Задача 1 Средние величины. Показатели вариации.
Расчет средних величин.
Средняя арифметическая величина для простого статистического ряда:
 |
где хi – отдельные значения признака изучаемого в статистическом ряду;
i – порядковый номер признака, i=1, 2, …, n;
Средняя гармоническая величина для простого статистического ряда:
 |
Средняя квадратическая величина для простого статистического ряда:
 |
Расчет показателей вариации.
Размах вариации:
R = хmax – хmin, (4)
где R – абсолютный размер разницы между максимальным и минимальным значениями исследуемого признака;
хmax, хmin, – соответственно максимальное и минимальное значение исследуемого признака.
 |
Среднее линейное отклонение для простого статистического ряда
Дисперсия для простого статистического ряда
 |
Среднее квадратическое отклонение
(7)
где Dx – дисперсия, исчисленная по статистическому ряду значений признака х.
Коэффициент вариации статистического ряда
(8)
где sх – среднее квадратическое отклонение;
– среднее значение признака.
Пример решения
В ходе статистического наблюдения собраны данные о стоимости дневного выпуска продукции
| Таблица 8 – Расчетная таблица | |||||
| № п/п | xi, тыс. д.ед. | 1/xi | xi2 | |xi-  |
| (xi- )2
|
| 0,062500 | 256,00 | 2,58 | 6,66 | ||
| 29,4 | 0,034014 | 864,36 | 10,82 | 117,07 | |
| 0,066667 | 225,00 | 3,58 | 12,82 | ||
| 5,2 | 0,192308 | 27,04 | 13,38 | 179,02 | |
| 27,3 | 0,036630 | 745,29 | 8,72 | 76,04 | |
| Всего | 92,9 | 0,392119 | 2117,69 | 39,08 | 391,61 |
Значения средних величин:
= 92,9/5 = 18,58 тыс. д.ед.
гарм = 5/0,392118 = 12,75 тыс. д.ед.
кв = 
тыс. д.ед.
Показатели вариации:
Rх = 29,4 – 5,2 = 24,2 тыс. д.ед.
тыс. д.ед.
Dx = 391,6 / 5 = 78,32
тыс. д.ед.
υx = 8,85 / 18,58 * 100 = 47,63 %
Таким образом, совокупность, представленная стоимостью дневного выпуска продукции, является неоднородной, т.к. υx = 47,63 % > 15%.
Задача 2. Дисперсионный анализ.
Межгрупповая дисперсия средних
 |
где
– среднее значение признака в несгруппированном ряду;
– среднее значение признака в i-й группе;
fij – количество единиц наблюдения в i-й группе;
i – количество групп в несгруппированном статистическом ряду;
i=1, 2,..., m.
 |
Средняя групповых дисперсий (внутригрупова дисперсия)
где 
– дисперсия признака в i-й группе.
 |
Правило сложения дисперсий в группах:
где 
– общая дисперсия сгруппированных признаки;
– межгрупповая дисперсия средних
– внутригрупова дисперсия (средняя групповых дисперсий).
Корреляционное отношение
 |
Пример решения
Распределение численности по уровню дневной ЗП на предприятии в 1 цеху представлено в табл. 9.
Таблица 9 – Распределение численности по уровню дневной ЗП на предприятии в цехе №1
| Дневная ЗП рабочих, д.ед. | Количество рабочих цеха №1, чел. (f1j) | xj, д.ед. | xj*f1j | 
|
| 8-10 | 91,13 | |||
| 10-12 | 67,69 | |||
| 12-14 | 37,81 | |||
| 14-16 | 6,19 | |||
| 16-18 | 15,63 | |||
| 18-20 | 52,81 | |||
| 20-22 | 110,25 | |||
| Итого | - | 381,5 |
1) средняя ЗП в цехе №1:
д.ед.
2) групповая дисперсия:
Таблица 10 – Распределение численности по уровню дневной ЗП на предприятии в цехе №2
| Дневная ЗП рабочих, д.ед. | Количество рабочих цеха №2, чел. (f2j) | xj, д.ед. | xj*f2j | 
|
| 8-10 | 158,69 | |||
| 10-12 | 49,39 | |||
| 12-14 | 7,84 | |||
| 14-16 | 6,61 | |||
| 16-18 | 24,49 | |||
| 18-20 | 47,18 | |||
| 20-22 | 188,08 | |||
| Итого | - | 482,29 |
3) средняя ЗП в цехе №2:
д.ед.
