Алгебраическая форма комплексного числа
Комплексным числом называется выражение
 ,
| (1.1) |
в котором 
(действительные числа), а 
такое число, квадрат которого равен –1,
 .
| (1.2) |
Число называют мнимой единицей.
Выражение 
называют алгебраической формой комплексного числа, 
– действительной частью, а 
– мнимой частью комплексного числа z. При этом используются обозначения 
, 
.
Если 
, тогда 
– действительное число. Если 
, тогда 
– такое число называют чисто мнимым
Два комплексных числа 
и 
считаются равными, если 
и 
; 
Û Ù у = 0. Понятия “больше” и “меньше” для комплексных чисел не существуют.
Комплексное число 
называется сопряженным по отношению к комплексному числу . Например, 
. Очевидно, что 
.
С комплексными числами можно производить арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня). Рассмотрим четыре из перечисленных действий над комплексными числами, записанными в алгебраической форме (1.1).
1) Сложение (вычитание). Чтобы сложить два комплексных числа 
и 
нужно сложить их действительные и мнимые части
 .
| (1.3) |
Аналогично производится вычитание 
+
+ 
Пример 1.1
, 
.
1) 
= 
= 
;
2) 
.
2) Умножение:
 .
| (1.4) |
Формула умножения комплексных чисел (1.4) получается, если числа 
и 
перемножить как два многочлена и учесть, что . При умножении комплексных чисел удобнее использовать это правило, чем формулу (1.4).
Пример 1.2
= 
–
– 
= 
.
Пример 1.3
В качестве примера, найдем произведение комплексно сопряженных чисел:
= 
.
Здесь использована формула сокращенного умножения
, в которой принято 
, 
.
Таким образом, произведение сопряженных комплексных чисел равно сумме квадратов действительной и мнимой частей, т.е. равно действительному числу
 .
| (1.5) |
На формуле (1.5) основано построение формулы деления комплексных чисел:
| (1.6) |
Таким образом, делитель и делимое нужно умножить на комплексное число, сопряженное делителю, тогда в знаменателе будет действительное число. Потом нужно перемножить комплексные числа в числителе.
Пример 1.4
, . Найти: 
, 
.
Решение
1) 
= 
;
2) 
= 
.
Пример 1.5
, найти 
.
Решение
=
= 
Ответ: 
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Выполните действия над комплексными числами 
и 
:
1) ; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
; 6) .
Ответы:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
; 6) 
.
2. Найдите действительную и мнимую части комплексного числа 
.
Ответ: = – 0,1; 
= 1,7.
3. Представить в алгебраической форме комплексное число 
.
Ответ: 
.
4. Найдите 
.
Ответ: 
.
5. Решите уравнение: 
.
Ответ: 
.
Тригонометрическая форма комплексного числа
Каждому комплексному числу можно сопоставить точку на плоскости. Эта точка будет иметь координаты 
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1.1
Соединим начало координат с точкой z. Расстояние от начала координат до точки z называется модулем комплексного числа z и обозначается 
. Угол 
(рис.1.1) называется аргументом комплексного числа и обозначается 
. Если 
, тогда 
называют главным значением аргумента. Все множество аргументов опишется соотношением
, 
Нетрудно видеть: 
, 
Заметим: а) 
,
б) 
, 
не определен,
в) 
, 
.
Используя равенства 
, 
, комплексное число z можно записать в виде
| (1.7) |
Такое выражение называется тригонометрической формой комплексного числа.
Пример 1.6
, найти 
.
Решение
.
Пример 1.7
Представить в тригонометрической форме комплексное число .
Решение
Из рисунка видно, что 
, 
.
Запишем комплексное число в тригонометрической форме:
.
Пример 1.8
Представить в тригонометрической форме комплексное число
.
Решение
;
.
Таким образом, 
, 
.
Запишем комплексное число в тригонометрической форме:
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:
1) –1; 2) – ; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
Ответы:
1) 
; 2) 
; 3) 
+
+ 
; 4) 
; 5) 
+
+ 
.
2. 
. Найти: 
; ; .