Рисунок 2.113

 

28. Системная функция цифрового фильтра описывается соотношением

, где A₁ = 0.1, А₂ =0.9

Сделайте вывод об устойчивости фильтра.

 

29. Системная функция цифрового фильтра определяется соотношением

.

Сделайте вывод об устойчивости фильтра.

 

Контрольная карта ответов по теме №2

 

Номер ответа соответствует номеру контрольного вопроса в предыдущем разделе.

 

4.

9.

 

10. h₀ = 1.000, h₁= 0.500, h₂ = 0.250, h₃ = 0.125.

 

14.

 

15. z_п = 0.5

 

16.

 

17. z₀ = - 0.8

 

18. y₀ = 1, y₁ = 2, y₂ =1

19. K=2

 

20. K=0

 

21.

 

22. Рисунок 2.110a

 

23

 

24. Амплитуда выходного сигнала Y=1

 

25. Не устойчив

26. Не устойчив

27. Устойчив

28. Устойчив

29. Устойчив

 

Список литературы по теме №2:

 

1. В.Г.Иванова, А.И.Тяжев. Цифровая обработка сигналов и сигнальные процессоры / Под редакцией д.т.н., профессора Тяжева А.И. - Самара, 2008г.

2.Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. Цифровая обработка сигналов: процессоры, алгоритмы, средства проектирования. –2-е изд., перераб. и доп.- СПб.: Политехника, 1999. –592с.:ил.

3.А.Б. Сергиенко. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2002.-2002.-608с.:ил.

4.А.И. Солонина, Д.А. Улахович, С.М. Арбузов, Е.Б. Соловьёва. Основы цифровой обработки сигналов.- Изд. 2-е испр. И перераб. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005.-768с.: ил.

5.Л. Рабинер, Б. Гоулд. Теория и применение цифровой обработки сигналов.- Издательство «Мир», 1978. –848с.,ил.

6.В. Каппелини, А.Дж.Константинидис, П.Эмилиани. Цифровые фильтры и их применение.- М.:Энергоатомиздат, 1983-360с.:ил.

7.Р.В. Хемминг. Цифровые фильтры. – М.: Сов. Радио, 1980-224с., ил.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Синтез гауссовского ФНЧ

Исходные данные:

 

1.Нормированная граничная частота полосы пропускания фильтра ,

2.Неравномерность АЧХ в полосе пропускания ,

3. Ослабление в полосе задерживания (селективность) .

 

Требуемая АЧХ, определяемая функцией Гаусса,

 

 

Графики АЧХ с использованием линейного и логарифмического

масштаба по оси ординат

 

Расчет коэффициентов системной функции – отсчётов импульсной

характеристики

 

Ввод ориентировочного значения длины импульсной характеристики и его

последующее уточнение

 

Формулы для коэффициентов Фурье

 

 

 

Расчёт реальной АЧХ фильтра

 

 

Построение графиков требуемой D(f_N) и реальной K(f_N) АЧХ

 

 

Реальная АЧХ должна совпадать и требуемой АЧХ при значениях коэффициента передачи больших и равных 1/Se.

Если это условие не выполняется, то длину импульсной характеристики N (нечётное число) нужно увеличить.

Если уровень пульсаций АЧХ в полосе задерживания существенно меньше допустимого значения, то длину импульсной характеристики можно уменьшить.

 

Массив значений отсчётов импульсной характеристики

 

 

Построение графика импульсной характеристики

 

 

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Синтез гауссовского полосового фильтра

Исходные данные:

 

1.Средняя нормированная частота полосы пропускания фильтра ,

2. Нормированная полоса пропускания ,

3.Неравномерность АЧХ в полосе пропускания ,

3. Ослабление в полосе задерживания (селективность) .

 

Требуемая АЧХ, определяемая функцией Гаусса,

 

.

 

Графики АЧХ с использованием линейного и логарифмического

масштаба по оси ординат

 

 

Расчет коэффициентов системной функции – отсчётов импульсной

характеристики

 

Ввод ориентировочного значения длины импульсной характеристики и его

последующее уточнение

 

 

Формулы для коэффициентов Фурье

 

 

 

 

 

Расчёт реальной АЧХ фильтра

 

 

 

Построение графиков требуемой D(f_N) и реальной K(f_N) АЧХ

 

 

Реальная АЧХ должна совпадать и требуемой АЧХ при значениях коэффициента передачи больших и равных 1/Se.

Если это условие не выполняется, то длину импульсной характеристики N (нечётное число) нужно увеличить.

Если уровень пульсаций АЧХ в полосе задерживания существенно меньше допустимого значения, то длину импульсной характеристики можно уменьшить.

 

Массив значений отсчётов импульсной характеристики

 

 

 

Построение графика импульсной характеристики