4) групповая дисперсия:
Таблица 11 – Распределение численности по уровню дневной ЗП на предприятии по двум цехам
| Дневная ЗП рабочих, д.ед. | Общее количество рабочих, чел. (f общ j) | xj, д.ед. | xj*f общ j | 
|
| 8-10 | 288,00 | |||
| 10-12 | 128,00 | |||
| 12-14 | 44,00 | |||
| 14-16 | 0,00 | |||
| 16-18 | 52,00 | |||
| 18-20 | 112,00 | |||
| 20-22 | 288,00 | |||
| Итого | - | 912,00 |
5) Загальна середня ЗП:
д.ед.
6) Общая дисперсия:
7) средняя групповых дисперсий (внутригрупповая дисперсия):
8) межгрупповуя дисперсия:
.
9) Правило сложения дисперсий: 
10) Корреляционное отношение: 
Поскольку, 
, то влияние группового фактора на распределение численности по уровню дневной заработной платы отсутствует.
Задача 3. Выборочное наблюдение
1) Генеральная средняя 
:
, (13)
где Х – выборочная средняя (среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности);
- предельная ошибка выборочной средней.
Предельная ошибка выборочной средней:
Dx = t ×mx ; (14)
где t – нормированное отклонение (значения нормированного отклонения t при различных значениях вероятности P(t) приведены в приложении Г);
mx – простая ошибка выборочной средней.
Простая ошибка выборочной средней:
- при повторном случайном методе отбора единиц в выборочную совокупность
(15)
где 
– дисперсия исследуемого признака;
n – количество единиц наблюдения в выборочной совокупности.
- при бесповторном случайном методе отбора единиц в выборочную совокупность
, (16)
где N – количество единиц в генеральной совокупности.
Доверительный интервал генеральной средней:
2) Генеральная доля 
:
, (17)
где р – доля единиц выборочной совокупности;
- предельная ошибка выборочной доли.
Предельная ошибка выборочной доли:
Dp = t *mp, (18)
где mp - простая ошибка выборочной доли при повторном случайном отборе единиц
Простая ошибка выборочной доли при повторном случайном отборе единиц:
, (19)
где Р – доля единиц выборочной совокупности, обладающая определенным признаком А.
Простая ошибка выборочной доли при бесповторном случайном отборе единиц:
. (20)
Доверительный интервал генеральной доли:
3) Необходимая численность выборочной совокупности при определении выборочной средней:
- при повторном случайном отборе
; (21)
- при бесповторном случайном отборе
; (22)
4) Необходимая численность выборочной совокупности при определении выборочной доли:
- при повторном случайном отборе
; (23)
- при бесповторном случайном отборе
. (24)
Пример решения
Дано распределение работников предприятия по уровню производительности труда по данным 10%-го случайного бесповторного выборочного обследования
Таблица 12 – Распределение работников предприятия по уровню производительности труда
| Производительность труда, шт/чел. | Число рабочих, чел. |
| 100-120 | |
| 120-140 | |
| 140-160 | |
| 160-180 | |
| 180-200 | |
| 200-220 | |
| Итого: |
Рис. 1 – Гистограмма распределения работников предприятия по уровню производительности труда
1) определить размер средней производительности труда предприятия (с вероятностью 0,683)
Простая ошибка выборочной средней:
С вероятностью Р(t)=0,683 значение нормированного отклонения t=1, а доля выборки 
.
Дисперсия для вариационного ряда рассчитывается по формуле:
Таблица 13 – Расчетная таблица для определения дисперсии
| хj | fj | |xj-  |
| (xj-  )2
| (xj- )2*fj
|
| 49,8 | 2480,04 | 44640,72 | ||
| 29,8 | 888,04 | 9768,44 | ||
| 9,8 | 96,04 | 1728,72 | ||
| 10,2 | 104,04 | 2496,96 | ||
| 30,2 | 912,04 | 13680,6 | ||
| 50,2 | 2520,04 | 35280,56 | ||
| Итого: |
Доверительный интервал генеральной средней производительности труда:
2) Определить долю рабочих, имеющих ПТ на уровне средней и выше (с вероятностью 0,997)
nA=24+15+14=53; pA=53/100=0,53; q=1–0,53=0,47.
