Свойства неопределенного интеграла

Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения.

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

.

 

2. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

.

 

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

.

 

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

, а − постоянная.

 

5. Неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) их неопределенных интегралов:

.

 

6. Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой от нее функции.

Если , то и , где .

 

Таблица основных интегралов

 

1.	;
2.	;
3.	;
4.	;
5.	;
6.	;
7.	;
8.	;
9.	;
10.	;
11.	;
12.	;
13.	;
14.	.

 

Линейные подстановки

При сведении данного интеграла к табличному часто используются преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»).

I. Под знак дифференциала, стоящего в интеграле, можно ввести любое постоянное слагаемое.

При любой постоянной а будет

.

Поэтому

.

Примеры

1. ;

 

2. ;

 

3. .

 

II. Под знак дифференциала, стоящего в интеграле, можно ввести любой постоянный множитель, разделив на него интеграл.

Известно, если а − постоянно, то

.

Тогда

.

Поэтому

.

 

Примеры

1. ;

 

2. ;

 

3. .

 

В некоторых случаях применяют оба приема вместе:

,

где а и b − постоянные.

 

 

Примеры

2. ;

 

3. .

 

 

Подстановка вида

Правило.

Чтобы найти интеграл , надо

1) переписать интеграл в виде

;

2) сделать замену , что приведет к интегралу

;

3) найти последний интеграл;

4) в полученном ответе произвести обратную замену u на .

 

Примеры

1.

;

 

2. ;

 

Подстановка вида

Правило.

Чтобы найти интеграл , надо

1) перейти к новой переменной t, связанной с х выражением ;

2) выразить через t все подынтегральное выражение :

;

3) найти новый интеграл:

;

4) в полученном ответе произвести обратную замену на х.

 

Примеры

1.

2.

.

 

Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям следует из формулы дифференцирования произведения двух функций.

Если и − дифференцируемые функции, то

 

Последняя формула называется формулой интегрирования по частям. Она сводит вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться более простым, чем первый.

В таблице приведены типы интегралов, которые могут быть вычислены только по частям, и указано, что следует принимать за u и, что на dv.

 

№ п/п	Интеграл	u	dv
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

 

где а и b − числа.

 

Замечание.

Иногда, для получения результата надо последовательно применить интегрирование по частям несколько раз.

 

Примеры

1. ;

 

2.

;

Понятие определенного интеграла

 

Общий предел всех интегральных сумм функции f(x) на отрезке [a, b] называется определенным интегралом от функции f(x) в пределах от a до b и обозначается:

.

Таким образом,

В этом случае функция f(х) называется интегрируемой на [ a, b ].

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования,

f(х) — подынтегральной функцией,

х — переменной интегрирования.