Рассмотрим разложения функций 
, 
, 
в ряд Маклорена
,
,
.
Положим 
, тогда
.
Получили формулу
| (1.8) |
Равенство (1.8) называется формулой Эйлера.
С учетом этой формулы, комплексное число 
, записывается в форме,
 ,
| (1.9) |
которая называется показательной формой комплексного числа.
Пример 1.9
1) 
, найти 
.
Решение
= 
=
= 
= 
.
Умножение, деление и возведение в целую положительную степень удобно производить, когда комплексное число записано в показательной форме.
1) 
, 
.
2) 
, 
3) 
, 
.
Рассмотрим операцию извлечения корня.
, 
.
Из последних равенств следует формула извлечения корня из комплексного числа, представленного в тригонометрической форме:
 ,
| (1.10) |
.
Приравнивая 
числам 0,1, 2, …, 
получим 
значений корня.
Пример 1.10
Найти 
.
Решение
, 
.
Подставляя 
, получаем три значения корня:
, 
, 
;
, 
 |
Рис. 1.2
Тот факт, что комплексные числа 
и 
являются значениями корня третьей степени из единицы, означает, что 
. Проверим, 
, используя алгебраическую форму числа :
= 
= 
+
+ 
+ 
= 
+
+ 
= 
= 1.
Здесь последнее произведение комплексных чисел является произведением комплексно сопряженных чисел и равно сумме квадратов действительной и мнимой частей 
(см. пример 1.3).
Пример 1.11
Вычислить 
.
Решение
.
Пример 1.12
Вычислить
Пример 1.13
Найти 
.
Решение
Воспользуемся тригонометрической формой числа 
, полученной в примере 1.5: 
, тогда 
= 
= 
= 
.
Понятие о функции комплексного переменного
Обозначим множество комплексных чисел С.
. Пусть 
и 
. Если каждому комплексному числу 
по некоторому правилу поставлено в соответствие одно или несколько комплексных чисел 
, то говорят, что на множестве задана функция 
.
Множество 
называется областью определения, а множество 
областью значений функции . Если каждому значению z соответствует одно значение 
, то функция называется однозначной, если несколько – функция многозначная.
Обозначая 
, получим, что задание функции комплексного переменного 
равносильно заданию двух функций 
и 
двух действительных переменных x и y. Следовательно, 
, где 
, 
= = 
.
Пример 1.14
Для данной функции , где 
, найти действительную часть 
и мнимую часть : 
.
Решение
т.е. 
; 
.
Пример 1.15
Какая линия описывается уравнением 
?
Решение
. Подставляя это выражение в заданное уравнение, получаем 
– уравнение гиперболы.
Задачи для самостоятельного решения
Для данных функций найти их действительную часть и мнимую часть :
1) ; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
; 6) 
.
Ответы: 1) 
, 
; 2) 
, 
; 3) 
, 
; 4) 
, 
; 5) , 
;
6) 
, 
.
Основные элементарные функции
Комплексной переменной
Показательная функция 
. По определению,
 .
| (1.11) |
Можно показать, что при таком определении выполняются все обычные свойства показательной функции, например
, 
.
Покажем, что показательная функция (1.11) является периодической с периодом 
:
, 
.
Тригонометрические функции. По определению,
 ;  ;  ;
 .
| (1.12) |
Можно показать, что при таком определении выполняются все известные формулы для тригонометрических функций, например,
, 
, 
, и т.д.
Пример 1.16
Решить уравнение: 
.
Решение
, в это уравнение подставим выражение (1.5) для синуса, получим 
, 
, где 
.
Гиперболические функции. По определению,
 ,  ,  , 
| (1.13) |
Заменим в этих определениях z на , тогда получим
, 
.
Таким образом,
 , 
| (1.14) |
Если в формулах (1.8) заменить z на 
, то получим
 ,  .
| (1.15) |
Пример 1.17
Найти 
.
Решение
Из второго соотношения (1.14) следует, что
.
Пример 1.18
Найти 
.
Решение
Из первого соотношения (1.15) следует, что
.