Рассмотрим численную реализацию классических задач контакта в программном комплексе ANSYS. Задачи о контактном взаимодействии рассматриваются в рамках теории упругости в осесимметричной постановке. При создании рабочей сетки использовался тип элементов PLANE182. Данный тип является четырех узловым элементом и имеет второй порядок аппроксимации. Элемент применяется для двумерного моделирования тел. Каждый узел элемента имеет по две степени свободы UX и UY. Также данный элемент применяется для расчета задач: осесимметричных, с плоским деформированным состоянием и с плоским напряженным состоянием.
В исследуемых классических задачах использовался тип контактной пары: «поверхность - поверхность». Одну из поверхностей назначают целевой (TARGET), а другую контактной (CONTA). Так как рассматривается двумерная задача, то используются конечные элементы TARGET169 и CONTA171.
Для оценки сходимости рассматривалось влияние размера конечного элемента на параметры контакта. Ниже приведено 4 варианта разбиения системы (Табл.2.5.).
Таблица № 2.5.
Количество узловых неизвестных при различных размерах элементов в рассматриваемых классических задачах о контактном взаимодействии.
| Размер элемента, м | Вдавливание сферического штампа в полимерное пространство | Вдавливание сферического штампа в сферу меньшего радиуса | ||
| Кол-во узловых неизвестных | Кол-во контактных элементов | Кол-во узловых неизвестных | Кол-во контактных элементов | |
| 0,05 | 2 тыс. | 2,6 тыс. | ||
| 0,01 | 39 тыс. | 58 тыс. | ||
| 0,007 | 79 тыс. | 118 тыс. | ||
| 0,005 | 153 тыс. | 228 тыс. |
Для наглядности, ниже представлены рисунки с изображениями конечно-элементных моделей и их трехмерные реализации.
| Рис. 2.6. Конечно-элементная модель контактного взаимодействия сферический штамп-пространство. |
| Рис. 2.7. Конечно-элементная модель контактного взаимодействия сферический штамп-сфера. |
На рис.2.6. и рис.2.7. изображена зависимость контактного давления от степени дискретизации системы.
| Рис.2.6. Численная сходимость задачи о вдавливании сферического штампа в полимерное пространство. 1 – 2 тыс.узловых неизвестных; 2 – 39 тыс.узловых неизвестных; 3 – 79 тыс.узловых неизвестных; 4 – 153 тыс.узловых неизвестных. |
 , Па
|
 , м
|
| Рис.2.7. Численная сходимость задачи о вдавливании сферического штампа в сферу меньшего радиуса. 1 – 2,6 тыс. узловых неизвестных; 2 – 58 тыс.узловых неизвестных; 3 – 118 тыс.узловых неизвестных; 4 – 158 тыс. узловых неизвестных. |
| , Па
|
| , м
|
С увеличением количества узловых неизвестных наблюдается сходимость численного решения. Также уменьшается область контакта и увеличивается значение контактного давления. На рис.2.6. и рис.2.7. линии графика 2 – 4 имеют полное совпадение практически по всему радиусу области контакта, небольшое расхождение кривых наблюдается лишь при 
(первая задача) и 
(вторая задача). Это объясняется возникновением области около контактного состояния в зоне контакта.
Для оценки сходимости численного решения задачи выполнен анализ погрешности численной реализации с использованием метода конечных элементов в условиях контактного взаимодействия относительно аналитического решения. На рис. 2.8. и рис. 2.9., показаны усредненные относительные погрешности задачи контакта сферического штампа с пространством и задачи контакта сферического штампа со сферой большего радиуса соответственно.
Узловые неизвестные * 
|
| Рис. 2.8. Относительная погрешность задачи контакта сферического штампа с пространством. |
| Погрешность *100% |
На рис. 2.8. подтверждается сходимость численного решения задачи о вдавливании сферического штампа в пространство в условиях контактного взаимодействия с увеличением степени дискретизации системы. При 
узловых неизвестных погрешность численного решения менее 10%.
Относительная погрешность численного решения задачи контактного взаимодействия сферического штампа с пространством не превышает 15%. Численное решение задачи контакта сферического штампа со сферой большего радиуса более чувствительно к числу узловых неизвестных, что наблюдается на рис. 2.9.
| Погрешность *100% |
| Узловые неизвестные *
|
| 2,6 |
| Рис. 2.9. Относительная погрешность задачи контакта сферического штампа со сферой большего радиуса. |
Из рис. 2.9. можно сделать вывод, что при числе узловых неизвестных 
погрешность численного решения задачи о вдавливании сферического штампа в сферу большего радиуса не превышает 10%.
Ниже, на рис.2.10. и рис.2.11., приведено равнение аналитических решений задач с численным решением, выполненным в программном комплексе ANSYS.
Рассмотрено два варианта численного решения задачи:
1. Задача о вдавливании сферического штампа в упругое пространство (рис. 2.10.): 39 тыс. узловых неизвестных (
) и 79 тыс. узловых неизвестных (
);
2. Задача о вдавливании сферического штампа в сферу большего радиуса (рис. 2.11.): 58 тыс. узловых неизвестных (
) и 118 тыс. узловых неизвестных (
).
| , Па
|
| , м
|
| Рис.2.10. Сравнение аналитического и численного решения первой задачи. 1 – аналитическое решение; 2 – 39 тыс.узловых неизвестных, МКЭ; 3 – 79 тыс.узловых неизвестных, МКЭ. |
Анализируя рис. 2.10. можно заметить, что наибольшее отклонение численного решения от аналитического у края контактной зоны. При этом на большей площади поверхности контакта наблюдается хорошее количественное и качественное соответствие результатов численного и аналитического решений задачи.
Как и говорилось ранее, результаты численного решения задач о вдавливании сферического штампа в сферу большего радиуса имеют большую зависимость от узловых неизвестных (рис. 2.11.). При этом также можно заметить, что задача имеет достаточно быструю сходимость.
| , Па
|
| , м
|
| Рис.2.11. Сравнение аналитического и численного решения второй задачи. 1 – аналитическое решение; 2 – 58 тыс.узловых неизвестных, МКЭ; 3 – 118 тыс.узловых неизвестных, МКЭ. |
Численного и аналитического решения задачи контакта сферического штампа с пространством имеет хорошее качественное соответствие.
При этом можно сделать вывод о сходимость аналитического и численного решений двух классических задач об индентировании сферического штампа. В случае дальнейшего измельчения сетки распределение контактного давления будет стремиться к аналитическому решению. Таким образом, можно сделать следующее заключение, что в рамках тестовых задач показана сходимость численного алгоритма решения задачи контактного взаимодействия.