Если кривая вращаетсяотносительно оси Oy,то площадь поверхности тела вращения
Пример. Вычислить площадь S поверхности шарового пояса, образованного вращением полуокружности 
, 
, вокруг оси Ox
Найдем 
: 
, тогда
,
где 
– высота пояса.
 |
.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами
Интегрирования (I рода)
Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [ a,+∞).
Если существует конечный предел
,
то его называют несобственным интегралом I рода и обозначают
.
Таким образом, по определению,
Если предел конечен, то говорят, что интеграл сходится. Если же предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл не существует или расходится.
Аналогично вводится несобственный интеграл по промежутку (–∞, b ]:
.
Наконец, как сумму интегралов можно определить несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами, т.е.
,
где с – произвольное число.
Интеграл в левой части формулы сходится, если сходятся оба интеграла в правой части.
Несобственные интегралы первого рода можно вычислять по формуле Ньютона-Лейбница, а не только по определению.
Несобственные интегралы от неограниченных функций (II рода)
Пусть функция f(x) непрерывна на интервале [ a, b) и имеет бесконечный разрыв при 
.
Если при любом бесконечно малом ε >0 существует конечный предел
, (5)
то его называют несобственным интегралом II рода и обозначают:
. (6)
Таким образом, по определению,
.
Пример. Вычислить 
.
Решение. При 
у функции 
бесконечный разрыв. Поэтому
Þ интеграл расходится.
Варианты индивидуальных заданий
В задачах 1 – 20 найти неопределенные интегралы.
1. а) 
; б) 
; в) 
.
2. а) 
; б) 
; в) 
.
3. а) 
; б) 
; в) 
.
4. а) 
; б) 
; в) 
5. а) 
; б) 
; в) 
.
6. а) 
; б) 
; в) 
.
7. а) 
; б) 
; в) 
.
8. а) 
; б) 
; в) 
.
9. а) 
; б) 
; в) 
.
10. а) 
; б) 
; в) 
.
11. а) 
; б) 
; в) 
.
12. а) 
; б) 
; в) 
.
13. а) 
; б) 
; в) 
.
14. а) 
; б) 
; в) 
.
15. а) 
; б) 
; в) 
.
16. а) 
; б) 
; в) 
17. а) 
; б) 
; в) 
.
18. а) 
; б) 
; в) 
.
19. а) 
; б) 
; в) 
.
20. а) 
; б) 
; в) 
.
В задачах 1 – 20 вычислить определенные интегралы.
1. а) 
; б) 
.
2. а) 
; б) 
.
3. а) 
; б) 
.
4. а) 
; б) 
.
5. а) 
; б) 
.
6. а) 
; б) 
.
7. а) 
; б) 
.
8. а) 
; б) 
.
9. а) 
; б) 
.
10. а) 
; б) 
.
11. а) 
; б) 
.
12. а) 
; б) 
.
13. а) 
; б) 
.
14. а) 
; б) 
.
15. а) 
; б) 
.
16. а) 
; б) 
.
17. а) 
; б) 
.
18. а) 
; б) 
.
19. а) 
; б) 
.
20. а) 
; б) 
.
В задачах 1 – 20 найти площади фигуры, ограниченных линиями. Сделать чертеж.
1. 
, 
, 
. 2. 
, 
.
3. 
, 
. 4. 
, 
.
5. , 
, . 6. , , .
7. 
, 
, 
, . 8. 
, 
9. 
, , 
. 10. 
, 
.
11. , 
, 
, . 12. 
, 
, .
13. , 
. 14. 
, 
.
15. 
, . 16. , 
.
17. , . 18. 
, 
, 
.
19. 
, 
. 20. 
, 
.
В задачах 1 – 20 найти объём тела с помощью определённого интеграла.
1. Вычислить объем тела, которое получается при вращении вокруг оси 
криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой 
, прямыми 
, 
и осью абсцисс.
2. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой 
в пределах от до .
3. Вычислить объем тела, полученного от вращения вокруг оси 
трапеции, образованной прямыми 
, 
, 
и осью ординат.
4. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой и отрезком 
.
5. Определить объем тела, полученного от вращения кривой 
вокруг оси в пределах от до 
.
6. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой в пределах от до .
7. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями 
, .
8. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , , .
9. Вычислить объем тела, которое получается при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной дугой кубической параболы 
и осью абсцисс.
10. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси трапеции, образованной прямыми , , и осью ординат.
11. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривыми 
и .
12. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями 
, , .
13. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной параболой 
и прямой 
.
14. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривыми 
и .
15. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями 
, , .
16. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривыми и 
.
17. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , , .
18. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривыми 
и .
19. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой 
и прямой .
20. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , , .
В задачах 1 – 20 вычислить несобственные интегралы.
1. 
. 2. 
. 3. 
.
4. 
. 5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
. 9. 
.
10. 
. 11. 
. 12. 
.
13. 
. 14. 
. 15. 
.
16. 
. 17. 
. 18. 
.
19. 
. 20. 
.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основная:
1. Высшая математика. Курс лекций с примерами и задачами [Текст]: учебное пособие. Ч.1 / Б. В. Заборский [и др.], 2015. - 200 с. Режим доступа: https://elib.igps.ru/?47&type=card&cid=ALSFR-977f4513-0bc0-43b4-8e3b-9d196d048d30
2. Высшая математика. Курс лекций с примерами и задачами [Текст]: учебное пособие. Ч.2 / Б. В. Заборский [и др.], 2016. - 192 с. Режим доступа: https://elib.igps.ru/?64&type=card&cid=ALSFR-7b104e69-bdca-4077-9ffa-41da3c97aa1c&remote=false
Дополнительная:
1. Калинина, Елена Сергеевна. Сборник задач по высшей математике [Текст]: учебное пособие. Ч. 1 / Е. С. Калинина, Т. А. Селеменева, С. Б. Хитов; ред. Э. Н. Чижиков, 2015. - 108 с. Режим доступа: https://elib.igps.ru/?41&type=card&cid=ALSFR-f687ff41-8b10-4703-89ed-60e0164da236
2. Сборник задач по высшей математике [Текст]: учебное пособие. Ч. II / Е. С. Калинина [и др.]; ред. Э. Н. Чижиков, 2016. - 108 с. Режим доступа: https://elib.igps.ru/?76&type=card&cid=ALSFR-44a098f7-614c-4606-a7c8-0a1504766f37&remote=false
3. Вентцель, Елена Сергеевна. Теория вероятностей и ее инженерные приложения [Текст]: учебное пособие: [гриф Мин. обр.] / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров, 2003. - 464 с. Режим доступа: https://elib.igps.ru/?39&type=card&cid=ALSFR-9ecf3c68-51db-47a0-9562-cb33526ff45d&remote=false
Лист регистрации изменений
| Номер изменения | Номера листов | Основание для внесения изменений | Подпись | Расшифровка подписи | Дата | Дата введения изменения | ||
| замененных | новых | аннулированных | ||||||