P(t)=0,997 ® t=3
Доверительный интервал генеральной доли:
3) необходимая численность выборки при определении средней ПТ в случае, если ошибка не будет превышать 5 шт/чел. с вероятностью 0,954.
Dх=5; P(t)=0,954 ® t=2.
чел.
чел.
4) необходимая численность выборки при определении доли единиц, обладающих признаком А, в случае, если ошибка не будет превышать 5% с вероятностью 0,954.
Dр=0,05; P(t)=0,954 ® t=2.
чел.
чел.
Средняя производительность труда всех 1000 работников предприятия с вероятностью 0,683 составит в пределах от 156,7 шт/чел. до 162,9 шт/чел. Причем, доля работников предприятия, имеющих производительность труда на уровне средней и выше, находится в пределах от 38% до 68%. Для снижения ошибки выборки при определении генеральной средней и генеральной доли необходимо увеличить число выборочной совокупности на 47 чел. и 186 чел. соответственно.
Задача 4. Виды связей. Корреляционная зависимость.
 |
Уравнение линейной регрессии двух признаков
где а0, а1 – коэффициенты регрессии уравнения
|
| ||||
(26)
 |
Линейный коэффициент корреляции статистического ряда двух признаков
где 
– среднее значение признака хi;
– среднее значение признака уi;
ху – среднее значение произведения признаков хi и уi;
sх – среднее квадратическое отклонение признака хi;
sу – среднее квадратическое отклонение признака уi.
Пример решения
Установить корреляционную зависимость между объемами производимой продукции и среднегодовой стоимостью оборотных средств. Найти уравнение линейной регрессии, определить его параметры и тесноту связи, дать графическое изображение связи.
Таблица 14 – Исходные данные
| № предприятия | Оборотные средства, тыс. д.ед. (xi) | Производство продукции, тыс. д.ед. (yi) | xi*yi | xi2 | yi2 | (xi-  )2
| (yi-  )2
|
| 3,2 | 32,6 | 104,32 | 10,24 | 1062,8 | 17,94 | 229,67 | |
| 2,1 | 17,3 | 36,33 | 4,41 | 299,29 | 28,46 | 0,02 | |
| 8,7 | 52,2 | 75,69 | 2,06 | 76,48 | |||
| 15,1 | 17,9 | 270,29 | 228,01 | 320,41 | 58,75 | 0,21 | |
| 9,8 | 31,5 | 308,7 | 96,04 | 992,25 | 5,59 | 197,54 | |
| 6,4 | 16,9 | 108,16 | 40,96 | 285,61 | 1,07 | 0,30 | |
| 5,3 | 16,0 | 84,8 | 28,09 | 4,56 | 2,09 | ||
| 7,1 | 29,4 | 208,74 | 50,41 | 864,36 | 0,11 | 142,92 | |
| 11,9 | 15,0 | 178,5 | 141,61 | 19,94 | 5,98 | ||
| 15,1 | 5,2 | 78,52 | 228,01 | 27,04 | 58,75 | 149,94 | |
| 3,3 | 7,3 | 24,09 | 10,89 | 53,29 | 17,10 | 102,92 | |
| 24,6 | 14,1 | 346,86 | 605,16 | 198,81 | 294,64 | 11,19 | |
| 4,8 | 6,0 | 28,8 | 23,04 | 6,94 | 130,99 | ||
| 6,2 | 25,2 | 156,24 | 38,44 | 635,04 | 1,53 | 60,14 | |
| 5,8 | 13,0 | 75,4 | 33,64 | 2,67 | 19,76 | ||
| 4,9 | 24,1 | 118,09 | 24,01 | 580,81 | 6,43 | 44,29 | |
| 12,1 | 60,5 | 146,41 | 5,93 | 28,57 | |||
| 7,2 | 24,2 | 174,24 | 51,84 | 585,64 | 0,06 | 45,63 | |
| 11,1 | 33,3 | 123,21 | 19,67 | 40,26 | |||
| 1,9 | 21,3 | 40,47 | 3,61 | 453,69 | 30,64 | 14,86 | |
| Итого | 148,7 | 348,9 | 2488,55 | 1688,41 | 7390,31 | 582,83 | 1303,75 |
Средняя стоимость оборотных средств и производства продукции:
=7,435
=17,445
Расчет коэффициентов линейной регрессии:
Уравнение линейной регрессии:
| х | ||
| у | 17,8855 | 15,169 |
Рис. 2 – Зависимость между объемами производимой продукции и среднегодовой стоимостью оборотных средств
Среднеквадратическое отклонение стоимости оборотных средств и продукции
| dC= | 5,398265925 |
| dU= | 8,073876083 |
Коэффициент корреляции:
®0,
С ростом остатков оборотных средств на 1 д.ед стоимость выпущенной продукции снижается на 0,18 д.ед. Вместе с тем, обратная связь между признаками практически отсутствует, так как ryx=– 0,1211®0.
Задача 5. Анализ рядов динамики
Абсолютный прирост ряда динамики цепным способом
Dy цеп = yi – y i-1. (28)
Абсолютный прирост ряда динамики базисным способом
Dy баз = yi – y0. (29)
Темп роста динамики цепным способом
Tp цеп = yi / y i-1 * 100, % (30)
где yi – текущий уровень ряда динамики;
yi-1 – предыдущий уровень динамики.
Темп роста ряда динамики базисным способом
Tp баз = yi / y0 * 100%, (31)
где y0 – базисный или начальный уровень ряда динамики;
yi – конечный уровень ряда динамики.
Темп прироста ряда динамики цепным способом
Δ 
%, (32)
Темп прироста ряда динамики базисным способом
Δ 
, %. (33)
 |
Средний абсолютный прирост ряда динамики
где Dyi – цепной абсолютный прирост ряда динамики в i-м периоде;
i – количество анализируемых периодов, i = 1, 2,…, n.
Абсолютный размер 1% прироста ряда динамики в i–м периоде
аi = Δy цеп і / ΔТ цеп.і (35)
Средний темп роста ряда динамики
(36)
или 
, % (36)
где Ti – цепной темп роста в i-м периоде;
i – количество анализируемых периодов, i = 1, 2,…, n.
Результаты расчетов сводятся в следующую расчетную таблицу 15 (см. пример).
Пример решения
Таблица 15 - Динамика производства холодильников в период с 2012 по 2015 годы
| Годы | Производство, тыс. шт. | Абсолютный прирост, тыс.шт. | Темпы роста, % | Темпы прироста, % | Абсолютный размер 1% прироста, тыс. шт. | Средне-годовой абсолют-ный прирост, тыс. шт. | Средне-годовой темп роста, % | |||
| Баз | Цеп | Баз | Цеп | Баз | Цеп | |||||
| 19,3 | 0,0 | 0,0 | 100,00 | 100,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 100,00 | |
| 10,0 | -9,3 | -9,3 | 51,81 | 51,81 | -48,19 | -48,19 | 0,193 | -9,30 | 51,81 | |
| 12,8 | -6,5 | 2,8 | 66,32 | 128,00 | -33,68 | 28,00 | 0,100 | -3,25 | 81,44 | |
| 19,5 | 0,2 | 6,7 | 101,04 | 152,34 | 1,04 | 52,34 | 0,128 | 0,07 | 100,34 |
За период с 2012 по 2015 гг. производство продукции увеличилось на 200 шт. или 52,34%. При этом в среднем ежегодно объемы производства составляли 100,34%. Так, резкое сокращение производства на 9,3 тыс. шт. или на 48,19% наблюдалось в 2013г. Однако уже в следующем периоде объемы возросли на 28% и составили 66,32% производства 2014г. За весь рассматриваемый период производство составляло 100,34% в среднем ежегодно, что соответствует 70 шт. дополнительного выпуска.
ВОПРОСЫДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Предмет статистики, ее предмет, объект и задачи.
2. Разделы статистики: общая теория статистики, статистика промышленности и социально-производственная статистика.
3. Учет его виды и задачи.
4. Этапы статистического исследования.
5. Виды и способы статистических наблюдений
6. Статистическое наблюдение, его организационные формы.
7. Требования, предъявляемые к статистическому наблюдению.
8. Ошибки статистического наблюдения, контроль достоверности данных.
9. Статистические сводки, их виды и способы разработки.
10. Статистические группировки, виды и цели создания.
11. Статистические ряды распределения единиц наблюдения в совокупности. Виды статистических рядов: простой ряд и вариационный ряд.
12. Гистограмма распределения вариационного статистического ряда.
13. Обобщающие показатели в статистике: абсолютные, относительные и средние величины.
14. Виды средних величин в статистике.
15. Средние кубические и квадратические величины в статистике, их виды и сфера применения.
16. Средняя арифметическая величина, ее сущность и назначение.
17. Средняя геометрическая и гармоническая величина, их сущность и сфера применения.
18. Показатели вариации значений признака в совокупности.
19. Методы вычисления дисперсии, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации.
20. Дисперсионный (факторный) анализ: расчет общей, внутригрупповой и межгрупповой дисперсий. Правило сложения дисперсий. Проверка правильности группировки.
21. Содержание и назначение выборочного метода. Достоинства и недостатки этого метода
22. Расчет ошибок выборки для средней и доли выборки.
23. Определение необходимой численности выборки.
24. Виды связей: функциональные и корреляционные связи.
25. Оценка значений коэффициента корреляции, коэффициентов регрессии, определение формы (характера) связи.
26. Виды рядов динамики: моментные, объемные; ряды абсолютных величин, относительных величин, средних величин.
27. Показатели динамики значения признака. Базисный и цепной методы исчисления.
28. Средний темп роста и средний темп прироста.
29. Определение тенденций развития и динамики общественных явлений.
30. Методы сглаживания неустойчивых динамических рядов: скользящие средние.
31. Статистические индексы: индексы переменного и постоянного состава, структурных сдвигов.
32. Расчет абсолютных отклонений на основе индексов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Статистика: учеб. пособие для вузов / Л. П. Харченко [и др.]; Новосиб. гос. акад. экономики и управления. - изд. 2-е, перераб. и доп. - Москва: ИНФРА-М, 2002. - 384 с.
2. Гусаров, В.М. Статистика: учеб. пособие для вузов / В. М. Гусаров; Всерос. заоч. фин.-экон. ин-т. - Москва: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 463 с.
3. Статистика підприємництва: підручник / П. Г. Вашків [и др.]; за ред.: П. Г. Вашківа, В. П. Сторожука. - Київ: Слобожанщина, 1999. - 600 с.
4. Статистика: підруч. для вузів / А.В. Головач [та ін.]; за ред. А. В. Головача. – Київ: Вищ. шк., 1993. - 623 с.
5. Статистика: зб. задач: навч. посіб. / Н. М. Атаманчук [и др.]; за ред. А. В. Головача. – Київ: Вищ. шк., 1994. - 448 с.
6. Васильева, Э. К. Статистика [Электронный ресурс]: учеб. для вузов / Э. К. Васильева, В. С. Лялин. - Электрон. дан. (1 файл, 8 Мб). – Москва: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. - Систем. требования: Acrobat Reader.
7. Годин, А. М. Статистика: учеб. для вузов / А. М. Годин. - 4-е изд., перераб. и доп. – Москва: Изд.-торг. корпорация "Дашков и К", 2005. - 472 с.
8. Лялин, В. С. Статистика: теория и практика в Excel: учеб. пособие для вузов / В. С. Лялин, И. Г. Зверева, Н. Г. Никифорова. – Москва: Финансы и статистика: ИНФРА-М, 2010. - 448 с.
9. Минько, А. А. Статистика в бизнесе: руководство менеджера и финансиста / А. А. Минько. – Москва: Эксмо, 2008. - 504 с.
10. Переяслова, И. Г. Статистика: учеб. пособие для вузов / И. Г. Переяслова, Е. Б. Колбачев, О. Г. Переяслова. - Ростов-на-Дону: Феникс, 2003. - 288 с.
11. Сигел, Э. Практическая бизнес-статистика / пер. с англ. – Москва.: Вильямс, 2002. – 1056 с.: ил.
Приложение А