Свойства определенного интеграла

1. При перестановке пределов интегрирования меняется знак интеграла:

2. Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

с Î [ a, b ].

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т. е.

6. Если функции и на отрезке удовлетворяют условию , то

т.е. неравенство можно интегрировать.

7. Если и – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке , то

8. Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка такая, что

Это равенство называется формулой среднего значения, а величина – средним значением функции на отрезке .

Геометрический смысл теоремы о среднем: величина определённого интеграла при 0 равна площади прямоугольника, имеющего высоту и основание

Формула Ньютона-Лейбница

Эта формула открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, поскольку задача вычисления определенного интеграла сводится к задаче вычисления неопределенного интеграла, которая достаточно полно изучена.

Рассмотрим примеры применения формулы Ньютона-Лейбница.

1. .

2. .

Интегрирование заменой переменной

Теорема. Пусть

1) функция и ее производная непрерывны при ;

2) множеством значений функции при является отрезок ;

3) и .

Тогда справедлива формула:

Пример. Вычислить .

Решение.

Интегрирование по частям

Теорема 3. Если функции u(х) и v(х) имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула

Пример 8. Вычислить .

Решение.

Приложения определённого интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

Пусть фигура ограничена снизу и сверху графиками функций и , (рис. 2), где и — две непрерывные функции. Если обе функции неотрицательны, то площадь S данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху соответственно графиками функций и . Следовательно,

или

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох и графиком функции , при (рис. 5).

Рис. 5

Решение. В соответствии с формулой (3), .

Тогда

(ед²).

(Сравните: .)

Вычисление объема тела вращения

Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда тело, которое образуется вращением вокруг оси Оx криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , имеет объем: